1、第一章：基本概念重点：一一映射、代数运算、代数系统、同态、同构、分类。 第二章：群重点：群的各种等价定义、变换群及其基本定理、置换群、子群。 难点：置换群、变换群、陪集。第三章：正规子群和群的同态与同构重点：正规子群、商群、同态基本定理 难点：同态基本定理、同构定理、自同构群。第四章：环与域重点：环、域、理想 难点：环的同态、同构，极大理想、商域。第五章：唯一分解整环重点：唯一分解，主理想环，多项式和多项式的根。 难点：唯一分解环，主理想环、欧氏环。近世代数练习题（A）一、填空题（每题 3 分，共 30 分）：1、 设 是 集 合 到 的 满 射 ， 则 .2、设群 中元素 的阶为 ，如果 ，
2、那么 与 存在整除关系为 .3、 写 出 三 次 对 称 群 的 子 群 的 一 切 左 陪 集 ， ， .4、设 是一个 阶交换群， 是 的一个 （ ）阶元，则商群 的阶等于 .5、设 = 是 循 环 群 ， 则 与 整 数 加 群 同 构 的 充 要 条 件 是 .6、若环 的元素(对加法)有最大阶 , 则称 为环 的 .7、若环 满足左消去律，那么 必定 (有 或 没有) 左零因子 .8、若 是一个有单位元的交换环， 是 的一个理想，那么 是一个域当且仅当 是环 的 .9、若域 ， 则称 是一个素域.10、设 是域 的一个扩域, . 如果存在 上非零多项式 使 , 则称 为 上的一个 .
3、二、选择题（每题 4 分，共 20 分）：1、指出下列哪些运算是代数运算（ ）.A.在整数集 上， B.在有理数集 上，C.在正实数集 上， D.在集合 上，2、设 是一个群同态映射(不一定是满射) ，那么下列错误的命题是（ ）.A. 的单位元的象是 的单位元 B. 的元素 的逆元的象是 的象的逆元C. 的子群的象是 的子群 D. 的正规子群的象是 的正规子群3、下列正确的命题是（ ）.A 主理想整环必是欧氏环 B. 欧氏环一定是唯一分解整环C.唯一分解整环必是主理想整环 D.唯一分解整环必是欧氏环4、若 是域 的有限扩域， 是 的有限扩域，那么（ ）A. B.C. D.5、下列不是循环环 的
4、单位（可逆元）的是（ ）.A. B.5 C. 7 D. 2三、证明题（每题 10 分,共 50 分）：1、设 为实数且 ，并规定证明： 对此运算作成一个群.2、证明: 9 在有单位元的整环中不能惟一分解.3、设 是偶数环. 证明:1) ;2) 是否成立? 为什么? 是由哪个偶数生成的主理想?4、设 是群 到群 的一个同态满射,又 , ,证明:.5、设 6 阶群 G 不是循环群，证明：G .（A）参考答案一、填空题（每题 3 分，共 30 分）:1、 2、 3、 或 , 或 , 或4、 5、 或 6、特征(或特征数) 7、没 有8、一个极大理想 9、不含真子域 10、代数元二、选择题（每题 4
5、分，共 20 分）:1、D 2、 D 3、B 4、D 5、D三、证明题（每题 5 分,共 50 分）:1、证明:显然 是非空集合 上的代数运算., 则有即 , 对此运算满足结合律.又 , 即 是 的左单位元; 又 , 有且 , 即 是 在 中的左逆元. 因此, 对此运算作成一个群.2、证明: 首先易知, 中的单位是 .其次, 若 , 则 必是环 的不可约元.事实上, 若 是 的任一因子, 则有 , 使, 故 或 .但 不可能, 故只有 或 .当 时, 是可逆元; 当 时, 与 相伴. 因此, 只有平凡因子, 即 是不可约元.故, 是 的不可约元.但 , 而且 又不与中的任一个相伴,即 9 不能
6、惟一分解. 3、证明:1) , 则 , 于是 .再任取 , 由 知, . 故 .2) 不成立.因为, 例如 , 但 .事实上, . 即 是由 8 生成的主理想.4、证明：方法(一):因为 , 是满同态， 故 .令.下证 是商群 到 的一个同构映射. 1) 是映射: 设 , 则 .因是同态满射,故.从而 , 即 是商群 到 的一个映射. 2) 是满射: ,因 是同态满射, 故有 使 . 从而在 之下 有逆象 , 即 是满射. 3) 是单射: 设, 则.因 是满射, 故有 使,其中 是 的单位元. 于是 故 . 从而 , 即 是单射.又显然在 之下有,故 是商群 到 的一个同构映射. 因此 .方法
7、(二):利用群同态基本定理因为 , 是满同态， 故 .设 是群 到商群 的映射. 因为又 是满射(因 是满射),故 是群 到商群 的满同态映射 .又 , 据群同态基本定理, .5、证 因为 G 不是循环群，故 G 没有 6 阶元.从而由 Lagrange 定理知，G 必有 2 阶元或 3 阶元.除 外 G 中元素不能都是 2 阶元：若不然，G 为交换群.于是在 G 中任取互异的 2 阶元 ，则易知.这与 Lagrange 定理矛盾 .又除 外 G 中元素不能都是 3 阶元：若不然，则在 G 中任取 3 阶元 ，可知 G 有子群，且 .于是,这与 矛盾.因此，G 必有 2 阶元和 3 阶元.由此
8、可知：，且易知是 G 到 的一个同构映射，故 G .世代数练习题（B）一、填空题（每题 3 分，共 30 分）：1、 设 是 实 数 集 ， 规 定 的 一 个 代 数 运 算 （ 右 边 的 乘 法 是 普 通 乘 法 ） ，则 （ 适 合 或 不 适 合 ） 结 合 律 .2、 设 = 是 6 阶 循 环 群 ， 则 的 所 有 生 成 元 是 .3、给出一个 5-循环置换 ，那么 .4、设 是有单位元的交换环， 是 的由 生成的主理想，那么 中的元素可以表达为.5、 设 是群 的子群，且 有左陪集分类 . 如果 ，那么 .6、 群 的 任 意 个 正 规 子 群 的 交 (是 或 不 是
9、 )群 的 正 规 子 群 .7、 设 是 一 个 4 阶 群 ， 则 的 真 子 群 的 可 能 的 阶 数 是 .8、 设 是 一 个 有 单 位 元 的 整 环 . 如 果 的 每 一 个 理 想 都 是 一 个 主 理 想 ， 则 称 是 一 个 .9、模 8 的剩余类环的全部零因子是 .10、若域 是域 E 的一个子域, 则称 E 为子域 的一个 .二、选择题（每题 4 分，共 20 分）：1、设 为群，其中 是实数集，而乘法 ，这里 为 中固定的常数. 那么群中的单位元 和元素 的逆元分别是（ ）.A.0 和 B.1 和 0 C. 和 D. 和2、设 是环同态满射， ，那么下列错误
10、的结论为（ ）.A.若 是零元，则 是零元 B.若 是单位元，则 是单位元C.若 是不交换的，则 不交换 D.若 不是零因子，则 不是零因子3、下列不是整环 的单位的是（ ）.A.1 B.-1 C. i D. 2i4、设 和 都是群 中的元素且 ，那么 （ ）.A. B. C. D.5、设 是有单位元的整环且 . 在 中，如果 ， 其中 是 的一个单位， 则称 是的（ ）.A.相伴元 B.可约元 C.可逆元 D.幂零元 三、证明题（每题 10 分,共 50 分）：1、证明: 交换群中所有有限阶元素作成一个子群.2、设 为整数集，证明 对以下二运算作成一个交换环:.3、设 是群 到群 的一个同态
11、满射. 证明： 是 的正规子群，且 .4、证明：整数环上的多项式环 的理想 不是主理想.5、证明：整数 5 在 中的全部真因子共有 8 个，它们是 .（B）参考答案一、填空题（每题 3 分，共 30 分）：1、适 合 2、 (未全对者 ,不给分) 3、 4、 5、8 6、是 7、2 8、主 理 想 整 环 9、 (未全对者,不给分)10、扩域 二、选择题（每题 4 分，共 20 分）：1、D 2、 D 3、D 4、B 5、A三、证明题（每题 10 分,共 50 分）：1、证明: 设 是由交换群 中所有有限阶元素作成的集合. 显然, , 故 非空. 若 ， 设 .因 可换, 故 , 从而 。又因
12、 , 故 . 因此, .2、设 为整数集，证明 对以下二运算作成一个交换环:.证明: 易知 对 作成加群，1 是零元， 是元素 的负元. 此外， 对乘法满足交换律和结合律.下证乘法对加法满足分配律：因为故 .因此， 对 作成一个交换环.3、证明: 首先，由于 的单位元是 的正规子群，故其所有逆象的集合，即 也是 的一个正规子群. 其次，设，则在 与 之间建立以下映射：.1） 设 ，则 .于是即 中的每个陪集在 之下在 中只有一个象，因此， 为 到 的一个映射；2） 任取 ，因 是满射，故有 ，使 .从而在 之下 在 中有逆象 ，即 为满射.3） 若 ，则 ，从而 .即 为单射.因此 为双射.又
13、由于有，故 为同构映射，从而 .4、证明： 因若不然，设，则 . 由于 是有单位元的交换环，故可令，这只有 .但因为 显然是由常数项为偶数的所有整系数多项式作成的理想，故 ，矛盾. 5、证明：设 是 5 在 中的任一真因子，则存在 使，这只有 .由于 是 5 的真因子，而环 的单位只有 ，故 ；又 ：因若 ，则由上知， 即 是单位， 与 5 相伴，这与 是 5的真因子矛盾.故只有.解此方程可得于是，5 的全部真因子共有 8 个，它们是: .近世代数练习题（C）一、填空题（每题 5 分，共 40 分）：1.设群中元素 的阶为 ,则 = ,这里 为正整数.2. 阶循环群有 个子群.3.置换 的阶为
14、 .4.互不同构的 6 阶群有且只有 个.5.设 是一个非空集合,则其幂集环 的特征为 .6.有限的除环是否为域？ .7.整数环 的极大理想是否为素理想? .8.设 分别为惟一分解整环、主理想整环与欧氏环的集合，则 的关系为 .二、 （10 分）：举例说明:群 的正规子群 的正规子群未必是 的正规子群.三、 （20 分）：叙述并证明群的同态基本定理.四、证明题（每题 10 分,共 30 分）：1.设 是包含在群 的中心内的一个子群.证明: 当 为循环群时, 为交换群.2. 在整数环 中,1) 若 为 的非零理想, 为 中的最小正整数, 则 .2) 若 是 个整数 , 且 , 则 .3. 设 是
15、一个域,且 ,证明:1) .2) 中除 0 与 1 外,其余的两个元素都满足方程 .（C）参考答案一、填空题（每题 5 分，共 40 分）1t ； 2. T(n); 3. 2 ; 4. 2 ; 5. 2 ; 6. 是;是 ; 二、举例说明:群 的正规子群 的正规子群未必是 的正规子群.解：在四次对称群 中，Klein 四元群 是四次对称群 的正规子群,而 是 的正规子群, 但是 并不是 的正规子群. 因为有 . (10 分).三、叙述并证明群的同态基本定理.叙述: 设 是从群 与群 的同态满射, 则 是 的正规子群, 且 .证明: 由于 的单位元是 的一个正规子群, 故其逆象的集合, 即 的核
16、 也是 的一个正规子群. 首先,设 则对任意的 ,有, 故 是单射.其次, 对任意的 , 由于 是满射, 所以 , 使 , 从而, , 因此,是满射.又对任意的 , 有 , 因此, 是同构映射,故 .四、证明题( 每题 10 分, 共 30 分)1.设 是包含在群 的中心内的一个子群.证明: 当 为循环群时, 为交换群.证明: 首先, 由于子群 含于群 的中心, 故 是 的正规子群.当 是循环群, 且 时, 对 , 存在整数 , 使得, 即 ,于是有 , 使得 , 由于 含于群 的中心, 因此 中的元素与 的任何元素都可换,故 , 即 是交换群.3. 在整数环 中,3) 若 为 的非零理想,
17、为 中的最小正整数, 则 .若 是 个整数, 且 , 则证明：1) 由于 是非零理想, 因此 , 必含非零整数, 从而, 必含正整数. 设 是中的最小正整数, 则对任意的 , 必存在整数 , 使 , 其中 或 , 于是 , 由于 是理想, 故 , 从而 , 但 是 中的最小正整数, 于是有 . 即 ,因此 , 而 是显然的, 故 .2) 由于 ，故 ， 因而 ， ， 即, 又 , 所以, , 使得, 因此, , 从而, 因此 .3设 是一个域,且 ,证明:1) .2) 中除 0 与 1 外,其余的两个元素都满足方程 .证明：1) 设域 的特征是素数 , 则 中每个非零元素的阶( 作为加法 )都
18、是素数.但 , 故 , 从而 , 即 .4) 设 , 则 的乘群为 , 由于 在 中的阶整除 , 故的阶只能 3. 令 为 中的任一个, 则 , 即 ,但 且域无零因子, 故 或 . 又因 , 故, 于是有 .近世代数练习题（D）一、填空题（每题 5 分，共 40 分）：1.若群中元素 的阶为 ,则 = .2.无限循环群 的生成元为 ;4 阶循环群 的生成元为 .3.置换 的阶为 .4.在三次对称群 中,子群 的指数为 .5.设 是一个非空集合,则 的幂集环 的特征为 .6.模 6 的剩余类环 的乘群阶数为 .7.整数环 的极大理想是否为素理想? .8.设 分别为惟一分解整环、主理想整环与欧氏
19、环的集合，则 的关系为 .二、计算题（10 分）：设 ，求 与 .三、证明题（20 分）：设 是一个群,证明:1. 的全体内自同构 作成一个群.2. .四、证明题（每题 10 分,共 30 分）：1设群 中元素 的阶为 ,证明: .1. 在整数环 中,1) 若 为 的非零理想, 为 中的最小正整数, 则 .2) 若 是 个整数 , 且 , 则 .2. 设 是一个有单位元的整环, ,证明:1) 主理想 与 相等 与 相伴.2) 是 的单位 .近世代数测试题（D）参考答案一、填空题（每题 5 分，共 40 分）1 ；2. ， ;3. 4; 4. 3;5. 2;6. 2 ;7. 是 ;8. .二、计
20、算题（10 分）： 设 ，求 与 .解： .,.三、证明题（20 分）：见 3.5 节的定理 3.四、证明题（每题 10 分,共 30 分）：1 设群 中元素 的阶为 ,证明: .证明: 若 , 则 , 又由于 , 故 .反之, 若有 , 则由于 , 故 , 从而 .3. 在整数环 中, 证明1) 若 为 的非零理想, 为 中的最小正整数, 则 .2) 若 是 个整数 , 且 , 则 .证明：1) 由于 是非零理想, 因此 , 必含非零整数, 从而, 必含正整数. 设 是 中的最小正整数, 则对任意的 , 必存在整数 , 使 , 其中 或 , 于是, 由于 是理想, 故 , 从而 , 但 是
21、中的最小正整数, 于是有 . 即 , 因此 , 而 是显然的, 故 .2) 由于 ，故 ， 因而 ， ， 即. 又 , 所以, , 使得, 因此, , 从而,因此 .4. 设 是一个有单位元的整环, ,证明:1) 主理想 与 相等 与 相伴.2) 是 的单位 .证明: 1) 设 , 则 , 从而有 , 使得 , 于是. 若 则 , 从而 与 当然相伴. 若 , 则 , 即 为单位, 从而与 也相伴.反之, 若 与 相伴, 则存在单位 , 使得 , 于是 , 但 , 故, 故 .2) 设 , 即 , 从而有 1)知 是单位.反之, 若 是单位, 则 , 从而 近世代数练习题（E）一、填空题（每题
22、 5 分，共 40 分）：1.若群中元素 的阶为 ,且 ，则 .2.6 阶循环群有 个子群.3.置换 的阶为 .4.在三次对称群 中,子群 的指数为 .5.模 6 的剩余类环 的子环 的特征为 .6.高斯整环 的乘群为 .7.整数环 的极大理想是否为素理想? .8.设 分别为惟一分解整环、主理想整环与欧氏环的集合，则 的关系为 .二、计算（10 分）：设 ，求 与 .三、证明题（20 分）：设 是群 的一个非空子集, 证明:1. 是 的子群.2. 是 的正规子群.同态基本定理.四、证明题（每题 10 分,共 30 分）：1设群 的 阶子群有且只有一个,证明此子群必为 的正规子群.2设环 有单位
23、元 1, 又 , 证明: 如果 且 在 中有逆元, 则 .3. 证明:整数环上的多项式环 是一个惟一分解整环.（E）参考答案一、 填空题（每题 5 分，共 40 分）1 1） ；2. 4；3. 6 ；4. 2；5. 3；6. ；7. 是 ；8. .二、计算题（10 分）：设 ，求 与 .解： .= .三、证明题（20 分）：参见 3.6 节的定理 6.四、证明题( 每题 10 分, 共 30 分)1设群 的 阶子群有且只有一个,证明此子群必为 的正规子群.证明: 设 是 的 阶子群, 对任意的 , 由于 是 的共轭子群, 因而 也是的 阶子群.由于 的 阶子群只有 , 所以 , 根据正规子群的
24、定义, 知 是 的正规子群. 2设环 有单位元 1, 又 , 证明: 如果 且 在 中有逆元, 则 .证明: , 因为 有逆, 所以, 即 .从而 , 故 .3证明：整数环上的多项式环 是一个惟一分解整环.证明: 显然 为整环且其单位只有 . 其不可约元为全体(正、负) 素数及次数大于 0 的本原不可约（在 上）多项式。今在 中任取 . 显然 可惟一表示成 , , 为本原多项式, 而且 的最高次数为正整数.若 为本原的, 则由高等代数知, 可惟一表示成不可约多项式之积.若 不是本原的, 则由于 , 而 可惟一表示成素数之积, 而 可惟一表示成不可约多项式之积, 从而 可惟一分解成 中不可约元之
25、积; 因此 是惟一分解.近世代数练习题（F）一选择题（每题 2 分，共 10 分）1 所有整数,令 : ,当 是偶数; ,当 是奇数.则 为 ( )(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换2若 ,且 的阶为有限整数 ,则下列说法正确的是 ( )(A) 与模 的剩余类加群同构 (B) 的阶可能无限(C) 元 中没有相同元 (D) 与整数加群同构3若 是一个特征为有限整数 的无零因子环，且 ，则 （ ）(A) (B) ，其中 为素数(C) 存在 中元 的阶为无限整数 (D) 对乘法成立两个消去律4若 是一个域, 不正确的是 ( )(A) 是交换除环 (B) 对乘法作成
26、群(C) 无零因子 (D) 中不等于零的元都有逆元5若 是主理想整环, 是 中素元, 且 则 ( )(A) 主理想 不是 的极大理想 (B) 不是唯一分解整环(C) 若 ,则有 或 (D) 不是域二填空题（每题 2 分，共 20 分）1.假定 ,那么 .2. 假定 和 同构, 和 同构, 则 和 .3. 在群 中, , 则方程 有唯一解为 .4. 若 是由集合 的全体一一变换所作成, 则 是一个 群.5.若 是有单位元的交换环,则 的主理想 中的元有形式为 .6. 是有单位元的交换环, 是 的子环 上的未定元, 则仅当 时,才有 成立.7. 是一个有单位元的环, 且 ，则在 中必有一个元没有逆
27、元, 它是 . 8唯一分解整环 中的元 和 的两个最大公因子 和 只能差一个 .9. 除环的理想共有 个.10. 模 6 的剩余类环 的子环 的单位元是 .三判断题（每题 2 分，共 10 分）1 为不等于零的实数的全体,那么普通除法适合结合律. ( )2有限群中存在某个元的阶无限. ( )3假定域 与 同态, 则 也是域. ( )4整环中的单位 同素元 的乘积 还是一个素元. ( )5除环除了零理想和单位理想还有其它理想. ( )四解答题（每小题 10 分,共 20 分）1. 用循环置换的方法写出三次对称群 的全体元.说明集合 是 的子群,并且写出的所有左陪集.2. 设 是 6 阶循环群，找
28、出 的全部生成元，并找出 的所有子群.五证明题（每题各 10 分，共 40 分）1. 若 是 的正规子群， 是 的子群，试证 是 的正规子群.2. 证明: 设 是群 的元素, 的阶为 2, 的阶为 3, 且 , 证明 的阶为 6.3. 证明: 整环 中不等于零的元 有真因子的充分必要条件是: , 且 和 都不是单位.4. 证明: 整数集对于普通加法和乘法作成环.（F）参考答案一、1. B; 2. A; 3. D; 4. B; 5. C二、1.A; 2. 同构; 3. ; 4. 对称群; 5. ; 6. ;7. 0; 8. 单位; 9. 2; 10.4三、1. 错; 2. 错; 3. 错; 4. 对; 5. 错.四、1 。2 子群有：五、1显然 ， 又 ，有 ，而 ，所以，因此 是 的正规子群。2由 2.2 节的定理 4 即得.3. 由 5.1 节的定理 2 即得.4. 易证,从略
