1、 第三章 代数（算术）思维与几何思维“就几何和代数的学习而言，我们究竟应当采取分割的作法，还是应当采取整合的路子？”“当然，我们不应停留在纯粹的理论争论，而应积极地开展相应的实践活动；但是，就现实而言，有些问题之所以始终长期悬而未决，其主要原因并不在于缺乏必要的实践，恰恰相反，这在很大程度上即是表明了相应的理论研究尚未达到应有的深度。我就是这样常常实践，却不思考理论的指导意义。事实上，如果在理论的指导之下再进行实验，可以少走很多弯路。在我重读课程标准之后，我对分层教学实践活动的认识又深了一层。对理论的渴望重新上升到新的高度。小学教材中“数与代数”、“空间与图形”是怎样“整合”在一起的？每一册中
2、，以“单元”为单位，相对独立地呈现；以习题为形式，把这两大内容适时地综合。3.1“凝聚”：算术与代数思维的基本形式所谓“凝聚”（encapsulation），笼统地说即是指由“过程”（process）向“对象”（entity）的转化。具体地说，在数学，特别是算术和代数中，有不少概念在最初是作为过程得到引入的，但最终又转化成了对象对此我们不仅可以具体地研究它们的性质，也可以此为直接对象去施行进一步的运算（对于所说的“运算”，应作广义的理解，即其未必是指具体的运算，也可包括任何一种数学运作，甚至不一定要有明确的算法。）“凝聚”这一概念在数学教育领域中出现应当是是近一二十年的事；需强调的是，这又应被
3、看成数学学习心理学、乃至数学教育专业化发展的一个重要成果，因为，相关的研究清楚地表明了这样一点：数学学习心理学（数学教育）不应被看成一般的学习心理学（一般教育理论）在数学教育领域中的简单应用，恰恰相反，我们应当切实立足于实际的数学教学与学习活动，并通过相对独立的研究引出自己的理论成果。毋宁说，我们所反对的主要是这样一种简单化的观点，即是讲“数学学习心理学”（数学教育学）简单地等同于“一般学习心理学（一般教育学）+数学的例子”，也即只是在一般学习心理学（教育学）的理论框架中简单地去嵌入若干数学的实例，因为，数学学习心理学（数学教育学）如有独立存在的必要，显然应当特别重视数学学习活动（与数学活动）
4、的特殊性。“Encapsulation”，把它翻译成“凝聚”，总觉得很生涩，好在有英语单词，查了一下：1、名词 n 概括；2、封装、封闭、密封；3、包胶。虽然我也没有找到一个更好的词来表达这个英语单词，但多少对它有了更深的了解。例如，加减法就其最初的含义而言显然都应被看成一种过程，也即代表了这样的“输入输出”过程：由两个加数（被减数与减数）我们就可以求出相应的和（差）。然而，随着学习的深入，这些运算已不再仅仅被看成一个过程，而也被认为是一个特定的数学对象，我们并可具体地去指明它们所具有的各种性质，如交换律、结合律等，从而，就其心理表征而言，就经历了一个“凝聚”的过程，也即由一个包含多个步骤的运
5、作过程凝聚成了单一的数学对象。道尔给出的一个表格让我清楚地看懂了过程与对象，只是感觉好像“比值”和“比”的位置不对。因为曾经做过校对，这次不知是我自己错还是编辑错。尽管在小学数学的学习过程中学生已经多次经历了由“过程”到“对象”的重要转变，从而也就清楚地表明了这一思维过程的基本性，但是，对于后者我们又不应简单地等同于思维过程的简单性；恰恰相反，由于所说的转变常常是在不自觉的情况下得到实现的，因此，这就十分清楚地表明了由“经验型”转向“理论指导下的自觉实践”的重要性。特别是，只有以相关的理论成果去知道我们的教学，才能使后者成为一种真正的自觉行为，从而也才可能取得更好的教学效果。以下就是这一方面最
6、为重要的一些研究成果。一、“凝聚”的三个阶段作为“凝聚”这一思维活动的具体分析，以色列著名数学家斯法德提出了如下的“三阶段说”，即是认为对于这一思维过程可以作出如下的进一步细分：（1）内化（interiorization）;(2)压缩（condensation）；（3）客体化（reification or objectification）具体地说，其中的前两个阶段，即“内化”和“压缩”可以被视为由“过程”向“对象”转变的必要准备：前者是指用视觉去把握原先的视觉性程序，这也就是说，我们已不再是由前一个步骤一次实际地去启动下一个步骤，而是在头脑中建立起相应过程的整体性心理表征；后者则是指相应的过程
7、被压缩成了一个更小的单元，从而我们就可以从整体上对所说的过程作出描述或进行反思我们不仅不需要实际地去实施相关的运作，也可从更为抽象的高度去对整个过程的性质作出分析，即如我们可以仅仅考虑整个运作的效用，而不必具体地去涉及相应的运算过程，甚至也不必实际地完成相关的运算。最后，相对于前两个阶段而言，“客体化”则代表了质的变化，也即是用一种新的见解去看一件熟悉的事物：原先的过程现在变成了一个静止的对象。例如，对于分数的认识显然就经历了这样的转变过程。“要形成反省、被反省的基础，就是操作过程，这种操作缺少了，后面的反省就无法落实所以，学生的练习时一种基础活动，是必不可少的。而且，这种活动必须是个人认知的
8、亲身体验。学生必须亲自投入，通过信息区主动地组织现象，操纵对象，建构自己的操作过程，无人可以替代”课堂的实践与操作也是必须的，学生的亲身体验并非听讲可以代替，老师哪怕讲得再唾沫横飞，也不及学生的一次亲身实践。所以，给足孩子操作的空间与时间，是教师们应该具备的职业素养。“熟能生巧，但并非一定生巧。”恰恰相反，我们经常可以看到这样的现象（对此心理学家称为“功能上的固定性”）：当人们熟练地掌握某种法则以后，往往就很难从另一个角度去进行思考，从而也就不容易顺利地事先由“过程”向“对象”的转变。从而，与对于“熟能生巧”的盲目倡导相比，我们就应更加由相应的不自觉状态向自觉行为的转变。“题海战术”就是教师所以为的“熟能生巧”，岂不知还有“熟能生笨”！，“功能上的固定性”深深地禁锢了孩子灵动的思维。压力过大、程序化过高的课堂或者是教育环境所造就的必定是目光呆滞、思维呆板的孩子。
