1、连续值布尔代数1，影响连续值逻辑运算模型的诸因素一般性讲，二值命题是由对分明概念进行确定性判断形成的，它的真值可以通过概念直方图直接确定，利用论域 U 上的集合运算就可以得出布尔逻辑代数的各种运算模型（见图 8） 。图 8 二值命题是对分明概念进行的确定性判断形成连续值命题的情况比较复杂，它可能是对分明概念进行的模糊（概率）性判断，也可能是对模糊概念进行的确定性判断，还可能是对模糊概念进行的模糊（概率）性判断。图 9 表示的是对模糊概念进行的确定性判断，在这种情况下，要确定论域 U 中某元素 u 属于模糊集合 A 的程度 x，首先需要在特征空间 E 中确定与元素 u 对应的分明集合 X，E 上
2、的模糊测度 x=m(X) 是连续值命题的真度。显然，m (E)=1, m()=0，一般情况下 m(X)是0, 1中的实数。从图 9 可以看出，利用特征空间 E 上的集合运算可以得出连续值逻辑代数的各种运算模型。这与二值命题的情况有些相似，不同的是一个直接在论域 U 中进行，由于集合之间的相对位置已经给定，逻辑运算模型不会变化；另一个是间接在特征空间 E 中进行，集合之间的相对位置并未确定，逻辑运算模型将随相对位置及其他因素而变化。认识到这一点是研究连续值逻辑代数的关键。图 9 对模糊概念进行的确定性判断在特征空间 E 中影响集合 X 的大小、相对位置和模糊测度性质的因素有：1）命题真值的不确定
3、性，它决定（或受制）于特征空间中使命题为真的因素和使命题为假的因素之间的矛盾，可从完全的真，半真半假到完全的假连续地变化。命题的真度用柔性参数 x0, 1表示，如x1 表示命题完全为真，x 0.75 表示命题偏真，x 0.5 表示命题为半真半假，x0.25 表示命题偏假，x0 表示命题完全为假（图 10） 。图 10 真度反映了由真/假之间矛盾引起的不确定性真度变化对逻辑运算结果的影响全部反映在如下的逻辑运算模型中，它们是关于真度的调整函数，以后特称为基模型（图 11，下面再详细讨论） 。非运算 N(x)1x与运算 T(x, y)max(0, xy1)或运算 S(x, y)N(T (N(x),
4、 N(y)min(1, xy )蕴涵运算 I(x, y)max( z|yT(x, z)min(1, 1xy)等价运算 Q(x, y)T(I( x, y), I(y, x)1| xy|平均运算 M(x, y)N (S(N(x)/2, N(y)/2)(xy)/2组合运算 Ce(x, y)itemin( e, max(0, xy e)|xy2e; N(min(N(e),max(0, N(x)N(y) N (e)|xy2e; emin(1, max(0, xy e )其中 e0, 1是表示弃权的幺元，itey| x; z是条件表达式，意思是 “如果 x，则 y；否则 z”。图 11 连续值逻辑运算的基
5、模型 (其中 e=0.5)2）两命题之间广义相关关系的不确定性，它决定（受制）于特征空间中使双方友好的因素和使双方敌对的因素之间的矛盾，可以从完全友好状态、偏友好状态、不敌不友状态、偏敌对状态到完全敌对状态连续地变化（见图 12） 。两个命题之间广义相关关系的不确定性用广义相关系数 h0, 1来刻画，其中：图 12 两命题间广义相关关系的不确定性h1 表示双方处在完全友好状态。它在特征空间 E 中表现为集合 X 和集合 Y 是完全包含关系，用概率论的术语说是两个集合中的元素具有最大相吸关系，相互的吸引力最大，排斥力最小；h0.75 表示双方处在偏友好状态。它是居中的朋友关系，在特征空间 E 中
6、，表现为集合 X 和集合 Y是成比例的相交关系（交集的面积和两个因子集的面积成正比） ，用概率论的术语说是两个集合中的元素具有独立相关关系，相互的吸引力和排斥力相等；h0.5 表示双方处在不敌不友的中性状态。从朋友关系的角度看，中性状态在特征空间 E 中表现为集合 X 和集合 Y 尽可能不相交的关系，用概率论的术语说是两个集合中的元素具有最大相斥关系，相互的吸引力最小，排斥力最大。从敌对关系的角度看，中性状态是最弱的敌对关系，表现为两个集合中的元素相互之间的自卫力最强，杀伤力最弱，叫最小相克关系；h0.25 表示双方处在偏敌对状态。它是居中的敌对关系，表现为两个集合中的元素相互之间的自卫力和杀
7、伤力相等，叫僵持关系；h0 表示双方处在完全敌对状态。它是最强的敌对关系，表现为两个集合中的元素相互之间的自卫力最弱，杀伤力最强，叫最大相克关系。广义相关系数 h 对逻辑运算模型的影响全部反映在 T 性生成元完整簇 F(x, h)x m, m(, )上，其中：m(3 4h)/(4 h(1h) 。当 m时，F(x, 1)ite1| x1; ; 当 m0 时，F(x , 0.75 )1logx; 当 m0 时，F(x , 0.75 )ite0|x0; 1; 当 m1 时，F(x, 0.5) x; 当 m时，F( x, 0)ite1|x1; 0。F(x, h)对二元运算基模型 L(x, y)的影响是
8、L(x, y, h)F 1 (L(F(x, h), F(y, h), h)3）命题真度误差的不确定性，它决定（或受制）于特征空间中使测度出现正误差的因素和使测度出现负误差的因素之间的矛盾，可以从最大正误差状态、无误差状态到最大负误差状态连续地变化。误差状态的不确定性用误差系数 k0, 1来刻画，其中 k1 表示最大正误差状态，k0.5 表示无误差状态，k0 表示最大负误差状态。真度误差状态的不确定性对柔性命题逻辑运算模型的影响完全反映在N性生成元完整簇 (x, k)x n，n(0, )上，其中n 1/log2k。当n0时， (x, 0)ite0|x0; 1; 当n1时， (x, 0.5)x ;
9、 当n时， (x, 1)ite1|x 1; 0 。(x, k)对一元运算基模型 N(x)的作用方式是N(x, k) 1 (N(x, k), k)它对二元运算基模型L(x , y)的作用方式是L(x, y, k) 1 (L(x, k), ( y, k), k)4）命题相对权重的不确定性，它决定（或受制）于特征空间中使命题权重相对增加的因素和使命题权重相对减少的因素之间的矛盾，可以从最大相对权重状态、平等权重状态到最小相对权重状态连续地变化。命题相对权重的不确定性用偏袒系数 0, 1来刻画，其中 1表示最大偏左状态， 0.5表示无偏袒状态， 0表示最小偏左状态。偏袒系数 对柔性命题逻辑运算模型的影
10、响完全反映在二元运算模型上 10，当 1时，y失去作用；当 0.5时，x , y平等起作用；当 0时，x失去作用。对二元运算基模型L(x , y)的作用方式是 L(x, y, )L(2 x, 2(1 )y)k, h, 三个不确定参数及其调整函数如图 13 所表。图 13 k, h, 三个不确定参数及其调整函数k, h, 三者对二元运算模型 L(x, y)共同的影响方式是L(x, y, k, h, ) 1 (F1 (L(2 F(x, k), h), 2(1 ) F(y, k), h), h), k)目前我们尚未发现第5种影响连续值命题逻辑运算模型的不确定性因素，已知的其他不确定性因素，如论域特性
11、的不均匀性、信息的不完整性和动态性，应该在谓词逻辑层面去解决。根据上述关于影响连续值命题逻辑运算模型的不确定性因素的分析，搞清楚了有关辩证矛盾是如何决定不确定性的最大影响范围和影响方式，得到了它的调整函数，可以依据三角范数原理和逻辑运算公理，得到连续值逻辑代数中的各种运算模型。2，非运算公理及模型1）非运算模型N(x) 是0, 10, 1 的一元运算，它必须满足以下的非运算公理： x0, 1边界条件N1 N(0)1, N(1)0单调性N2 N(x)单调减, iff x, y0, 1, 若x y, 则N(x)N(y)逆等性N3 N(x)有逆等性, iff x0, 1, N(x)N (x), N
12、(x)是N(x)的逆 2）N 3ite0|x 1; 1是最大非算子，N 0ite1| x0; 0是最小非算子，N 11x是中心非算子。 非运算模型只受误差系数k的影响，是一个N 范数完整簇N(x, k), 它由生成基N(x) 1x和N性生成元完整簇 (x, k) x n, k2 -1/n n, n1/log 2k相互作用而生成N(x, k) -1(1 (x, k), k)(1 x n)1/n 其中参数k是N(x , k)的不动点, 也是非运算中的阈元, 最大非算子是N 3N(x, 1), 中心非算子是N 1N (x, 0.5), 最小非算子是N 0N(x, 0)（见图 14） 。图 14 非运
13、算模型完整簇及其生成元完整簇3，与运算公理及模型1) 与运算模型 T(x, y)是0, 1 20, 1的二元运算, 它必须满足以下的与运算公理: x, y, z0, 1边界条件T1 T(0, y)0, T(1, y)y单调性T2 T(x, y)关于x, y 单调增结合律T3 T(T(x, y), z)T (x, T(y, z)上界性 T4 T(x, y)min(x, y)2）与运算模型可受k, h, 的联合影响，是一个运算模型完整簇T(x, y, k, h, )(max(0, 2 xnm2(1 )ynm1) 1/mn其中当 0.5 时，偏袒性的影响消失，T( x, y, k, h)(max(0
14、, x nmy nm1) 1/mn其中当 k0.5 时，误差的影响消失，T(x, y, h)(max(0, x my m1) 1/mT(x, y, h)有四个特殊算子（见图 15）:Zadeh 与算子 T(x, y, 1)T 3min( x, y) 概率与算子 T(x, y, 0.75) T xy 有界与算子 T(x, y, 0.5) T1max(0, xy 1) 突变与算子 T(x, y, 0)T 0itemin(x, y)|max(x , y)1; 0图 15 特殊的 h 型与运算模型图4，或运算公理及模型1) 或运算模型 S(x, y)是0, 1 20, 1的二元运算, 它必须满足以下的
15、或运算公理: x, y, z0, 1边界条件S1 S(1, y)1, S(0, y)y单调性S2 S(x, y)关于x , y单调增结合律S3 S(S(x, y), z)S(x , S(y, z)下界性 S4 S(x, y)max(x, y)2）或运算模型可受k, h, 的联合影响，是一个运算模型完整簇S(x, y, k, h, )(1(max(0, 2 (1x n)m2(1 )(1y n)m1) 1/m)1/n其中当 0.5 时，偏袒性的影响消失，S(x, y, k, h)(1(max(0, (1x n)m(1 y n)m1) 1/m)1/n其中当 k0.5 时，误差的影响消失，S(x, y
16、, h)(1(max(0, (1x) m(1 y) m1) 1/mS(x, y, h)有四个特殊算子（见图 16）:Zadeh 或算子 S(x, y, 1)S 3max( x, y) 概率或算子 S(x, y, 0.75)S x yxy 有界或算子 S(x, y, 0.5)S 1min(1, xy ) 突变或算子 S(x, y, 0)S 0itemax(x, y )|min(x, y)0;1图 16 特殊的 h 型或运算模型图在 S(x, y, k, h)和 T(x, y, k, h)之间存在对偶律 N(S(x, y, k, h), k)T(N(x, k), N(y, k), k, h)N(T
17、(x, y, k, h), k)S(N(x, k), N(y, k), k, h)当 h0.5, 1时 , S(x, y, h)和 T(x, y, h)满足相容律S(x, y, h)T( x, y, h)xy5，蕴涵运算公理及模型1) 蕴涵运算模型 I(x, y)是0, 1 20, 1的二元运算, 它必须满足以下的蕴涵运算公理 : x, y, z0, 1边界条件 I1 I(0, y)1, I(1, y)y, I( x, 1)1单调性 I2 I(x, y)关于 y 单调增, 关于 x 单调减连续性 I3 I(x, y)关于 x, y 连续保序性 I4 I(x, y, k, h)1, iff xy
18、 (除 h0 和 k1 外)推演性I5 T(x, I(x, y)y (假言推论) 2）蕴涵运算模型可受k, h, 的联合影响，是一个运算模型完整簇I(x, y, k, h, )(min(1, 12 xnm2(1 )ynm)1/mn其中当 0.5 时，偏袒性的影响消失，I( x, y, k, h)(min(1, 1x nmy nm)1/mn其中当 k0.5 时，误差的影响消失，I( x, y, h)(min(1, 1x my m)1/mI(x, y, h)有四个特殊算子（见图 17）: Zadeh 蕴涵 I(x, y, 1)I 3ite1|xy; y概率蕴涵 I(x, y, 0.75)I min
19、(1, y/ x) (Goguen 蕴涵)有界蕴涵 I(x, y, 0.5)I 1min(1, 1xy) (Lukasiewicz 蕴涵)突变蕴涵 I(x, y, 0)I 0itey |x1; 1图 17 特殊的 h 型蕴涵运算模型图6，等价运算公理及模型1) 等价运算模型 Q(x, y)是0, 120, 1的二元运算, 它必须满足以下的等价运算公理 : x, y, z0, 1边界条件Q1 Q(1, y)y, Q(x, 1)x单调性 Q2 Q(x, y)关于|x y|单调减连续性 Q3 Q(x, y)关于 x, y 连续保值性 Q4 Q(x, y)1, iff xy (除 h0 和 k1 外)
20、.2）等价运算模型可受k, h, 的联合影响，是一个运算模型完整簇Q(x, y, k, h, )ite(1|2 xnm2(1 )ynm|)1/mn|m0; (1|2 xnm2(1 )ynm|)1/mn其中当 0.5 时，偏袒性的影响消失，Q (x, y, k, h)ite(1|x nmy nm|)1/mn|m0; (1| xnmy nm|)1/mn其中当 k0.5 时，误差的影响消失，Q (x, y, h)ite(1 |x my m|)1/m|m0; (1| xmy m|)1/mQ(x, y, h)有四个特殊算子（见图 18）:Zadeh 等价 Q(x,y,1)Q 3ite1|x y;min(
21、x,y) 概率等价 Q(x,y,0.75)Q min( x/y,y/x) (I 等价)有界等价 Q(x,y,0.5)Q 11|xy | (S 等价)突变等价 Q(x,y,0)Q 0itex| y1; y|x1;1 图 18 特殊的 h 型等价运算模型图7，平均运算公理及模型1) 平均运算模型 M(x, y)是0, 1 20, 1的二元运算, 它必须满足以下的平均运算公理: x, y, z0, 1边界条件 M1 min(x, y)M(x, y)max(x, y)单调性 M2 M(x, y)关于 x, y 单调增连续性 M3 M(x, y)关于 x, y 连续幂等性 M4 M(x, x)x2）平均
22、运算模型可受k, h, 的联合影响，是一个运算模型完整簇M(x, y, k, h, )(1( (1x n) m(1 )(1y n) m)1/m)1/n其中当 0.5 时，偏袒性的影响消失，M( x, y, k, h)(1 (1x n) m(1y n) m)1/m)1/n其中当 k0.5 时，误差的影响消失，M( x, y, h)1( (1x) m(1y) m)1/mM(x, y, h)有四个特殊算子（见图 19）:图 19 特殊的 h 型平均运算模型图Zadeh 平均 M(x, y, 1)M 3max(x, y)S 3概率平均 M(x, y, 0.75)M 1(1 x )(1y )1/2 有界
23、平均 M(x, y, 0.5)M 1( xy )/2 (算术平均)突变平均 M(x, y, 0)M 0 min(x, y)T 3其中还有一些常见的平均算子,如几何平均 1M(1x , 1y , 0.75)(xy) 1/2调和平均 1M(1x , 1y , 0.866)2xy/(x y)8，组合运算公理及模型1) 组合运算模型 Ce(x, y)是0, 1 20, 1的二元运算, 它必须满足以下的组合运算公理: x, y, z 0, 1边界条件 C1 当 x, ye 时, C e(x,y)min(x, y); 当 x, ye 时, C e(x,y)max(x, y); 当 xy2e 时, C e(
24、x, y)e; 否则, min( x, y)C e(x, y)max(x, y)单调性 C2 C e(x, y)关于 x, y 单调增连续性 C3 C e(x, y)关于 x, y 连续幺元律 C4 C e(x, e)x2）组合运算模型可受k, h, 的联合影响，是一个运算模型完整簇Ce(x, y, k, h, )itemin(e, (max(0, 2 xnm2(1 )ynme nm)1/mn|2x2(1 )y2e; (1(min(1e n, (max(0, 2(1x n)m2(1 )(1y n)m(1 e n)m)1/m)1/n)|2x2(1 )y2e; e其中当 0.5 时，偏袒性的影响消
25、失Ce(x, y, k, h)itemin(e, (max(0, x nmy nme nm)1/mn|xy2e; (1(min(1e n, (max(0, (1x n)m(1y n)m(1e n)m)1/m)1/n)| xy2e ; e其中当 k0.5 时，误差的影响消失Ce(x, y, h)itemin(e, (max(0, x my me m)1/m|xy 2e; (1(min(1e, (max(0, (1x) m(1y) m(1e) m)1/m)|xy2e; eCe(x, y, h)有四个特殊算子（见图 20）:Zadeh 组合 C e(x,y,1)C e3itemin(x,y)|xy
26、2e;max(x ,y)|xy2e;e概率组合 C e(x,y,0.75)C e itexy/ e|xy 2e;(xyxy e)/(1e)|xy2e;e有界组合 C e(x,y,0.5)C e1 1xye突变组合 C e(x,y,0)C e0ite0| x,ye;1|x,ye ;e意义：在一个理论系统内部出现的逻辑矛盾，它往往揭露的是系统的理论缺陷，解决它可以推动该理论系统的完善；如果在一个理论系统外部出现了逻辑矛盾，它暴露的是这个理论的应用局限性，解决它往往可以推动该理论系统向更高级的阶段发展。而辩证矛盾则不同，它通常是现实问题中不可忽略的重要因素，是事物发展变化的内在原因和动力。标准逻辑不
27、允许一切形式的矛盾和不确定性存在，它只能在确定的真/假分明的理想世界中使用。现实世界中普遍存在着辩证矛盾和不确定性，不妥善解决这个问题，逻辑学无法面对现实问题。所以非标准逻辑不能简单地将辩证矛盾排斥在外，而应该正面研究辩证矛盾的有关规律，并利用这些规律使事物向着有利的方向发展。这就是说，非标准逻辑应该能够在排除逻辑矛盾的同时包容各种辩证矛盾，本文成功地在连续值逻辑代数中包容了 4 种辩证矛盾，它们是影响连续值命题逻辑运算模型的最基本的不确定性因素，目前尚未发现第 5 种这样的因素。已知的其他不确定性因素，如论域特性的不均匀性、信息的不完整性和动态性，应该在命题逻辑运算模型之外寻求解决方法。图 20 特殊的 h 型组合运算模型图
