1、第三章 集合代数,集合论是现代数学的基础。德国数学家康托尔（G.Cantor）被誉为集合论的创始人。集合论在计算机科学、人工智能领域、逻辑学及语言学等方面都有着重要的应用，对于从事计算机科学的工作者来说，集合论是不可缺少的理论知识，熟悉和掌握它是十分必要的。,第三章 集合代数,3.1 集合的概念和表示法 3.2 集合的运算 3.3 包含排斥原理 3.4 集合的笛卡尔积与无序积,3.1 集合的概念与表示法,一、集合与元素 1、集合的描述定义所谓集合，是指某些可辨别的不同对象的全体，将用大写字母A，B，X，Y，表示之。组成集合的对象称为集合的元素或成员，将用小写字母a，b，x，y 表示之。a是A的
2、元素或a属于A，记作aA；a不是A的元素或a不属于A，记作aA，或者(aA)。,2、集合的表示：表示一个特定集合，基本上有两种方法： 枚举法：列出集合的所有元素，元素之间用逗号分开，再用花括号括起。如： A= a, e, i, o, u 表明集合A是由字母 a, e, i ,o和u为元素构成的。,谓词法：用谓词公式来确定集合。即个体域中能使谓词公式为真的那些元素，确定了一个集合。因为这些元素都具有某种特殊性质。若P(x)含有一个自由变元的谓词公式，则x|P(x)定义了集合S，并可表为：S=x|P(x)由此可见，P(c)为真当且仅当 cS。从而有 xS P(x)=T,集合的元素是彼此不同的。如：
3、1，1，2，2，31，2，3 集合的元素是无序的。 如：1，2，33，1，2 元素和集合之间的关系是隶属关系，属于记作，不属于记作。如：Aa，b，c，d，d 这里 aA，b，cA，dA，dA，但 bA，dA。,可以用一种树形图来表示这种隶属关系，该图分层构成，每个层上的结点都表示一个集合，它的儿子就是它的元素。 上例中集合 Aa，b，c，d，d 的树形图如图所示。,图中的a，b，c，d也是集合，由于所讨论的问题与a，b，c，d的元素无关，所以没有列出它们的元素。鉴于集合的元素是集合这一规定，隶属关系可以看作是处在不同层次上的集合之间的关系。,集合的元素一旦给定，这一集合便完全确立。这一事实被形
4、式地叙述为外延公理。 外延公理：两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 若A与B相等，记为：A=B； 否则，记为：AB。,外延公理可形式表为：A=B (x)(xAxB) 或者 A=B (x)(xAxB)(x)(xBxA)顺便指出，在应用外延公理证明集合A与B相等时，只需考察：对于任意元素x，应有：xAxB成立即可。这就是说，证明两集合相等时可按此法行事。,子集是描述一个集合与另一个集合之间的关系，其定义如下: 定义3.1.1 设A和B是任意两个集合，如果集合A的每个元素，都是集合B中的一个元素，则称A是B的子集，或称A被包含于B中，或者说 B包含A，并记为AB。,二、集合之间的关系,集合
5、包含的符号化表示： AB (x)(xAxB) 表明：要证明AB，只需对任意元素x，有下式xAxB 成立即可。 如果AB且BA，则称A与B相等，记作AB。 若集合B不包含集合A，记为A B。,定义3.1.2 设A和B是两个集合，若AB且AB，则称A是B的真子集，记为AB，也称B真包含A。该定义也可表为AB (ABAB) 如果A不是B的真子集，则记作AB。,定义3.1.3 如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，则称该集合为全集，记为 E。它可形式地表为 E = x|P(x)P(x) 其中：P(x)为任何谓词公式。,显然，全集E即是第二章中的全总个体域。于是，每个元素 x 都属于全集 E，即命题(
6、x)(xE)为真。 由定义易知，对任意集合A，都有AE。 在实际应用中，常常把某个适当大的集合看成全集 E。 全集是有相对性的。,定义3.1.4 不含任何元素的集合，称为空集，记作，它可形式地表为： = x|P(x)P(x) 其中：P(x)为任何谓词公式。 由定义可知，对任何集合A，有A。这是因为任意元素x，公式xxA总是为真。,注意：与是不同的。是以为元素的集合，而没有任何元素，能用构成集合的无限序列： (1) ，该序列除第一项外，每项均以前一项为元素的集合。,(2) ， 该序列除第一项外，每项均以前面各项为元素的集合。它即是冯诺依曼在1924年使用空集给出自然数的集合表示： 0:=，1:=
7、，2:= ,， 定理3.1.1 空集是一切集合的子集。 推论 空集是唯一的。 定理3.1.2 () 对任一集合A，有AA。() 若AB且BC，则AC。,三、集合的基数,表示集合中元素多少或度量集合大小的数，称作集合的基数或势。一个集合A的基数，记为|A|。如果一个集合恰有m个不同的元素，且m是某个非负整数，称该集合是有限的或有穷的，否则称这个集合为无限的或无穷的。例如： Nm=0,1,2,m-1为含m个元素的有穷集。,常见的无穷集合有： N =0, 1, 2, 3, ，即自然数集合。 Z =, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ，即整数集合。 Z+ =1, 2, 3, ，即正整数集合。
8、Q = 有理数集合。 R = 实数集合。 C = 复数集合。,四、集合的幂集,一个集合的幂集是指以该集合所有子集为元素的集合，即是由这些子集所组成的集合族。 定义3.1.5 设A为一集合，A的幂集是一集合族，记为 (A)， (A) =B|BA 由定义可知， (A)，A (A)。 任给一个n元集，怎样求出它的全部子集？ 定理3.1.3 如果有限集合A有n个元素，则其幂集 (A)有2n个元素。,五、文氏图,文氏(Venn)图是一种利用平面上的点构成的图形来形象展示集合的一种方法。全集E用一个矩形的内部表示，其他集合用矩形内的园面或一封闭曲线圈成的面积来表示。,如果AB，则表示A的圆面一般将完全落在
9、表示B的圆面内，如图中(a)。 如果A与B没有公共元素，那么表示A的圆面将同表示B的圆面分开，如图中(b)。 当A和B是两个任意的集合时，可能会是：有些元素在A中但不在B中，有些元素在B中却不在A中，有些元素同时在A和B中，有些元素则既不在A中也不在B中，因此用图中(c)表示任意两个集合A和B。,3.2 集合的运算,集合运算是指用已知的集合去生成新的集合。 假设所有集合都是全集E的子集，即这些集合是利用子集公理得到的。下面依次介绍常见的集合运算。,定义3.2.1 设A和B是任意两个集合， A和B的并是集合，记为：AB， AB = x | xA xB A和B的交是集合，记为：AB， AB = x
10、 | xA xB A和B的差，或B关于A的相对补是集合，记为：AB， AB = x | xA xB ,一、并、交和差运算,定义3.2.2 若A和B是集合，且AB=，则称A和B是不相交的。 如果C是个集合族，且C中任意两个不同元素都不相交，则称C中的集合是互不相交的，或称C是两两不相交的集合族。,定理3.2.1 任给集合A，B和C，则： AB=BA AB= BA (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 该定理表明，集合并和交运算满足交换律和结合律。,定理3.2.2 任给集合A、B和C，则 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) 该定理表明，集合运算并对交、交对并都是可
11、分配的。,定理3.2.3 任给集合A，B，C和D，则 若AB，则AB=B，AB=A 若AB和CD，则ACBD，ACBD,推论3.2.3 AE=E，AE=A 定理3.2.4 任给集合A，B和C，则 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC),定义3.2.4 集合A的补是集合，记为A， A=EA=x|xExA=x|xA 定理3.2.5 任给集合A，则 AA=E， AA=。,定理3.2.6 任给集合A和B，则B=A iff AB=E 且 AB= 该定理表明了若A的补是B，则B的补是A，即A和B互补。补的唯一性。 推论3.2.5 E=，=E 定理3.2.7 任给集合A，则A=A。 该定
12、理表明了，A的补的补是A。,定理3.2.8 任给集合A和B，则 (AB)= AB， (AB)= AB。 定义3.2.5 任给集合A和B，A和B的对称差是集合，记为AB，AB =(AB)(BA)=x|(xAxB)(xBxA),定理3.2.9 任给集合A和B，则 AB=(AB)(AB)=(AB) (AB) 推论3.2.9 AB=AB AB=BA AA= A=A,集合之间的关系和运算可以用文氏图给予形象的描述,二、集合代数与对偶原理这里将形式地讨论由集合、集合变元、集合运算和圆括号所构成的集合代数以及集合代数中的对偶原理。与命题逻辑相似，对于给定集合实行集合运算，可以生成新的集合。同用大写英文字母表
13、示确定集合一样，也用大写字母表示不确定的集合，前者称为集合常元，后者称为集合变元。集合变元用以集合常元代替后，才表示确定的集合。下面将给出集合的合式公式定义。,定义3.2.6 可按下列规则生成集合合式公式： 单个集合变元是集合合式公式。 若A是集合合式公式，则A也是集合合式公式。 若A和B是集合合式公式，则(AB)，(AB)，(AB)和(AB)也都是集合合式公式。 只有有限次使用、和构成的符号串才是集合合式公式。简称集合合式公式为公式。,定义3.2.7 用任意集合常元取代两个集合公式中的各个集合变元，若所得集合是相等的，则称该两个集合公式是相等的，简称等式。 因为集合公式相等，不依赖于取代集合
14、变元的集合，故常称这些等式为集合恒等式，或集合定律。它们刻划了集合运算的某些性质，这些性质描述一个代数，称为集合代数。下面列出常用集合定律：,（1）等幂律 AA=A AA=A （2）结合律 (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) （3）交换律 AB=BA AB=BA （4）分配律 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) （5）同一律 A=A AE=A,（6）零律 AE=E A= （7）补余律 AA=E AA= （8）吸收律 A(AB)=A A(AB)=A （9）德摩根律 (AB)= AB (AB)= AB （10）双重否定律 A=A,3.3 包含排斥原理,一、有限集
15、基数的有关结果设A、B为任意有限集合，则有|AB| |A|+|B|-|AB| |AB|min(|A|,|B|)|AB|=|A|+|B|-2|AB|A-B|A|-|B| (|A-B|+|B|=|AB|A|),定理3.3.1 任给集合A和B，则|AB| = |A|B|AB| 证明： 当AB=，则有 |AB|=|A|+|B|。 当AB，则 |A| = |A(BB)| = |AB|+|AB|B| = |BA|+|BA| |A|+|B| = |AB|+|AB|+|AB|+|AB| = |AB|+|AB| |AB| = |A|+|B|-|AB| 包含排斥原理,例：设某班有60名同学，其中班足球队员有28名
16、，篮球队员有15名。若有25名同学没有参加这二个队，问同时参加这二个队的队员有多少名？ 解：设A为足球队员集合，B为篮球队员集合，则|AB|=60-25=35， |AB|=|A|+|B|-|AB|=28+15-35=8,二、包含n个集合的包含排斥原理,|A1A2An|=i=1nAi-1ijnAiAj+1ijknAiAjAk+(-1)n-1A1A2An特别地，n=3， |A1A2A3|=|A1|+|A2|+|A3|-|A1A2|- |A1A3|-|A2A3|+|A1A2A3|,证明：当n=2时，结论成立。设n-1时，结论成立，则 |A1A2An| =|i=1n-1Ai|+|An|-|(i=1n-
17、1Ai)An| =i=1nAi-1ijn-1AiAj+(-1)n-2|i=1n-1Ai|-I=1n-1AiAn-1ijn-1AiAjAn+(-1)n-2|i=1n-1AiAn| =i=1nAi-1ijnAiAj+(-1)n-1|i=1nAi|,例：试决定在1到100之间能被2，3，5中某一数整除的数的个数。 解：A1表示1到100之间能被2整除的整数集，A2表示1到100之间能被3整除的整数集，A3表示1到100之间能被5整除的整数集，则 |A1|=int(100/2)=50，|A2|=int(100/3)=33，|A3|=int(100/5)=20， |A1A2|=int(100/(2*3)
18、=16， |A1A3|=int(100/(2*5)=10，|A2A3|=int(100/(3*5)=6|A1A2A3|=int(100/(2*3*5)=3 所以|A1A2A3|=|A1|+|A2|+|A3|-|A1A2|-|A1A3|- |A2A3|+|A1A2A3|=50+33+20-16-10-6+3=74,3.4 集合的笛卡尔积与无序积,笛卡尔积与无序积在后面讨论关系和图论时，都有重要应用。首先引入有序对和无序对的概念。 一、序偶 定义3.4.1 由两个具有固定次序的元素a, b组成的有序对叫序偶，并记作，其中：称a为第一元素，b为第二元素。若它们无次序区分，称为二元无序组或无序对，记为
19、(a, b)。 注：若ab时， 。但(a, b) = (b, a)。,序偶的性质： 由两个元素组成的序偶是有序的。即当xy时，有 。 若 iff x y。 两个序偶相等 iff ,例： 已知， 求：x和y。 解：由有序对相等的充要条件有 x+25 2x+y4 解得 x3, y-2。,二、n元序偶序偶的概念可进一步推广：三元组、四元组、n元组： 1、三元组是一个序偶，其第一元素是序偶，记作： 注： 据定义： = , z , z 2、n元组：一个有序n元组(n3)是一个有序对，其中第一元素是一个有序n-1元组，记作 即=,xn 注： ,xn = iff (x1=y1)(x2=y2)(xn-1=yn
20、-1)(xn=yn),三、笛卡尔积 定义3.4.2 设A、B是任意两个集合，则由第一元素属于A，第二元素属于B的所有序偶构成的集合，叫做集合A和B的笛卡尔积，记为AB，即 AB=|xAyB,笛卡尔积举例,1、假设A表示某大学所有学生的集合，B表示大学开设的所有课程的集合，则AB可用来表示该校学生选课的所有可能情况。 2、令A是直角坐标系中x轴上的点集，B是直角坐标系中y轴上的点集，则AB就与平面点集一一对应。 3、设A=a,b, B=0,1,2，则AB=,BA=,定理3.4.1 若|A|=n，|B|=m，则|AB|=n m。 笛卡尔积运算的性质： B = A = 当AB且A、B均不空时，有AB
21、 BA (AB)C A(BC) 笛卡尔积对、满足分配律 ACBD AB CD,定理3.4.2 任给集合A，B和C，则 A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC), A(BC)=(AB)(AC)的证明,证：任取 A(BC) xA yBC xA (yByC) (xAyB) (xAyC) AB AC (AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC),定理3.4.3 若C ，则AB (ACBC) (CACB) 定理3.4.4 设A、B、C、D为四个非空集合，则ABCD 的充要条件为AC，BD。,关于ACBD ABCD的讨论,该性
22、质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。 （1）当A=B=时，显然有AC 和 BD 成立。 （2）当A且B时，也有AC和BD成立。 证：任取xA，由于B，必存在yB，因此有xAyB AB CD xCyD xC从而证明了 AC。 同理可证 BD。,关于ACBD ABCD的讨论,该性质的逆命题不成立，可分以下情况讨论。 （1）当A=B=时，显然有AC 和 BD 成立。 （2）当A且B时，也有AC和BD成立。 证：任取xA，由于B，必存在yB，因此有xAyB AB CD xCyD xC从而证明了 AC。 同理可证 BD。,关于ACBD ABCD的讨论,（3）当A而B时，有AC成立，但不一定有BD成立。反
23、例：令A，B2，C3，D4。AB， CD （4）当A而B时，有BD成立，但不一定有AC成立。反例：令A1 ，B ，C3，D4。AB， CD,例：设A=1,2，求 (A)A。 解： (A)A , 1, 2, 1,2 1,2 , , , , ,例：设A，B，C，D为任意集合，判断以下命题是否为真，并说明理由。 (1) ABAC BC (2) A(BC)(AB)(AC) (3) AB CD ACBD (4) 存在集合A，使得A AA 解：(1) 不一定为真。当A，B1，C2时，有 ABAC，但BC。(2) 不一定为真。当A=B=1，C2时，有A (BC)11 (AB)(AC)1(3) 为真。由等量代入的原理可证。 (4) 为真。当A时，有 AAA 成立。,定义3.4.3 给定集合A和B，若无序对是由A中元素和B中元素组成，所有这些无序对的集合，称为A和B的无序积，记为A&B。 A&B=(x,y)|xAyB,笛卡尔积的概念可以推广到n个集合 A1，A2，An的笛卡尔积，它可表成：Ai =(A1A2An-1)An，n2。用归纳法不难证明，若Ai(1in)是有穷集合，则|A1A2An| = |A1|A2| |An|。当A1=A2=An=A时， A1A2An=An,
