1、几类一阶微分方程的简捷求法摘要:关键词:中图分类号: 文献标识码 : A1 预备知识形如 (1)()dyPxQ的方程称为一阶线性方程.这里 、 在所考虑的区间上是连续的.当 时,方()0Qx程(1)变为 (2)()0yxd方程(1)( )称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与 (1)相对应的一阶齐次线性方(0Qx程.方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解.形如 (3)()nyPxQyd(0,1)的方程称为伯努利方程.它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解.现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解.2 主要结果定理 1 若一阶非齐次
2、线性微分方程具有如下形式(4)()()()nndyFxxyQ则它的通解为 (5)1()ndC证明 将方程(4)化为 ()()nFxdyxy()nQdxdxyA两边积分得 ()()nFC证毕.1()nyQxd推论 1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式(6)()()dyFxQx则它的通解为 (7)1()C定理 2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式(8)()()0nndyFxxy则它的通解为 (9)()nC证明 在定理 1 的结果 中,取 便可得证.1()nyQxdF()0x推论 2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式(10)()()yFdx则它的通解为 (11)()C定理 3 若一阶微分方程
3、具有如下形式(12)()ln()ln()dyPxFyQxFy当 时,其通解为 (13)1nl()PdC当 时,其通解为其中 在所考虑区间上是连续的.l()Fy证明 若 ,方程(12)变为 (15)此1n()ln()ln()dyPxFyQxFy方程为可分离变量的微分方程. 分离变量得 ()l dyn()ldQxPF两边积分得 ()l()ydxC此即为方程(15)的通解表达式.若 ,方程(12)两端同除以 得1nln()yF11()()ln()lndyPxQyF令 ,则1ln()zFy定理 3 若一阶微分方程具有如下形式(12)()()ndyFxQxy(0,1)则它的通解为 (5)1()ndC证明
4、 将方程(12)化为 ()ndyxy()nFQdA方程两端除以 ,得到 ny 1()()()nndyxF11nxyQxx令 ,则 ,代入上式,得到关于变量 的一阶线性方程1nzy()ndyzz()()()1nndFxx()()1nnFzzQxddxyA两边积分得 ()()ndC证毕.1()nyQxF定理 3 若一阶线性微分方程具有如下形式(12)()()()nnndyFxxyQ(0,1)则它的通解为 (5)1()ndC证明 将方程(12)化为 ()n nFxdyxy方程两端除以 ,得到 ny 1()()nn nQxx 11()()nnnndFFxyy令 ,则 ,代入上式,得到关于变量 的一阶线性方程1nzy()ndzyz()()()1nndxxQ()()1nnFzFzxddxyA两边积分得 ()()nQdC证毕.1()nyxF
