1、复 数1复数的有关概念(1)复数的概念复数的实部和虚部、纯虚数、复数相等、共轭复数、复数的模2复数的四则运算3.常见结论(1)任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小(2)i4n1，i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i，i ni n1 i n2 i n3 0考向一 复数的有关概念例 1、设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a 为( )1 ai2 iA2 B2 C D.12 12变式训练 1、已知 aR，复数 z12ai，z 212i，若 为纯虚数，则复数z1z2的虚部为_z1z2考向二 复数的几何意义例 2、在复平面内，复数 65i，23i 对应的点分别为 A，
2、B ，若 C 为线段AB 的中点，则点 C 对应的复数是( )A48i B82i C24i D4i变式训练 2、复数 i 2 012 对应的点位于复平面内的第_象限1 i1 i解析 i 2 012i1.故对应的点(1,1)位于复平面内第一象限 答案 一1 i1 i考向三 复数的运算例 3、复数 z1 满足(z 12)(1i)1i，复数 z2 虚部为 2，且 z1z2 是实数，求 z2变式训练 3、i 为虚数单位，则 2013( ) (1 i1 i)Ai B1 Ci D1本节重难点复数的几何意义与复数方程一、复数的几何意义的理解可以从以下两个方面着手：(1)复数 zabi( a，bR )的模|z
3、| ，实际上就是指复平面上的点 Z 到a2 b2原点 O 的距离；|z 1z 2|的几何意义是复平面上的点 Z1、Z 2 两点间的距离(2)复数 z、复平面上的点 Z 及向量 相互联系，即 zabi(a，bR )OZ Z(a，b) .OZ 典型例题 i142i|.ABCABCDDB1、 在 复 平 面 内 点 、 、 对 应 的 复 数 分 别 为 、 、 ， 由 按逆 时 针 顺 序 作 平 行 四 边 形 ， 求总结：即复数的加减法对应着向量的加减， 则,21biaZ21|.Zab2、设向量 a、 b 分别表示复数 ,若 ab，则复数 的关系如何？ 21Z21总结：相等的向量表示同一个复数
4、.3、已知复数 z 满足 2| zi|4，试说明复数 z 在复平面内所对应的点的轨迹 总结：|z| 1， |z|1，则复数 z 对应复平面内的点的轨迹分别是单位圆，单位圆内部.|3i|1z4、 若 复 数 满 足 求 的 最 大 值 和 最 小 值 ；5.满足条件 的复数 在复平面上的对应点的轨迹是 .ii4z6、若复数 z 满足| z2|z 2|8，求|z2| 的最大值和最小值7、 已知复数 对应的点在直线 x2y10 上，求22log(3)log(3)mim实数 m 的值.8、已知复数 z 满足 ，求复数 z 对应复平面内的点 P 的轨迹.2|z二、复数方程1、 一 元实 系 数 二 次
5、方 程1,20bxa当 时 1,22当 时 1,203bxai当 时注：（只有实系数、 当 时 ， 方 程 有 两 个 共 轭 虚 根 ； 根 与 系 数 满 足 韦 达 定 理一元 n 次方程的虚根才成对共轭）3、满足韦达定理（根与系数关系） 21 0_xxkk例 、 若 关 于 的 一 元 二 次 方 程 有 虚 根 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是20(,)13,abRiab例 2、 已 知 方 程 的 一 个 根 为 求 220.xxk k例 3、 已 知 关 于 的 实 系 数 方 程 有 一 模 为 的 虚 根 ， 求 实 数21212,0,|.aRax例 4、 设 方 程
6、的 两 根 求2 |3,xp p例 5、 若 方 程 有 两 个 根 、 ， 且 求 实 数22301ax a例 6、 关 于 的 方 程 至 少 有 一 个 模 为 的 根 ， 试 确 定 实 数 的 值 。2、 一 元复 系 数 二 次 方 程当 b2-4ac0 时，方程的解都是实数吗？（如：求方程 x2-2ix-5=0 的解）2、复系数一元二次方程虚根不一定成对，成对也不一定共轭。3、满足韦达定理（根与系数关系） ，求根公式、 只 有 一 元 二 次 方 程 才 可 以 用 来 判 断 方 程实 系 数 根 的 情 况1、 不 可 以 用 来 判 断 一 元 二 次 方 程 根 的 情
7、况3、方程有实根或纯虚根的综合问题例 2、已知 是方程 （ ）的一个根，求 的值。i231022kxCkk2 min4(4)(43)|.ximi例 、 已 知 关 于 的 方 程 有 实 根 ， 求 25()(2)0()(1) ,).2xiabiabRab例 、 已 知 关 于 的 二 次 方 程 ： 、当 方 程 有 实 根 时 ， 求 点 的 轨 迹求 方 程 实 数 根 的 取 值 范 围 .1212 1212, ,zz mzzm例 6、 已 知 复 数 满 足 条 件 是 否 存 在 非 零 实 数 使 得 =,同 时 成 立 ?若 存 在 ,求 出 m的 取 值 范 围 若 不 存
8、在 说 明 理 由 .221212111,00,.zzzzkkN例 7、 设 非 零 复 数 且 满 足 为 虚 数 当 时 ，求 所 有 满 足 条 件 的 虚 数 的 实 部 的 和 .2(1)_xiaa例 、 已 知 关 于 的 一 元 二 次 方 程 有 实 数 解 ， 则 实 数 的 取值 范 围 是课堂效果检测1复数 (i 是虚数单位)的实部是( ) i1 2iA. B C i D15 15 15 252、设 i 是虚数单位，复数 ( )1 3i1 iA2i B2i C12i D12i3若 a，bR，i 为虚数单位，且(ai)ibi，则 ( )Aa1，b1 Ba1，b1Ca 1，b
9、1 Da1，b14设复数 z 满足(1i)z2，其中 i 为虚数单位，则 z( )A22i B22i C1i D1i5i 2(1i) 的实部是_6、已知复数 z ，则|z |( )3 i1 3i2A. B. C1 D214 127、复数 z (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 ( )2 i2 iA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限考向一 复数的有关概念例 1、设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a 为( )1 ai2 iA2 B2 C D.12 12审题视点 利用纯虚数的概念可求解析 i，1 ai2 i 1 ai2 i2 i2 i 2 a5 2a 15由纯虚数的概
10、念知： 0， 0，a2.答案 A2 a5 2a 15复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程即可变式训练 1、已知 aR，复数 z12ai，z 212i，若 为纯虚数，则复数z1z2的虚部为_z1z2解析 i，z1z2 2 ai1 2i 2 ai1 2i1 2i1 2i 2 2a5 a 45 为纯虚数， 0， 0，a1.故 的虚部为 1.答案 1z1z2 2 2a5 a 45 z1z2考向二 复数的几何意义例 2、在复平面内，复数 65i，23i 对应的点分别为 A，B ，若 C 为线段AB 的中点，则点 C
11、对应的复数是( )A48i B82i C24i D4i审题视点 利用中点坐标公式可求解析 复数 65i 对应的点为 A(6,5)，复数23i 对应的点为 B(2,3)利用中点坐标公式得线段 AB 的中点 C(2,4)，故点 C 对应的复数为 24i. 答案 C复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机的结合在一起，能够更加灵活的解决问题高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等变式训练 2、复数 i 2 012 对应的点位于复平面内的第_象限1 i1 i解析 i 2 012i1.故对应的点(1,1)位于复平面内第一象限 答案 一1
12、 i1 i考向三 复数的运算例 3、复数 z1 满足(z 12)(1i)1i，复数 z2 虚部为 2，且 z1z2 是实数，求 z2审题视点 利用复数乘除运算求 z1，再设 z2a2i( aR )，利用 z1z2是实数，求 a.解 由(z 12)(1 i)1i，得 z12 i，1 i1 iz 12i.设 z2a2i(aR)，z 1z2(2i)( a2i)(2a2)(4a)i.z 1z2R.a4.z 242i.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把 i 的幂写成最简形式变式训练 3、i 为虚数单位，则 2013( ) (1 i1 i)Ai
13、B1 Ci D1解析 因为 i ，所以原式i 2011i 45023 i 3i.1 i1 i 1 i1 i2答案 A 本节重难点复数的几何意义与复数方程一、复数的几何意义的理解可以从以下两个方面着手：(1)复数 zabi( a，bR )的模|z| ，实际上就是指复平面上的点 Z 到a2 b2原点 O 的距离；|z 1z 2|的几何意义是复平面上的点 Z1、Z 2 两点间的距离(2)复数 z、复平面上的点 Z 及向量 相互联系，即 zabi(a，bR )OZ Z(a，b) .OZ 典型例题 i142i|.ABCABCDDB1、 在 复 平 面 内 点 、 、 对 应 的 复 数 分 别 为 、
14、、 ， 由 按逆 时 针 顺 序 作 平 行 四 边 形 ， 求总结：即复数的加减法对应着向量的加减， 则,21biaZ21|.Zab2、设向量 a、 b 分别表示复数 ,若 ab，则复数 的关系如何？ 21Z21总结：相等的向量表示同一个复数.3、已知复数 z 满足 2| zi|4，试说明复数 z 在复平面内所对应的点的轨迹 总结：|z| 1， |z|1，则复数 z 对应复平面内的点的轨迹分别是单位圆，单位圆内部.|3i|1z4、 若 复 数 满 足 求 的 最 大 值 和 最 小 值 ；5.满足条件 的复数 在复平面上的对应点的轨迹是 .ii4z6、若复数 z 满足| z2|z 2|8，求
15、|z2| 的最大值和最小值7、 已知复数 对应的点在直线 x2y10 上，求22log(3)log(3)mim实数 m 的值.8、已知复数 z 满足 ，求复数 z 对应复平面内的点 P 的轨迹.2|z 1i.(42i)3(i)2i|23i|1.BAOBACCDD1、 解 答 ： 因 为 ， 所 以 向 量 对 应 的 复 数 为 因 为 ， 所 以 向 量 对 应 的 复 数 为 又 因 为 ， 所 以 向 量 对 应 的 复 数 为 ，所 以 2、相等3、 【解析】因为|z i|的几何意义是动点 Z 到定点i 的距离，所以满足 2| zi| 4 的动点Z 的轨迹是以i 为圆心，2 为半径的圆
16、外(含边界) 和以i 为圆心，4 为半径的圆内(含边界) 之间的圆环(含边界)，4、 |3i|1(31()zzMC 表 示 对 应 的 点 在 以 ， 为 圆 心 ， 为 半 径 的【 解 析 圆 的 内 部 包 括 边 界】(1)|z|表示圆上动点 M 到原点的距离，所以|z|max3，| z|min1.5、 【解析】在复平面内满足|z2| |z2|8 的复数 z 对应的点的轨迹是以点 (2,0)和(2,0)为焦点，8 为长轴长的椭圆|z2| 表示椭圆上的点到焦点 (2,0)的距离椭圆长轴上的两个顶点到焦点的距离分别是最大值和最小值因此，当 z4 时，|z2| 有最大值 6；当z4 时 ，|
17、z2|有最小值 2.此题若令 zxy i，问题的条件和结论都是较复杂的式子，不好处理从复数的加、减法的几何意义去理解，则是一道简单的几何问题 6、2222 222min max()i()1(i)()i 4498.01103izxyxyuzyxyxu xz zR代 数 法 设 ， ， 则 ， 所 以 ， 故 因 为 ， 所 以 当 时方 法 ： ， ， 此 时 ； 当 时 ， ， 此 时】 【 解 析方法 2：(不等式法)因为|z|2 2|z22| z|22，把|z| 1 代入，得 1|z22| 3，故|u |min1，|u|max3.8、 （以点（1，0）为圆心，2 为半径的圆）9、 （.1，
18、3 ）10.解答：设 且 x0.),(Ryxiz由知： aiiz82得 且 x0xay2由 得89)1(22yx-3x3,又 x0 x-3,0) a-6,0)11.解答：(1)由复数的定义 得 x=3,a=3,b=3062ax故 a=3,b=3(2)设 z=x+yi(x,yR),由上知 a=3,b=3,则x+yi-3-3i-2|x+yi|=0,即化简得222)3()( yxyx，即68)1()(2|z|的几何意义是（x,y）到原点的距离，数形结合知,此时，z=x-yi22|minz12、以(0,1)为圆心,以 5 为半径的圆解析一:设 z=x+yi(x,yR),由已知z-i=3+4i,得 25
19、)1(2yx即 .2)1(2yx解析二: 5iz复数 与复数 两点间的距离为常数 5,根据圆的定义,复数 的轨迹是以(0,1)i1 z为圆心,5 为半径的圆.二、复数方程1、 一 元实 系 数 二 次 方 程1,20bxa当 时 1,22当 时 1,203bxai当 时注：（只有实系数、 当 时 ， 方 程 有 两 个 共 轭 虚 根 ； 根 与 系 数 满 足 韦 达 定 理一元 n 次方程的虚根才成对共轭）3、满足韦达定理（根与系数关系） 21 0_xxkk例 、 若 关 于 的 一 元 二 次 方 程 有 虚 根 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是20(,)13,abRiab例 2、
20、 已 知 方 程 的 一 个 根 为 求 220.xxk k例 3、 已 知 关 于 的 实 系 数 方 程 有 一 模 为 的 虚 根 ， 求 实 数21212,0,|.aRax例 4、 设 方 程 的 两 根 求2 |3,xp p例 5、 若 方 程 有 两 个 根 、 ， 且 求 实 数22301ax a例 6、 关 于 的 方 程 至 少 有 一 个 模 为 的 根 ， 试 确 定 实 数 的 值 。2、 一 元复 系 数 二 次 方 程当 b2-4ac0 时，方程的解都是实数吗？（如：求方程 x2-2ix-5=0 的解）2、复系数一元二次方程虚根不一定成对，成对也不一定共轭。3、满足
21、韦达定理（根与系数关系） ，求根公式3、方程有实根或纯虚根的综合问题、 只 有 一 元 二 次 方 程 才 可 以 用 来 判 断 方 程实 系 数 根 的 情 况1、 不 可 以 用 来 判 断 一 元 二 次 方 程 根 的 情 况21 (1)0_xxiaa例 、 已 知 关 于 的 一 元 二 次 方 程 有 实 数 解 ， 则 实 数 的 取值 范 围 是例 2、已知 是方程 （ ）的一个根，求 的值。i231022kxCkk2 min4(4)(43)|.ximi例 、 已 知 关 于 的 方 程 有 实 根 ， 求 25()(2)0()(1) ,).2xiabiabRab例 、 已
22、知 关 于 的 二 次 方 程 ： 、当 方 程 有 实 根 时 ， 求 点 的 轨 迹求 方 程 实 数 根 的 取 值 范 围 .1212 1212, ,zz mzzm例 6、 已 知 复 数 满 足 条 件 是 否 存 在 非 零 实 数 使 得 =,同 时 成 立 ?若 存 在 ,求 出 m的 取 值 范 围 若 不 存 在 说 明 理 由 .221212111,00,.zzzzkkN例 7、 设 非 零 复 数 且 满 足 为 虚 数 当 时 ，求 所 有 满 足 条 件 的 虚 数 的 实 部 的 和 .复数方程知识及解法典型例题 21 0_xxkk例 、 若 关 于 的 一 元
23、二 次 方 程 有 虚 根 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是20(,)13,abRiab例 2、 已 知 方 程 的 一 个 根 为 求1324ib解 ： 方 程 的 另 一 根 为 ， 0.xxk k例 3、 已 知 关 于 的 实 系 数 方 程 有 一 模 为 的 虚 根 ， 求 实 数231, 2zk解 ： 设 方 程 的 两 个 虚 根 分 别 为24(3)0(,0)()4,kk (1,0)21212,0,|.aRxaxx例 4、 设 方 程 的 两 根 求12 (:()4x解 、 为 实 根 2121| |xx121124()4(|)01| axa12 2101,x、 为 虚
24、 根 且 2112|xxxaa 12| 0a综 上 2 |3,xp p例 5、 若 方 程 有 两 个 根 、 ， 且 求 实 数 1(1)1404p解 ： 、 为 实 根 22()92pp 1(2) ,(,)1404abiiabRp、 为 虚 根 设 =222|3|()9|(4解 法 二 ：|1452|p或 201xax a例 6、 关 于 的 方 程 至 少 有 一 个 模 为 的 根 ， 试 确 定 实 数 的 值 。0解 ： 方 程 至 少 有 一 个 绝 对 值 为（ ） 时 ， 的 根 ，2213x a以 代 入 得 ： 无 实 数 解2 22123()5abpp 22130420
25、xaaa以 代 入 得 ： -0方 程 有 一 对 模 为 1的 共（ 2） 时 ， 轭 虚 根 ,122,xx设 两 根 为 则12 1aa或,0;2,0.当 时 当 时综 上 所 述 或 321716ixx例 7.如 果 是 方 程 的 一 个 根 ， 求 其 余 的 根(+)()iii解 ： 方 程 的 必 有 根方 程 左 边 必 含 有 因 式3227106233xxx即 方 程 还 有 根三、方程有实根或纯虚根的综合问题 24(2,0(1)ia典 型 错 误0(1)0xixa正 解 ： 设 方 程 的 实 根 为 220001xai例 2、设 是实系数一元二次方程 两个虚根，且 ，
26、求 m与 0mx23答： （利用 ）5mi2 min4(43)(43)|.xxi例 、 已 知 关 于 的 方 程 有 实 根 ， 求 200()0mxi解 ： 设 方 程 的 实 根 为200 0(43)(43)(43)mxixii2(1)0_xxiaa例 、 已 知 关 于 的 一 元 二 次 方 程 有 实 数 解 ， 则 实 数 的 取值 范 围 是0043()()xxim220043()| ()xxm2051in|82()4(2)0()(1) ,).2xxiabiabRab例 、 已 知 关 于 的 二 次 方 程 ： 、当 方 程 有 实 根 时 ， 求 点 的 轨 迹求 方 程
27、实 数 根 的 取 值 范 围 .20020(),()()4)xixiabb解 ： 设 实 根 为 则002xxa代 入 上 式 2()()40baab2221()()(1)()bba即 161(,1)(,)(,).222点 的 轨 迹 为 以 为 中 心 ， 焦 点 为 、 的 椭 圆002000(),404)()2xixabiabxx设 实 根 为 则 代 入 上 式2 2000204()84()4,163 aax1212 1212, ,zz mzzm例 9、 已 知 复 数 满 足 条 件 是 否 存 在 非 零 实 数 使 得 =,同 时 成 立 ?若 存 在 ,求 出 m的 取 值
28、范 围 若 不 存 在 说 明 理 由 .121212,zzz解 ： 假 设 满 足 条 件 的 存 在 ,由 已 知 为 实 数 =又12 0(*)xm、 是 方 程 的 两 根 ,(*)2, .mm问 题 转 化 为 :方 程 有 两 个 模 小 于 的 复 数 根 时 实 数 是 否 存 在若 存 在 求 出 的 取 值 范 围 若 不 存 在 说 明 理 由21411004（ ） 当 ， （ ） ， 即 时 ，1 222 21z xz mf、 为 实 数 ， 、 （ ， ） ， 即 方 程 两 根 在 （ ， ） ）内 ， 记 （1402032141mf m（ ）则 （ ）212121
29、24004, 44,3zzzmm（ ） 当 ， （ ） ， 即 时 ，、 为 一 对 共 轭 虚 数 ，则 ，或由 221212111,00,.zzzzkkN例 1、 设 非 零 复 数 且 满 足 为 虚 数 当 时 ，求 所 有 满 足 条 件 的 虚 数 的 实 部 的 和 .2221 11:00,()0zzkzk解 2,3,9412 ()210zk所 有 实 部 的 和 为课堂效果检测双基自测1复数 (i 是虚数单位)的实部是( ) i1 2iA. B C i D15 15 15 25解析 i.答案 Di1 2i i1 2i1 2i1 2i 2 i5 25 152、设 i 是虚数单位，
30、复数 ( )1 3i1 iA2i B2i C12i D12i解析 (13i)(1 i) (42i)2i.1 3i1 i 12 12答案 A3若 a，bR，i 为虚数单位，且(ai)ibi，则 ( )Aa1，b1 Ba1，b1Ca 1，b1 Da1，b1解析 由(ai)ibi，得：1aibi，根据复数相等得：a1，b1.答案 C4设复数 z 满足(1i)z2，其中 i 为虚数单位，则 z( )A22i B22i C1i D1i解析 z 1i.答案 C21 i 21 i1 i1 i 21 i25i 2(1i) 的实部是_解析 i 2(1i)1i.答案 16、已知复数 z ，则|z |( )3 i1 3i2A. B. C1 D214 127、复数 z (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 ( )2 i2 iA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
