1、 第二章 波函数与波动方程第二章 目 录2.1 波粒两象性 32.2 波函数的玻恩（Max Born,1926 年）几率诠释 几率波 42.3 波函数的性质，态叠加原理 5（1）波函数的性质 5（2）位置和位能的平均值 8（3）动量平均值 9（4）态叠加原理 122.4 含时间的薛定谔方程（Schrodingers equation） .15(1) Schrodingers equation 的建立 15(2) 对 Schrodinger equation 的讨论 172.5 不含时间的薛定谔方程，定态问题 23(1) 不含时间的薛定谔方程 .23（2） 定态 242.6 测不准关系 25（1
2、）一些例子 25（2）一些实验 27（3）测不准关系是波一粒两象性的必然结果 28（4）能量时间测不准关系 28（5）一些应用举例 292第二章 波函数与波动方程既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么，如何理解这两属性呢？它们如何统一起来？ 经典物理观点必须被修改。主要表现：a. 波粒两象性（粒子）EP（波）（Planck 假设）Einstein 关系h（ ， ） （de Broglie 假设） de Broglie 关系kP2k具有确定动量的自由粒子被一平面波所描述)EtrP(i)trk(iAeb. 物理量取值不一定是连续的辐射体辐射的能量取值 nh,210氢原子的能量 020n8aeE
3、cm59.em4a82由于平常粒子的波长 ，所以观察不到干涉, 衍射现象。微观粒子，如电子1，因此在原子线度下可能显示出波动性。而在宏观测量尺度下，几乎也不显示波动1性。将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这在经典物理学中看来是不可能的，因经典粒子 经典波原子性（整体性） 实在物理量的空间分布轨道 干涉，衍射这两者是不相容的。描述微观粒子既不能用经典粒子，也不能用经典波，当然也不能用经典粒子和经典波来描述。2.1 波粒两象性想像一个实验事实：a每次接收到的是一个电子，即电子确是以一个整体出现；b电子数的强度 ，21P,但， ；21Pc电子枪发射稀疏到任何时刻空间至多一个电子，但足够长的时间后
4、，也有同样结果。因此，我们可得到下面的结论：a. 不能认为，波是电子将自己以以一定密度分布于空间形成的（因接收到的是一个个电子） ，也不是大量电子分布形成的（稀疏时，也有同样的现象） ；3b. 不能想像，电子通过 时，能像经典电子（有轨道）那样来描述（因2,1） ；12Pc. 不能认为衍射可能是通过缝后，电子相互作用所导致（稀疏时，也有同样现象） 。总之，电子（量子粒子）不能看作经典粒子，也不能用经典波来描述（经典波是物理量在空间分布。如按经典波描述，现在应是电子密度分布，这当然不是。 ） 。但是，这种干涉现象在经典中也有类似表示，如水波通过二个缝后，在接收器上的强度分布为， ， 。1I2I1
5、2II我们是如何解释这干 涉现象呢？通过缝 时， 水波以描述ti1eh通过缝 时，水波以 描述 2ti2eh通过 ， 时， 则以 ti1)(描述强度 ， 21I2I)h(hh2*1211 cos2（ ， ， ）ie2ie即为干涉项。cosI1电子的干涉现象与这完全相似，但两者的含意是本质不同的，前者是强度，后者是接收到的电子多少。这启发我们，电子的双缝干涉中的现象也可用 函数来描述（它们一般应是复函21,数）， 21P2)(2*11（ ）cosP21 称为波函数（描述粒子波动性的函数称为波函数） ，也就是说，接收器上某位置21,电子数的多少，将由波函数的模的平方 来表征。2空间若有两个波，强度
6、则应由波函数 的模的平方来描述。但是，这种描述是什1么意思呢？它没有回答，电子是一个个出现的问题；也没有回答，空间电子稀疏时，但时间足够长后，干涉花纹照样出现。2.2 波函数的玻恩（Max Born,1926 年）几率诠释几率波真正将量子粒子的微粒性和波动性统一起来的观点是 1926 年被 Max Born 提出的。4如电子用一波函数 来描述，则)x( 从上面分析可以看到，在 范围内，接收到电子多少是与xd的大小有关；dP2 当发射电子稀疏到一定程度时，接收器上接收到的电子几乎是“杂乱无章”的，但当时间足够长时，接收到的电子数分布为 。这表明，电子出现在接收器上)(P的各个位置是具有一定的几率
7、的。当足够多的电子被接收后。在接收器上的电子分布正显示了这一几率分布（电子到接收器上是一个个的，但分布又类似波，即几率波） 。是电子出现在 附近的几率密度（如果 ）2)x(Px1dx)(由此可见，尽管电子通过双缝的描述，类似水波那样用一波函数来描述，但本质是不同的。它不像水波那样是描述某处的水所带能量的大小，而它仅是刻划粒子在空间的几率分布，即 是描述一个电子的几率振幅。)t,r(Max Born（1926 年）给出了波函数的几率解释。玻恩几率解释：如果在 时刻，对以波函数 描述的粒子进行位置测量，测得)t,r(的结果可以是不同的；而在 小区域中发现该粒子的几率为rd（由于是几率， ） 。)t
8、,()t,r(P21rd)t,(P说明两点： 不是对物理量的波动描述。它有意义的是，在于 代表在体, ,2积元 中发现粒子的几率，所以它不代表物理实体，仅是一几率波；rd 粒子是由波函数 来描述，但波函数并不能告诉你， 时刻测量时，粒)t,x( 0t子在什么位置。粒子位置可能在 ，可能在 ，而在 中1,x211dx发现粒子的几率为 。也就是说 在某 处越大，则201d, 2)(在 时刻测量发现粒子在该处的机会越多。 （这表明，我们讲的是预言到什0t么，但我们不能说出测量的结果） 。我们如何来理解这一点呢？因如果对一个体系去测量发现粒子可能就处于 ，只测1x得一个值。但可想像有很多很多同样的体系
9、，对体系同时进行完全相同的测量，测得的结果发现次 1nxd1次 22次 ii当对足够多的同样的体系进行测量后，即在大量的完全相同的体系中，同时测量，那发现粒子在 处的几率为ixdx)t,(n2iji我们将会看到，体系的波函数 给出了体系所有信息（可能范围） ，它给出体,r系一个完全的描述（例如，测量粒子的能量时，可给出预言可能测得那些能量值（即几率不等于 ）和测得该能量值的几率；等等） 。正因为如此，我们可以说波函数描述了体05系所处的量子状态，或称状态。以 描述体系，就称体系处于态 ，或称)t,r()t,r(为体系的态函数。)t,r(2.3 波函数的性质，态叠加原理既然体系状态的波函数 给出
10、了体系所有可能得到的信息，那么它有什么共同)t,r(性质呢？（1）波函数的性质A. 归一化条件：为 时刻，发现粒子在 中的几率。但测量时，总是要发dr)t,(2trd现粒子的。所以，在整个空间中，发现粒子的几率之和应为 。因此，一个真正的1实在的波函数，应该有1)t,(2若波函数满足上述条件，则称该波函数已归一化。应该注意，只有当波函数归一化后，才能说 是几率。否则在 区rd)t,(2rd域中，发现粒子的几率为rd)t,(2若 A则归一化的波函数为（可差一相因子 ， 为实数）)t,r(1)t,(ie这时 才代表在 区域中发现粒子的几率。rd,2d例： tia2re)t,( dre2tiarti
11、420r38所以，归一化的波函数为 tia2r13e)8()t,r而在 中的几率为0d dsinea8drsin)t,r(d320202 0r32006在 中的几率为0d drea81dsinrsin)t,r( 230202si20在 中的几率为0d dsinrea8sinr)t,r(d 2320d21当然，也可计算 中的几率0x0xar3dzyex8yz)t,z( 02)a(4d显然，重要的是相对几率。 和 的相对几率分布是完全相同的，t,r)t,r(A1是描述同一量子状态（这与经典波有很大不同） 。所以差一常数因子的波函数是完全等价的。 即使归一化了，仍可有一相因子的差别 （ 为实数） 。
12、ie有时为了处理问题的方便，或理想化时，我们有时也用一些不能归一化的波函数，如平面波 ， 等。事实上，这也是一大类波函数（本征值连续)trk(ie )a(所相应的波函数） ，我们将在以后讨论。B波函数的自然条件：一般而言，波函数必须连续，有界，单值。 连续：由于 有粒子处于 中的几率解释，所以在rd)t,(2rd和 处几率当然应该相等，所以 在任何条件下应连续；0r)t,( 有界：我们讲有界是指 有界，即使是在某些孤立奇点（对于 ）)t,(2 也能不违背波函数这一性质。只要在包含它的小区域中的几率有界，实际上就是波函数平方可积。例如： ， 0r那只要在小区域（ 附近） 有界即可。 0r23)t
13、,(r4所以要求 不快于 ，即 时，若 的渐近形式 0r)t,( 21)t,r(7为 ，则要求 。sr123s对于一维 。当 ， 有界sx10xs21对于二维 。 当 ， 有界 而对 ，那 趋于 0 应快于 r23r1 单值：实际上仅需 单值，即 单值，我们将在后面讨论。)t,()t,( 在位势有限大小的间断处，波函数导数仍连续,0x,0x(这将在第三章中证明。C多粒子体系波函数的形式个粒子体系的波函数为N，)t,r,(N21共有 个自由度。 是描述粒子 处于3 N1221rd)t,( 1粒子 处于 的几率。应该注意，说粒子 处于1drr等等并不确切。现指 个粒子是不同粒子。1而粒子 处于 的
14、几率为10drN22r),(同样，在整个空间中找到这些粒子的几率应为 。1所以，物质粒子的波动性本质上是与经典波不一样的。经典波是指描述某种实在的物理量在三维空间中的波动现象，而物质粒子波函数一般是在多维空间（位形空间）中的几率波。（2）位置和位能的平均值既然波函数能给出体系的一切可能的信息，它能预言得到某可能值的几率，那它应该能给出物理量的统计平均值。这显然是应当做得到的，但如何给出，则需要研究。A位置平均值设： 是归一化波函数。 由于测得 值在 的几率为)t,zyx(xiix)zy)t,z,x(kj2zkjiikj 从平均值的定义，则 的平均值应表为)z)t,z,(limx kj2zykj
15、iikjidx)t,(28rd)t,(x,r*B位能平均值（假设位能表示中不依赖动量） kji2kjiijkkji zyx)t,zy,z,yVlmd)tx(),(2r,tr*初看起来，动量，能量和角动量等等，平均值都应能类似地给出。但动量平均值能否仍按上述表示给出呢？dxyz)t,()z,yx(P)t,(P*原则上讲，这是完全错的。因粒子具有波动性，而动量是与波长相联系的（） 。但波长是描述波在空间变化的快慢，一般而言，一个波函数 由很h )t,r(多不同波长的平面波叠加而成。在某一点（ ）处，其波长不是一个，而是,有很多不同大小的波长，即在（ ）处，并没有确定的z,yx值，从而可仿上述平均值
16、来表示。那么究竟如何表示动量平)z,yx(P)z,(均值呢？（3）动量平均值既然不能像位置那样求动量平均值，那如何计算呢？根据 de Broglie 关系，具备一定动量和能量的自由粒子，其波长 ，频率Ph，即以一平面波来描述E)tErP(i23)trk(i23P e(1e)(1t,r （系数是为了使它们归一化到 ）P， 2k所以，描述体系是单色平面波时，则粒子具有的动量是完全确定的，因而平均值就是确定的值 。P一般而言，描述粒子是由一波包来实现（局限于空间某一区域，所以是由许多平面波叠加而成） ，即动量有一分布，可由实验来定。一束具有动量 的电子束垂直入射到抛光的镍金属晶体上（即戴维逊和盖末实
17、验），在 方向上有强的电子束出射（若 ） 。Phnsia假设，动量取分立值，有二个动量值 和 的电子束同时入射。由于 和121P对应不同 ， 所以经镍晶体表面散射的角度是不同的，而满足2P12， Phsina2sia当比较远时，两束电子分开，所以分别收集到动量为 ， 的电子束（在 ，1P21方向） 。29这时镍晶体好似一谱分离器，你可认为在 方向上接收到的电子以 1平面波来描述；在 方向上接收到的电子以 平面波来rPi1e)t(C 2rPi2e)t(C描述。因此，在远处接收到动量为 的电子数目1P2ri1 )t(Ce)t()(N11收集到动量为 的电子数目2P。2P2rPi )t()t()(2
18、（而这反映入射到镍晶体表面前电子动量为 和 的数目多少）1所以，散射后，整个空间的波函数的描述应为 riPriP21e)t(Ce)t(（在远处 ， 方向相应 ， 动量的电子）12实际上，镍晶体就是一制备仪器，制备一个体系的状态是以这一波函数来描述。这才是描述散射后，一个电子的波函数。而动量为 的电子几率为1，)t(W)t(C)t()(N)( 121PP2动量为 的电子几率为2P。)t()t()t()()( 221PP21 因此，对于处于状态 ririP21eCe)t,r( 的电子，其动量平均值应表为2P2121 )t()t()t(W)t(P我们可将这一思想（对分立值的情况所做的说明）推广到更一
19、般情况：电子可能具有各种大小和方向的动量。若描述该电子的波函数为 ，则有t,rde)2(1t,C)t,r( rPi3（可以证明，若 ，则 ，这表明 是 时刻，d, 1)t,(C2 )t,P(C动量为 的几率密度振幅。 ）P所以，相应的 d)t,(P,)t,P(*2这类似于 rr*根据上式的逆变换10rd)t,(e)2(1t,PCrPi3则 P, *i de)t,(C)2(1i)t,r(dri3*rdt,),(i)t,r(P*这表明，如果不用直接方法求动量平均值，而用 去求 ，则需)t,r(P要引进算符 来代替 （变量）进行计算，我们称 为粒子的动量i i算符。对于粒子处于状态 （已归一化） ，
20、则其动量的平均值为)t,r(rd)t,(iP*所以，在量子力学中的描述和经典力学中的描述是有本质差别的。量子力学中物理量（力学量）的描述是用算符来描述。在微观粒子行为的量子力学描述中，引入的算符 ， ，对应于经典的位置和动量变量。然而这些算符不等于经典变量。r由上述推理： 求动能平均值（ ） ，可表为m2PTrd)t,(,r*r)t,(2)t,r(*所以动量 iP)zyx(m2T2即 )zyx(2m球坐标 sin1(siin1r)r12 2i)si 22柱坐标 z1)(1m22 角动量 riPrL11（原则上为 ）Pr)r(21)cots(sinyziLx ico)x(yiiz于是角动量平方s
21、in1)(siin1L 22z2yx2 r)(rmT2212rLP这看上去与经典动能在形式上相同，但有实质的不同。因这是算符形式。另外，就 而言，经典为径向动量 ，但现在就不同了。rr（这在后面将讨论）)iP(1iPrr(2另外 )coti(eLiiyxi（4）态叠加原理若体系由 来描述，则 （已归一）描述了体系的几率分)t,zyx(2)t,zyx(布或称几率密度。若粒子处于 态中，则测量动量的取值仅为 ，rpi2rpi1e,Ce, 1p，而不在 之间取值。对于大量粒子，好像一部分电子处于 态，另一部2p2 1分电子处于 态。 但你不能指定某一个电子只处于 态或只处于 态。即对一个12电子而言
22、，它可能处于 态（即动量为 ） ，也可能处于 态（即动量为 ） ，即11有一定几率处于 态，有一定几率处于 态。p2p由这启发建立量子力学最基本原理之一：A. 态叠加原理如果 是体系的一个可能态， 也是体系的一个可能态，则1a2a12是体系的可能态，并称 为 和 态的线性叠加态。21ac1a2说明二点： 对体系测量力学量 时，测得值为 ，使你认为体系（在未测之A前）可能处于 态上，则称 是体系的一可能态；如测得值为 ，使你认为1a1a 2a也为体系的一可处的态。因此，体系处的可能态为 ； 2a 1c 如体系处于 ，那测量力学量 的测得值，可能为 或 ，21cA1而不可能为其他值。而测得 和 的
23、几率分别 。2,c态叠加原理是否正确，是以导出的结果是否正确为依据。B讨论（与经典比较） 经典认为： 本身叠加将产生一个新的态)t,r(a)t,r(2)t,()t,( aa这是因为空间各处的强度增大到原来的 4 倍。而量子力学认为，根据态叠加原理，这两个态是一样的。在 和 中测量力学量 都只有一个值 ，,Aa而空间的几率分布 与 在空间各点之间的相对几率是一样2a)tr(2a)tr(的。事实上，从归一化中，我们已看到，量子力学中态函数乘一常数并不改变或产生新的态。 经典振动可处处为 ，即没有振动。但量子力学中则没有 的态，00)t,r(因 或一不为零的常数。1rd)t,(2a 若 ，经典认为是
24、一个新的波动态，)t,r(C)t,r(2aa即以 来描述物理量在空间的波动，不能说物理量可能作 波动，, )t,r(1a或者可能作 波动。但对量子力学来说，体系可能处于 态，也)t,r(2a可能处于 态。但不会处于 态（ ） 。因测量力学)t,r(3a23,量 所得的测量值是不会为 的。A应该强调指出，有时在处理物理问题时，常常对函数 展开， )t,r(。对经典物理学来说，这仅是一个数学处理，如富里ia)t,r(C)t,r(i叶分解。这仅表明有各种波相干，但并不能说，振荡发生在某一频率上。但量子力学中的态叠加原理则赋于这一展开以新的物理含意：测量力学量 ，可能测A得值仅为 的 值，其几率 ，即
25、系数 不仅仅是展开系数，0iai 2aiCia而是正比于取 值的几率振幅。 它反映了一个非常重要的性质，而这在经典物理学中是很难被接受的。我们知道一个动量为 的自由粒子是以一个平面波1p)tErp(i11Pe)t,r(描述；动量为 的自由粒子是以平面波2)trp(i2p2P2C)t,r(描述。如体系（一个自由粒子）可能处于这两个态，则表明体系所处的态为13，)tErp(i2)tErp(i12P1PeCe)t,r( 可是这个态没有确定的动量 （当你预言动量的测量值时） 。但 也是描述)t,r(自由粒子的可能态。事实上，描述自由粒子状态的最普遍的形式为而pde)p(t,r()tEriPm2pP至于
26、具体状态，那应由一定的条件来定 。)(C所以，量子力学允许体系处于这样一个态中，在这个态中，某些物理量没有确定值（而从经典物理学看只能有一定值） 。具有确定动量 的自由粒子是以平面波0P)tErp(i23p0e)(1t,r来描述。但你不能说具有确定动量的自由粒子就是处于平面波这个状态，这要看你所要观测的物理量。事实上，大家熟知的 tiElm0,l)tErP(i23 0P0 e),(Y)r,k(Ce)(1 而在 中测量角动量 和角动量 分量 的测得值为 ，lmY2LzL2)1l(。这表明，这一自由粒子有一定几率处于 态上，其几率为l。dr),k(C20,l另外，值得注意的是：在态叠加中重要的是系
27、数 ， （如 ， 给12C12定） 。对于，21C这时 完全被 ， 所决定。 12完全可替代 来描述该态（以后要讨论） ， 21C )t,a(i11eR，所以，重要的是 和 。)t,a(i2eR2t,)t,a(2 态叠加原理的直接后果是要求波函数满足的方程，必须是线性齐次方程。例 1. 高斯波包（The Gaussian wave packet）一个质量为 的自由粒子，其m为高斯分布)P(C 20x2)P(41xe)()0,P(C求：相应的粒子波包 ,xi)(412d2e)()0,x( 0x142020x2 4xiPx)iP(4121 ede)()( i4241210e)()( xiP4120
28、2e)(所以，高斯分布的富氏变换成另一个高斯分布 1dx)0,(dp)0,(c22这是一个 ，位置在 区域（位置几率明显不为 ） ，而动量在t0 区域（动量几率明显不为 区域）)2P(0)(02.4 含时间的薛定谔方程（Schrodingers equation）(1) Schrodingers equation 的建立 应该指出，薛定谔方程不是从基本原理导出来的，它的正确性是靠由它所推出的结果及预言的正确性来证实的。有确定动量的自由粒子：根据 de Broglie 关系和 Einstein 关系（ ）m2PEknhn2它应相应于一个 de Broglies 波)tEr(ipAe由这波函数可得
29、P)tP(itip,r(,r但这不是普遍适用的方程（因含有一特殊参量 ） 。pE因 )t,(E)t,(i PpP而若 21pA )tr(i2ri12p1peAe则 ,E)t,()t,()t,r(i 12但从另一方面 )trP(i)tEP(i ppee)tErP(ipEi2ri2 pAeAmAm 15)t,r(m2P)t,r(i在这方程中无特殊参量 ，它不仅对有确定动量的自由粒子的波函数成立，对pE最普遍的自由粒子的波函数也成立。 Pde)(Cti),r(ti )tEriPpm2)ti而 de)()t,r(2 )tErP(ip2C)t(i)t,r()t,r(i H自 由 粒 子这一微分方程决定了
30、体系状态随时间的演化。将上述情况推广，对于质量为 的粒子，在位势 中运动时，则m)t,r(V)t,r(V2PE因此，描述这一粒子运动的波函数应满足 )t,r(,2)t,(i ,)t,r(mP最为普遍的方程是：体系的 Hamiltonian)t,(HVTE,Pr则 )t,r(,)t,(i被称为含时间的 Schrodingers equation。但应注意，同一力学量的经典表示，可得不同的量子力学表示：x1Pm21Px162xm)x41(22因此，经典力学的力学量，变为量子力学的力学量表示（即量子化） ，即算符时，应注意 和 对经典力学是一样的，但对量子力学而言是不同的。所以规定：P 在直角坐标中
31、表示分量，再代入算符表示； 对于形式为与 线性函数的物理量， ，则取iPi)z,yx(fP（ 为实） ；)z,yx(f),(f21i 如果是矢量，则 直角坐标下的分量表示，然后再作 z, iixP替换，再换为其它坐标。 如果，kkP)q(fF则 )qi()fi k(2) 对 Schrodinger equation 的讨论A量子力学的初值问题：当体系在时刻 的状态为 时，以后任何时刻的波函数就完全由0t)t,r(0S,eq，所决定（因对 是一次偏微商） 。这就是量子力学的因果律，即决定状态的演化。因此，在量子力学中的因果律是对波函数的确定。它不像经典力学那样是确定轨道或力学量的测得值，而是决定
32、状态的演化。如 ，即与时间无关，则 时刻的解可表为（如 时为)P,r(H)t,r(t0t）t,0)t,r(e)t,( 0)t(p,i0如何从 波函数来确定 时刻波函数？tt例如 自由粒子 时刻，已知为0)0,r(由于是自由粒子，在 时，它必是 的叠加态trPie即 d)2(1ePC),r(3i当 给定，则0r0,)(ri3也就是，当 给定，则 由 定出。,rP)(我们知 时刻自由粒子的态是由 叠加而成，叠加系数t tEriPe为 （已确定）)P(Cd)(), )tri17而 m2PE下一节中再进一步讨论。 从另一角度讨论，对于自由粒子 ，直接利用m2PH)0,r(e)t,r(tide1Cri2
33、3 P)2(Pritmi de)(1rit2Pi3C)tE(iPm2P 例：自由粒子在 时处于态0t)xiP4(1K2e)(),x可以证明 粒子处于 的几率密度为 21e)(发现粒子主要在区域 中。,令 x/iP21xd)(C)0,( 0,e)2(1Pixdx)()P(i2x14K2x2 )()(i142 ee)( KxP1e)x/)tEx(i21dPe)(Ct,x( x)tm2P(i)(42 d)( x2K2 2itPi)it1(4)Ptx(211 K22ee)mit()( 18tm2Pixi P)t2x(i)( 2K22Kx因讨论：a. 波包的扩展如果我们以这个高斯波包来描述（或模拟）一个
34、物体在 时，它位于0t， （有一宽度 ）, 而平均动量为 。0x)(KP在 时刻，其包络线中心位于 。 所t t0以，包络极大处的速度 称KxPgdEmv为群速度，即群速度等于粒子速度。从相位看，如 相位为 1t 121KtxP相位为 222, 所以，相速度vmtxKPE2你也可以计算标准偏差，即发现粒子的主要区域在x00（ ）t。21022 )mt(1)(x所以，随时间演化，这一高斯波包越来越宽。设： mT当 ，包波已扩散很大，因此似乎与经典粒子无任何相似之处tK*x2x Pdx)t,(i)(t,dP)t,(CP 2412210)m2t(1x（以后讨论其物理意义）19所以，这样一个显示经典粒
35、子的 波包，动量的分布没有扩展，而空间的分布则扩展，使得你在 时，就认不得经典2mTt粒子了。上图即为高斯波包的传播这一讨论和结论，对任何其它形状的波包都相同。a. 波包扩展的时间量级在实际生活中，对一宏观粒子，我们从来没有看见它会扩展，以至好似消失 人： ， kg10m24.03 秒秒 293462 105./.T所以，人活 秒长的时间，还算像人样。910（当 ，才扩散得很大）t但 年 秒73对于经 年仍还可以，这即 年= 亿年。因此，量子221033现象你是看不到的。 尘粒： 克， 10mcm104秒秒 1626)(T即经秒 年 亿年，尘粒仍保持 “经典粒子“图象。秒 83 电子（原子中）
36、 千克， 米19 05.秒70而在波尔的氢原子中，电子绕质子一周所花的时间 秒。由这看出，16电子在原子中不可能以波包形式描述。另外，求波函数随时间的演化，也可这样来做。 时刻的波函数，可由 时tt刻的波函数完全确定。由于 S. eq. 是线性的，因而解能够被叠加。因此，不同时刻的波函数关系也必须是线性的。这就意味着， 必须满足齐次的微分方程。即可表为 rd)t,(,r;t(G)t,r(称为 Green 函数，或称传播子。知道了 Green 函数，就知道态随;时间的演化。如 时刻，粒子处于 ，即0t 0r)(),r(由上式得)t,r;(Gd)t,(t,;Gt, 00这就是格林函数的含义。（ 时
37、刻，粒子处于 ，则 时刻， 处发现粒子的几率密度振幅即为00rr20）)t,r;(G0由薛定谔方程我们可直接给出)r(e)t,;( 0)tP,r(H1i00例：自由粒子的格林函数 Pde)2(t,r;( )r(i)t(,1i30Pde)(1)t(ErPi300)2( t)r(m2ti0Pde)(1)t(2rit)r(P2ti3000 )t(2rmizyx)S(i20 02zyxe)t)2( )t(2rmi300e)(t( )t(ri2002)t(),r;G根据 xeilm2这即自由粒子的 Green 函数 )r()t,r;( 0)t(Hi00Glit0B粒子数守恒在非相对论的情况下，实物粒子既
38、不产生也不湮灭，所以在整个空间发现粒子的几率应不随时间变，即0rdt2这即要求，凡满足 Schrodinger eq.的波函数，必须满足上式。由 )t,r(P,(H)t,(i r*从而得 。*22vmv)t,(i 21若 V 为实函数（保证体系是稳定的，能量为实） )(im2P*对整个空间积分，得 rd)(2ird)t,(*sm对于真实粒子，运动于有限范围内，波函数应平方可积（平方可积条件要求， 应快于 ） ，于是r023r10sd)(2i*证得 t,d2这即表明，一旦波函数在某时刻已归一化，则任何时刻都是归一化的。当波函数未归一化时，那 ，而 与 无关。这正是物理上的要求。Art若 非实，则
39、 。所以当 ，则体VrdV2)t,(*虚 部0V虚系不稳定而衰变掉。当 ，则其它粒子衰变为该粒子。0虚由上可见，若取 )P(Rm1)(m2ij *e*则 0jt称为几率流密度矢。j上述表示，即为几率守恒的微分形式，形式上与流体力学的连续方程一样，但是有很大的实质差别。如对空间某一体积积分，则有Vsdjrdt这表明，单位时间内，体积 中，发现粒子的总几率增加是等于从该体积表面（S 面）流入该区域的几率，也就是说，在某区域中的几率减少，则另一区域中的几率增加，全空间几率不变。一维情况 jxt)t,b(j,adx)t,(jd),(baba 几率流密度矢是处处连续的。22由 )t,x(j)t,x()t
40、,dt 000 )t,x(j(j2)t,( 0当 则 0 )t,x(0连续)t,x(j因此，即使在特定情况下，波函数导数可不连续，但 仍是处处连续。jC. 多粒子体系的薛定谔方程设：体系有 个粒子，质量分别为 ，所处的位势为 ，相互n21m, )r(Vi作用为 ，则)r,(VjiiNjijii2)r,(V)r(PH这时 S. eg.为 )t,r,()t,P,P()t,r,(ti N21N2121 这也看出与经典不一样。 不一定都是三维空间的函数，而是多维的，即在多维位形空间中的。2.5 不含时间的薛定谔方程，定态问题当位势与时间无关，即 。)r(Vt,(1) 不含时间的薛定谔方程 )t,(p,
41、H)t,r(i,rm2由于 H 与 t 无关，可简单地用分离变数法求特解。令 )(utT),r(于是 di)t(rp,=常数t)(1H1由于它与任何 t 或 都保持相等，所以它们必等于一个与 t， 无关的常数。r r于是有)t(ETdti。ru)p,r(我们有23。/iEtAe)t(T所以，当 H 与 t 无关时，含时间的薛定谔方程的特解为：/itE)r(u,(其中 。)prE该方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称能量本征方程。A. 在上述方程中，E 实际上是体系的能量。因为在经典力学中，粒子在一个与 t 无关的位势中运动，体系机械能守恒，即具有一定的能量。而在量子力学中，对应波函数随时间变化
42、为 ，所以相应的实际上是体系的能量。/ite从平面波看，它随时间变化就是 。/iEteB. 一般而言，上述方程对任何 E 值都有非零解。但由于对波函数有几率解释，波函数有一定要求（自然条件） ，以及一些特殊的边界要求（ 无穷大位势边界处等） 。这样能满足方程的解就只有某些 E 值。由这而自然地获得能量的分0)t,r(立值（而测量值只能是这方程有非零解所对应的值） 。C. 根据态叠加原理， 是含时间的薛定谔方程的一个特解，/itEe)r(ut,(也就是，是该体系的一个可能态，所以普遍的可能态一定可表为 d)ct,r(/it,(通常称 （其中 ）为定态波函数。/iEtEeu), )r(Eu)(p,
43、rH应该注意，对体系 可按各种定态波函数展开来表示。但只有按自身的定),r(态波函数展开时，系数 C 才与 t 无关。否则与 t 有关。（2） 定态A. 定态定义：具有确定能量的态，称为体系的定态，或者说，以波函数 （其中 ）描述的态称为定态。/iEtEe)r(ut,( )r(Eu)(p,r在2.4 节中，我们已指出，当 与 t 无关时（即 ） ，态随时间演H)(Vt,化的规律为。),r(e)t,r( 0/)t(p,ri0若 tt 0 时处于定态，即 t0 时波函数为/iEtE)(u,则 ),r(e)tr( 0p,rHi这正是我们所给出的。B. 定态的性质：若体系 Hamiltonian 与
44、t 无关。1体系在初始时刻（t0）处于一定能量本征态 ，则在以后任何时刻，)r(uE体系都处于这一本征态上，即 。它随时间的变化仅表现在因/itEe)r(,(子 上。/iEte2体系的几率密度不随时间变化，几率流密度矢的散度为 0（即无几率源） 。22)(u)t,r(24所以 0jt这表明，在任何地方，都无几率源，空间的几率密度分布不变。3几率流密度矢，不随时间变化。 )t,r()t,()t,r()t,(m2ij *EE*uu所以与 t 无关。4任何不含 t 的力学量在该态的平均值不随时间变化。 rd)t,(p,rA)t,(E*Eu5任何不显含 t 的力学量在该态中取值的几率不随时间变化。根据态叠加原理，若对体系测量力学量 的值，如可取 a1, a2，那么体系的可能态必为)r(vtc)r(vtc),r( 21aa（因讨论的力学量与 t 无关，所以 与 t 无关。而在 态中测量力学量 ，i )r(iaA其测得值仅为 ai。而测得 ai 的几率正比于 。现体系处于定态，)(i/iEtEe)r(ut,( /iEtaae)r(v)tcvc21 显然 与 t 无关,iac= = 。2)(i 2/itaei这正表明，对处于定态中的体系，测量 取可能值的几
