1、方程解的理论2010.12人们在 1617 世纪时已熟知代数方程根与系数的关系，设为下列 次方程 的 个根（其中12,nx 10nnfxa容许有重根） ，则 .如果将上式乘积展12f x开出来，则比较同次幂系数可得联立方程 11212;.nkiknnxaxa这就是根与系数的韦达关系，其中各等式左端均为诸根的对称式，即诸根互换位置后等式形式均不变。所谓代数方程 的根式解，实质上可以看作是上述联立方0fx程的代数解，即利用文字系数 间的有限次四则运算与开方根1,na运算 ， ， ， 表出诸 的一般解。在欧拉时代以前，人们3nix已经知道对带有文字系数的二次方程、三次方程及四次方程而言（相当于 的情
2、形） ，确实能利用系数的四则运算与开方根运2,34n算作成的公式表示出各个根。既然代数方程中的多项式是由 本身和它的各次乘方x构成的，求根是个逆过程，所以理所当然地在计算根的过23,nx程中将会包含各次开方运算，即 ， ， ， 等运算；而且正3n是这些开方根 ， ， ， 的多值性，将能用以区别各个根。3n试以 表示 的一个复数根（幅角最小的复数） ，则共有 个复1n n数根 .特别 的两个平方根为 ； 的三个立方根21,n2113为 其中 ， .23,3i2,i因此， 次方程 的根式解问题，就是如何利用 诸n0fx 1,na系数以及各次单位方根 的有理运算及各次开23211,n方运算 ， ，
3、， 来表示出各个根 的问题.3n kx拉各朗日精心分析了二次、三次、四次方程的的根式解结构之后，发现方程的预解式概念，并且还进一步看出预解式和诸根排列置换下的形式不变性有关。因此，他最后得出结论说：高次代数方程根式解的可能性问题最终还是归结到诸根的排列置换性质的问题。什么叫做拉格朗日预解式？我们不妨取二次方程与三次方程为例来说明问题。大家知道二次方程 的求根公式是20xbc， .142214xbc在这个公式中果然只用到了系数间的有理运算与开方 运算，而且借助于 的双值性区分了两个根 与 .那么 是怎样1x224bc形成了呢？它与诸根有何关系？很显然，这个运算式可表成.简记为，则 即称为二次方程
4、的预解式.由韦达关系已知1212,xx12,xbc所以只要能将 用 表示出，则由 立即可得两根,bc12x， .12x2b显而易见 ，故2 222 211114xxxxbc满足二项方程.2(4)0bc这就是二次方程的预解方程。由此得.2c由上可见，只要求得预解方程，则原方程的根式解即随手可得。下面再来考察三次方程的根式解问题.试考虑既约三次方程 .它的三个根与系数的关系是30xqp1231,.xqx根据 16 世纪意大利数学家塔塔里亚与卡丹发现的解法，首先，应作变换 .代入原方程，经过简化则得1/3xyq. (1)360qyp这个简记为 ， (2)2317其中 .由于这是一个二次方程，立即可解
5、出 ，最后再经3y 过开立方可求得 的 6 个值， 2331132,;y这里 是关于 的二次方程的两个根，即12,23,12ipqi最后，经过恰当搭配可把原三次方程的三个根明确表示如下：，232331pqpqx，232323 32 .2 2323 3pqpqx这里实际上 ，而若 ， ，则有312 31y32y，也即对应的 .123qy1122/yyq12x这些公式果然也只用到了系数间的有理运算与平方根、立方根运算，且诸根的区别是借助于 的双值性和 的三值性表示出来的.13我们已经看出，导出上述公式的重要关键是由于 得到了关于的二次方程，这个二次方程就是关于三次方程根式解法过程中的拉格朗日预解方
6、程.这个预解方程的得来是由于作了变数代换.1/3xyq对于这个一个变数代换而言，拉格朗日不是着眼于 如何依赖x于 ，而是考虑 如何依赖于 的问题.反过来分析问题，这便是他的yyx高明之处.拉格朗日观察到各个 值可以表成 .y2133yxx(因为 ).210这里三个字母 共有 个排列，故对应各个排列可得123,x!6的 6 个值，所以 理应满足一个 6 次方程.yy再者，对诸 的 6 种排列而言， 实际上只给出两kx321xx个不同形式的值，这也说明为什么 恰好满3237y足一个二次方程预解方程，其中 就是拉氏预解式.上述分析表明预解方程的次数与字母（根） 的排列所导123,x致的不变形式的个数
7、有关.为详细说明 这一情况，可把 6 个排列所对应的一切置换简记如下， ， ， ， ， 1231231231显然对上述 6 个转换而言， 的不同形式值也有 6 个，但在y上施行上述 6 个置换时，只有两个不同形式的值，即321xx和 .321xx3221x323 221 2123231131xx xx 23131 26xxx32 222212331131xx xx32131 21222xxx223123331316xx xx 3 2222321 1 3xxx分别对应的是上面 6 个置换.所以在拉格朗日的分析研究中，已经发现了函数形式在一类置换下的形式不变性如何同预解方程的结构特征相关联.循着上
8、述思路，拉格朗日考察了更一般的情形，即假设是方程12,nx（*）10nnxa的 个根，经过分析研究，他曾在 1770 年证明了两个重要命题.熟知 个字母 的全排列共有 个，故相应的全部置换构成的n12,nx !置换类 中共有 个不同置换，当然此类中的一部分置换可作成置n!换子类，凡由方程系数 及字母 间的有理运算构成12,na12,nx的表达式即称为有理式或有理函数，于是拉格朗日的两个重要命题可陈述如下：（一） 设 和 是两个有理函数（有理式） ，如12,nx12,nx果使得 不改变形式的某类置换 ，也对, 不变形，则 必可用 及12,nx 12,nx12,nx（*）的系数 的某种有理形式表示
9、出来.(,)kan（二） 对使 不变形的置换类 而言，如果12,nx 取 个不同形式的值，则 必为某个r12,nx次方程的根，该方程之系数可用 及（*）的系r ,数 的某种有理形式表示出来.(1,2)kan根据上述二命题，拉格朗日曾设想了一个理论上（原则性）的求解方程步骤：例一：考虑二次方程 的求解问题，设 为方程的20xbc12,x两个根，则有置换类： .21:,按根与系数的关系知 这些关系都对置换类 不变形，12,xbc 2所以它们不能用原二次方程的系数表出，是理所当然的（这里不妨假定 ）.1今若选取 ，而考虑 ，则易见 对1212,xx1212,xx使 不变形的置换类 而言，将取两个不同
10、的形式的值 和12， 因此由上述基本命题， 必为某二次方程的根，事实果21x然如此，即 ，也即2 22 211114xxxxbc.2(4)0bc由此，引入这个预解方程的根式解 ，利用2c与 便得到 ，21xc12xb14xb.24b例二：试考虑三次方程试考虑既约三次方程 ，并令30xqp表示该三次方程的三个根，今取123,x，321231,7xxx由于这个有理式对 中的 6 个置换而言，它只取两个不同值6和 ，因此取 ，则由基本命题（二） ，12123123, 0xx可知，作为 的两值 和 必为某二次方程（预解方程）的根，于是再从下列诸式 123 31223 31123121320, , ,3xxxx而 ，即与前面结果相一致了.21阿贝尔定理是说，如果一个代数方程能用根式求解，则在根式解法公式里出现的各个根式（如 等） ，一定都可以表示成方程,m诸根及某些单位根的有理式.例如，二次方程 根式解法公式中出现的 可表示为20xbc24bc.2124bc又如，既约三次方程 的根式解法公式中出现的某个 和3xqp 3分别可以表示成 2323 13xx2323 213pq2 32 21 1312377pqpxxxxx
