1、()aex平面解析几何（直线和圆的方程、圆锥曲线）专题17.0 圆锥曲线几何性质如果涉及到其两“焦点” ，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点” 、 “准线”或 “离心率” ，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.椭圆方程的第一定义： 为 端 点 的 线 段以无 轨 迹方 程 为 椭 圆2121,FaPF双曲线的第一定义： 的 一 个 端 点 的 一 条 射 线以无 轨 迹方 程 为 双 曲 线2121,圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点 F 和定直线 l的距离之比为常数 e的点的轨迹简言之就是 “ e点
2、 点 距点 线 距 （数的统一） ”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图.当 10时，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为抛物线；当 e时，轨迹为双曲线；当 时，轨迹为圆（ ace，当 ba,0时） 圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势.其中 cea，椭圆中 21bea、双曲线中 21b.圆锥曲线的焦半径公式如下图：特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质” ，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.17.1 圆锥曲线中的精要结论：1.焦半径：(1)椭圆21(0)xyab： 0201,exaPFe
3、xa； （左“+”右“-” ） ；椭圆2()b： 210000(),()()aaPFexexPFexcc2pd2bla2bla2bdc2bl2dcaexaex()ex 2p(2)双曲线 12byax：“长加短减”原则： aexMF021构成满足 aMF21 aex021（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）双曲线 2yb：102eaF； 102eyaF(2)抛物线： 0pxP2.弦长公式： 4)(11212122 xxkkAB yyy；【注】：(1)焦点弦长：i椭圆： )(|21eaAB；ii抛物线： sinpx；(2)通径（最短弦）：i椭圆、双曲线：2ba；ii抛物线
4、： p.3.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： 12nymx （ n,同时大于 0 时表示椭圆，0mn时表示双曲线） ；4.椭圆中的结论：(1)内接矩形最大面积： 2ab； (2)P， Q 为椭圆上任意两点，且 OPQ，则 22211|POQab ；(3)椭圆焦点三角形：i 12tanPFSb， （ 12F） ；ii点 M 是 21内心， M交 于点 N，则 cM|；(4)当点 与椭圆短轴顶点重合时 21P最大；(5)共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(bayx的离心率是 )(2bae，方程tbyax(2是大于 0 的参数， )0ba的离心率也是 ce，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程5.
5、双曲线中的结论：(1)双曲线 12byax（ ,）的渐近线： 02byax；(2)共渐进线 的双曲线标准方程为 (2为参数， 0） ；(3)双曲线焦点三角形： yxMF12 yxMF12i 2cot21bSFP， （ 21PF） ；ii 是双曲线 ax y=1(a0， b0)的左（右）支上一点， F1、 F2分别为左、右焦点，则PF1F2的内切圆的圆心横坐标为 )(,；(4)等轴双曲线：双曲线 22yx称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy(渐近线互相垂直)，离心率 e(5)共渐近线的双曲线系方程： )0(2ba的渐近线方程为 02ba如果双曲线的渐近线为 0byax时，它的双曲线方程可设为 y
6、x(6) 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线 2与 2byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： 02byax(7) 若 P 在双曲线 12，则常用结论 1：P 到焦点的 距离为 m = n，则 P 到两准线的距离比为 m n简证： eFd21= 常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离 等于 b(8) 直线与双曲线的位置关系：区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即定点在双曲线上，1 条切线，2 条与渐近线 平行的直线，合计 3 条；区域：2 条切线，2 条与渐近线平行的直线，合计 4 条；区域：即定点在渐
7、近线上且非原点，1 条切线，1 条与渐近线平行的直线，合计 2 条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入 ”“法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号6.抛物线中的结论：(1)抛物线 2ypx(0)的焦点弦 AB性质：i 14； 21；ii BFA| ；iii以 为直径的圆与准线相切；iv以 （或 ）为直径的圆与 y轴相切；v sin2pSAOB. (2)抛物线 yx(0)内结直角三角形 OAB的性质：i 22114,4Py；ii ABl
8、恒过定点 p；iii ,中点轨迹方程： )(px；iv OM，则 轨迹方程为： 22py；v 2min4)(SAB . xF12345ddd 交交交交交 r1+r2r2-r1o d(3)抛物线 2ypx(0)，对称轴上一定点 )0,(aA，则：i当 0a 时，顶点到点 距离最小，最小值为 ；ii当 时，抛物线上有关于 x轴对称的两点到点 距离最小，最小值为 2pa.17.2、两个常见的曲线系方程(1)过曲线 1(,)fxy, 2()0f的交点的曲线系方程是 12(,)(,)0fxyf( 为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22yakb,其中 makb.当 2min,kab时,表示椭圆；当
9、 2min,时,表示双曲线.17.3、圆1、圆系方程(1)过点 1(,)Axy, 2()B的圆系方程是121212()()0yxyyx12 0abc,其中 abc是直线 AB的方程,是待定的系数(2)过直线 l: 0xC与圆 : 2DEF的交点的圆系方程是2 ()yDEFAxBy, 是待定的系数(3)过圆 1: 211与圆 2C: 220xyy的交点的圆系方程是 2)0y , 是待定的系数特别地，当 时， 1122()DxEyF就是121212()()()0x表示：当两圆相交时，为公共弦所在的直线方程；向两圆所引切线长相等的点的轨迹（直线）方程，有的称这条直线为根轴；2、点与圆的位置关系：点
10、0(,)Pxy与圆 22)()(rbyax的位置关系有三种若 220()daxb，则 dr点 P在圆外；点 在圆上；点 在圆内.3、直线与圆的位置关系直线 0CByAx与圆 22)()(rbyax的位置关系有三种( 2BACbad):dr相 离； 相 切 ；0相 交.4、两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 12,O半径分别为 12,r， dO21124dr 外 离 条 公 切 线；3 外 切 条 公 切 线；1212r 相 交 条 公 切 线；dr内 切 条 公 切 线；120内 含 无 公 切 线.5、圆的切线方程及切线长公式(1)已知圆 0xyDEF若已知切点 0(,)在圆上，则切线
11、只有一条，其方程是000()()2DxEyxyF.当 0,)圆外时, 000()()2DxEyF表示过两个切点的切点弦方程求切点弦方程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定.过圆外一点的切线方程可设为 00()yk，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为 xb，再利用相切条件求 b，必有两条切线(2)已知圆 22()()xabr的切线方程若 P( 0, y)是圆 2()r上的点，则过点 P( 0x, y)的切线方程为0y.特别地，若 ;a，切线方程为 20xyr；若 P( 0x, )是圆 22xab外一点，由 P( 0, )
12、向圆引两条切线，切点分别为 A，B 则直线 AB 的方程为 200()()xybr.特别地，若 ;ab，20yr圆 2x，斜率为 k的圆的切线方程为 21k.(3) 过圆 DEyF外一点 0(,)xy的切线长为 00lxyDEF.17.4、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量 1,uk或 ,mn；（2）给出 OAB与 相交，等于已知 OAB过 的中点；在 C中，给出 2C，则 D是 C中 边的中线；（3）给出 0PMN，等于已知 P是 MN的中点；（4）给出 Q，等于已知 ,与 PQ的中点三点共线；（5）给出以下情形之一： |AB；存在实数 ,AB不；若存在实数 ,
13、1,不， OC不等于已知 ,C三点共线.（6）给出 1OP，等于已知 P是 的定比分点， 为定比，即 APB（7）给出 0MAB，等于已知 MAB，即 是直角，给出 0Mm，等于已知 AMB是钝角，给出 m，等于已知 是锐角；（8）给出 ()P，等于已知 P是 A的平分线；（9）在平行四边形 ABCD中，给出 ()()0ABD，等于已知 ABCD是菱形；（10）在平行四边形 中，给出 |，等于已知 是矩形；（11）设 12(,)(,)xy， 12AOBBASxy.22|sin|()ABCSC；（12） O为 内一点，则 0BOCAOAOBSS；（13）在 中，给出 P()|)(R，则 P通过
14、ABC的内心；17.5、解题规律盘点1、点(1)交点直线与圆锥曲线交于不同的两点：直线与二次曲线联立，当二次项系数不为 0 时， 120x，xmyb与二次曲线联立， 120y； 直线与圆锥曲线相切：直线与二次曲线联立， 0二 次 项 系 数 不 等 于直线与二次曲线有一个公共点：不l二次项系数为 0，表示平行于渐近线的两条直线；二次项系数为 0，=0 l直 线抛 物 线 二次项系数为 0，表示平行于对称轴的一条直线；二次曲线不为 0，=0(2)定点处理思路；(3)设参数方程；椭圆 )(12bayx的参数方程是： 为 参 数 ）(sincobyax；圆 2()()xabr的参数方程： 为 参 数
15、 ）(sicryax抛物线 20yp上的动点可设为： ),2(0pP或 )2,pt或 ),(0yxP，其中00x，以简化计算.2、直线(1)设直线方程分斜率 k存在、 不存在两种情况讨论。如果什么信息也没有：讨论斜率不存在情形，当斜率存在时，往往设为斜截式： ykxb；巧设直线方程 00()x回避讨论及运算等问题当直线过定点 ,时，若设成 00()ykx有时会出现下列情况：(i)容易忽视斜率不存在的情形；(ii)运算较繁，有时还会陷入僵局. (2)过 轴上一点 ()m的直线一般设为 tm可以避免对斜率是否存在的讨论(3)直线的方向向量 ,()01不(4)两解问题：3、角(1)余弦定理;截得平行
16、线的弦长相等（斜率不存在）圆外一点引切线（斜率不存在）圆外一点引两条长度相等的割线，割线长度不等于直径(2)到角公式:(3)向量的夹角公式4、直线与圆锥曲线(1)直线与圆锥曲线问题解法：1.直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解.【运算规律】：直线与圆锥曲线位置关系运算程式(1)已知曲线21xyab( 21AxBy)与直线 ykxm方程联立得：22 2() 0bkmkab( ABx)【注意】：当曲线为双曲线时，要对 22()ka与 0 进行比较.222 4242()4()kabkabbam由根与系数关系知：2121222;mxxkak【后话】:联立直线与圆锥曲线方程，构造
17、一元二次方程求解时，注意以下问题：联立的关于“x”还是关于“ y”的一元二次方程？二次项系数系数为 0 的情况讨论了吗？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？ 2.设而不求（代点相减法）处理弦中点与直线斜率问题步骤如下：已知曲线 21,0xyab，设点 1(,)Axy、 2(,)By中点为 0(,)Mxy，作差得21kAB；20ABOMk；对抛物线 px有 0AB12pk不.【细节盘点】*1.用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式，其它用弦长公式 .*2.在直线与圆锥曲线的位置关系问
18、题中，常与“弦”相关， “平行弦”问题的关键是“斜率” 、 “中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法” 、 “长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式或“小小直角三角形”.*3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，涉及到“交点”时，转化为函数有解问题；先验证因所设直线斜率存在，造成交点漏解情况，接着联立方程组，然后考虑消元建立关于 x的方程还是 y的方程，接着讨论方程二次项系数为零的情况，再对二次方程判别式进行分析，即 0时，直线与曲线相切，*4.求解直线与圆锥曲线的“弦长” 、 “交点”问题时，必要条件（注意判别式失控情况）是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程
19、时，务必先有“ 0 ”. 求解直线与圆锥曲线的其它问题时，如涉及到二次方程问题，必须优先考虑“二次项系数”与“判别式”问题.*5.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).*6.韦达定理在解几中的应用：求弦长； 判定曲线交点的个数； 求弦中点坐标；求曲线的方程.(2)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 : 2211()()ABxy或 2124|1tankxx212|tyco()4kx212121)(| yyyk【注】：弦端点 A ),(),(21yxB，由方程 (,)0ykxbF 消去 y 得到 02cb
20、xa， ,为直线 的倾斜角， k为直线的斜率， 21211|)4x. (3)抛物线的切线方程抛物线 pxy2上一点 0(,)Py处的切线方程是 00(yp.过抛物线 外一点 x所引两条切线的切点弦方程是 0()ypx.抛物线 ()与直线 ABC相切的条件是 2BAC.5、几何定值、极值问题几何极值问题实际上就是以几何条件出现的极值问题，通常运用几何中的有关不等式和定理解决，有时运用“对角”变换及局部调整法，有时运用三角方法，如有关三角函数性质、正弦定理、三角形面积公式等转化为三角极值问题解决.有关面积与周长的极值问题除了运用有关面积的几何知识外，常常需要用如下结论：周长一定的三角形中，以正三角
21、形的面积最大；周长一定的矩形中，以正方形面积最大；面积一定的三角形中，以正三角形的周长最小；周长一定的平面曲线中，圆所围成的面积最大；在面积一定的闭曲线中，圆的周长最小；在边长分别相等的多边形中，以圆内接多边形的面积最大；在等周长的边形中，以圆内接多边形的面积最大；在面积一定的边形中，正边形的周长最小.几何定值问题主要是研究和解决变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素的北欧谐几何性质或位置保持不变等问题.常见的几何定值中的定量问题为定角、定长（线段长、周长、距离之和等） 、定比（线段比、面积比） 、定积（面积、线段积）等.常见的几何定值中的定位问题为过定点、过定直线等.几何定值问
22、题可以分为两类：一类是绝对的定值问题，即需要证明的定值为一确定的常数.这种定值为所给图形的位置、大小、形状无关；另一类是相对定值问题，即要证明的定值与题设图形中的某些定量有关，这种定值是随题设图形的位置、大小和形状的变化而改变的，因此，只有相对的意义，也就是证明题推断的几何量可以用题设已知量的某种确定的关系来表示.解决定值问题常用的处理思路和方法：（1）利用综合法证明时，需要改变题目的形式，把一般定值题转化为特殊情况，因此，常作辅助图形；其次要明确图形中哪些元素是固定元素，哪些量是定量，分析问题时要围绕着固定元素和定量进行，把定值固定在已知量上；（2）利用参数法证明时，要根据题设的条件，选取适
23、当的参数，然后将所要证明的定值用参数表示出来，最后消去参数，便求得用常量表示的定值；（3）利用计算法证明时，通常借助于正、余弦定理或坐标法将有关量用某些特定的量表示出来，再通过计算证明所求的式子的值为定值；（4）综合运用几何、代数、三角知识证题.6、求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立 x、 y之间的关系，构成 (,)0Fxy，是求轨迹的最基本的方法.待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可.代入法(相关点法或转移法).定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程.交轨法(参数法)：当动点 (,)Pxy坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x、y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程 .7、定义解题椭圆：第一定义：平面上一动点 P 到平面上两个定点 F1、F 2的距离和为定值，且|PF 1|+|PF2|F1F2|,则 P 点轨迹为椭圆。双曲线：|PF 1|-|PF2|=定值1：双曲线
