1、关于透镜曲线方程的研究为了简化问题，我们先分析只有一个面的薄透镜，如图方法一由折射定律出发推导由图可以得到方程 )tan(rixfy根据斜率的几何意义有 yi1t根据折射定律有 rnsi联立两式得 1-)(ta2y由三角代换公式得 1-)(tan1)tan( 22yriri带入式有 -)1(22yxf整理后得到 2)1xfynf（记 ，代入上式得 ，xfy22)1(解出 ，即21n2ndxy对 微分得yxf)(dyxf)(代入上式得 21nd记 21n）（则 xfd)(初始位置 0,两边积分得 0220220 1)(1)()(ln ndnddxf令 ，上式化为21t 1ln)1ln(ln 21
2、12 22 ttdntdxf 则 f将 代入上式得xfy1)(2nxfyxf即 2)(yfn化简得 0122x这是一个椭圆方程。方法二利用透镜的等光程性推导以 Y 轴入射点为起点，焦点为终点，通过光心的光线其光程为 ，对于一般的位置，nf2)(yfxnf解得 （ ），这是一个椭圆方程。01221n这是光线由真空射入介质的情况下的透镜边界曲线方程，这时根据折射率 的定义可知n；而当光线由介质射入真空时，根据折射率 的定义可知 ，这时仍然把透镜的1n n1端点置于远点，如图此时根据透镜的等光程性有2)(-yfxf解得 （ ）01-22n1n也是一个椭圆方程。合并为 22yxf方法三利用费马定理根据
3、费马定理，光沿最短路径传播，即函数 可使得 取得最小值)(xyxyfxnyS2)(),（由 及01)(2fnS 0)(2f解得 0,yx这是一个最小值点，此时 nfS)0,（则有 xyfnf2)(同样得到 0122x#下面，我们可以开始探究两个面的凸透镜了方案：基于折射定律，通过微积分运算出能够使平行光通过透镜后严格交于一点。这种方法是先针对某一束给定的平行入射光线，在透镜折射率 、过入射点的切线斜n率 、入射点的坐标 、 推导出出射点的斜率，再运用微分方程推导出整个透镜表面1k1xy的曲线方程（解析解），或者每一条光线对应的于透镜的两个交点处的斜率。这种方法的大致计算过程如下：1. 根据给定
4、条件计算出第一次的出射角 ；设透镜左边的曲面方程为 ,平行1t )(xfy入射的光线为 ，入射点的坐标 、 由方程 和 联立求解0yxy)(xf0得到，则过入射点 的切线斜率 就是对点求导，即 。由于 点法线A1k1kA的斜率为 ，依据折射定律可求出过点 的出射角 的大小。k1A1t2. 推导出第一次的出射光线的直角坐标方程；第一次出射线 的直线方程为AB。)(00xkyAB3. 根据方程和给定的 点的纵坐标，计算出第二次折射点 的坐标；由于出射表面与入射表面对称，故出射曲线方程为 。然后联立方程 和)(xfy)(xfy，就可求出出射点 的坐标 。)(00xkyABB,24. 求出第二次出射点B的切线斜率为 ；2k到此便可知过出射点B的切线的斜率 。)-(2xf5. 最后根据以上所推出的关系，列出微分方程，求出透镜表面的曲线方程 。)(xfy这种方法是先针对点对点的计算，即能够已知入射点的切线斜率求出出射点的切线斜率，再运用微分方程推导出整个透镜表面的曲线方程。
