1、第九章 统计与概率的教学统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象。它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对时间发生可能性的刻画，来帮助人们科学、客观地认识世界。它是数学科学的一个重要的分支。在新的课程标准中将“统计与概率”作为义务教育阶段数学课程 4 个学习领域之一，具有重要意义。第一节 统计与概率教学的意义、内容和要求一、统计与概率教学的意义1、适应社会发展需要在以信息和技术为基础的现代社会，人们面临更多的机会和选择，常常需要在不确定的情境中，根据大量无组织的数据，做出合理的决策。概率统计的问题涉及到社会生活的方方面面。例如：“今天天津地区的降水概率是 30%”，“这场篮球赛
2、，某球队赢的可能性比较大， ”“火车站的日客流量突破十万人次，”“某商场实行购物抽奖，中奖面达到三分之一”等。从小学习统计与概率知识越来越重要，这是时代发展的需要。2、提高解决实际问题的能力“统计与概率”与人们的日常工作和社会生活密切相关，在日常生活中常常需要我们在不确定的情景中通过自己的观察，对大量无组织的数据惊醒分析，从这些大量的偶然性现象背后揭示出某些规律来，作出合理的决策，独立地区获得问题的解决。统计与概率所提供的“运用数据进行推断”的思考方法已经成为现代社会一种普遍适用的思维方式。统计与概率的思想方法，将随着社会的不断发展而越来越重要。在义务教育阶段，让学生经历统计与概率活动的全过程
3、，是学生熟悉统计与概率的基本思想方法，帮助学生在面对大量数据和不确定情境中，制定较为合理的决策，有利于发展学生综合运用所学知识解决问题的能力。3、是学生获得积极的情感体验统计与概率这一领域的内容对学生来说是充满趣味和吸引力的。动手收集与呈现数据是一个活动性很强并且充满挑战和乐趣的过程，做概率游戏本身就是对思维的一种挑战，也是一个非常有趣的过程。这有助于培养学生对数学的积极情感体验。二、统计与概率教学的内容1、统计与概率历史1概率的历史概率论起源于博弈问题。1516 世纪意大利数学家帕乔塔塔利亚和卡尔丹的著作中层讨论过“如果两个人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题。1654 年左右，费马与
4、帕斯卡在一系列通讯中讨论类似的合理分配赌金问题，并用组合方法给出正确解答。他们的通讯引起了荷兰术数学家惠更斯的兴趣，后者在 1657 年发表论赌博中的计算 ，这是最早的概率论著作。一般认为，概率论作为一门独立数学分支，其真正奠基人是雅各布伯努利，他在遗著猜测术中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理。伯努利定理刻画了大量的经验观测中呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位。伯努利之后， （ 棣莫弗 ） 、蒲丰、拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步的奠基性贡献。19 世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫在这方面做出了杰出的贡献
5、。切比雪夫的成果又被他的学生马尔可夫等发扬光大，影响了 20 世纪概率论发展的进程。19 世纪末，概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要。另外，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。最早对概率论经行严格化尝试的，是我国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯米西斯，他们都提出了一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的。真正严格的公理化概率论只有在测度论与实变函数理论的基础上才可能建立。作为测度论的奠基人，博雷尔早在 1905 年就指出概率论如果采用测度论术语来表述将会方便许多，并首先将测度论方法引入概率论重
6、要问题研究。原苏联数学家科尔莫戈罗夫也从 1920 年代中期起开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述，其结果是 1933 年以德文出版的经典型著作概率论基础 。科尔莫戈罗夫提出了 6 条公理，整个概率论大厦可以从这 6 条公理出发建筑起来。科尔莫戈罗夫的公理系统主见获得了数学家们的普遍承认。由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，获得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着。科尔莫戈罗夫是 20 世纪最杰出的数学家之一，概率论无疑是他科学生涯中最重要的成就。2统计的历史简单的统计古来就有，在 18、19 世纪出现了统计推断思想的萌芽，并有一定发展，但以概率论为
7、基础、以统计推断为主要内容的现代意义的数理统计学，直到 20 世纪才告成熟。1763 年英国人贝叶斯发表论机会学说问题的求解其中的“贝叶斯定理”给出在已知结果 E 后，对所有原因 C 计算其条件概率（后验概率）P(C)的公式，可以看出是最早的一种统计推断程序。拉普拉斯和高斯等利用贝叶斯公式估计参数，特别是高斯由于计算行星轨道的需要建立了以“最小二乘法”为基础的误差分析。这些都是促使统计摆脱了对观测数据的单纯描述二向强调推断的阶段过渡。英国生物学家和统计学家 K皮尔逊在现代数理统计的建立上起了重要作用。皮尔逊在 19 世纪末、20 世纪初发展了他老师高尔顿首先提出的“相关”与“回归”的理论，成功
8、的创立了生物统计学（1901） 。皮尔逊提出了“总体”的概念，明确指出统计学不是研究样本取出的个体是否“拟合” ，从理论上确定了总体分布的问题。皮尔逊的工作是所谓“大样本统计”的前驱。他的学生戈赛特在 1908 年以笔名“学生”发表的“学生分布”则开创了小样本统计理论。小样本理论强调样本必须从总体中随机地抽取，即必须是随机样本，从而使统计学研究对象从群体现象转变为随机现象。现代数理统计学作为一门独立学科的奠基人是英国数学家费希尔。费希尔毕业与剑桥大学，做过中学教员，曾长期在农业试验站工作，在将统计学应用于农业与遗传学方面有丰富的积累。在 1920 和 1930 年代，费希尔提出了许多重要的统计
9、方法，开辟了一系列统计学的分支领域。1946 年，瑞典数学家克拉默发表了统计学的数学方法 ，用测度论系统总结了数理统计的发展，标志着现代数理统计学的成熟。2、统计与数率的教学内容标准对“统计与概率”规定的内容为：统计在第一学段是数据统计初步，第二学段是简单数据统计过程，概率在第一学段不做要求，第二学段，只要求学生体会随机现象，并能对随机现象发生的可能性大小作定性描述。具体学习内容要求如下：第一学段： 能根据给定的标准或者自己选定的标准，对事物或数据进行分类，感受分类与分类标准的关系。 经历简单的数据收集和整理过程，了解调查、车辆等收集数据的简单方法，并运用自己的方式， （文字、图画、表格等）呈
10、现整理数据的结果。 通过对数据的简单分析，体会运用数据进行表述与交流的作用，感受数据蕴涵的信息。第二学段：（1） 简单数据统计过程 经历简单的数据收集、整理、描述和分析数据的过程（可使用计算器） 会根据实际的问题设计简单的调查表，选择适当的方法（如调查、实验、测量）收集数据。 认识条形统计图、扇形统计图、折线统计图；能根据分析问题的需要，选择适当的统计图。 体会平均数的意义，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义。 能从报刊、等电视等媒体中，有意识的获得一些数据信息，并能读懂简单的统计图表。 能解释统计结果，根据结果做出简单的判断和预测，并能进行交流。（2） 随机现象发生的可能性 结合具体
11、情境，了解简单的随机现象；能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。 通过实验、游戏等活动，感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小做出定性描述，并和同学交流。三、 “统计与概率”的教学要求1、关注“统计与概率”知识的形成过程统计和概率是一个需要经历的过程，就想描述一件事情要有“起因、经过、结果”一样，为什么要进行统计，统计要做哪些事，统计的结果是什么，这个结果有什么意义，只有经历了统计的全部过程，才能真正体会到统计的意义和价值，感受统计与生活的密切联系，才能真正学会一种解决问题的技能，也才能感悟到学习数学的价值。传统的统计教学，往往把根据已知数据解决提出
12、的问题作为统计学习的重点之数据设计的的学生，可以解决根据已知数据设计的纷繁复杂的数学问题，但是他们却不知道运用什么样的方法搜集所需要的数据，不会主动的运用统计的方法去解决身边出现的问题。其主要原因是，他们只经历了统计过程中的一个部分，而这个部分不需要太多的主动性和独立性，只是根据提供的素材机械的解决问题而已，这种学习方式，是一种盲目的被动学习，学生所获得的仅仅是机械的解决能力，根本没有涉及统计的实质。统计是一个需要学生去亲身经历的过程，因此教师需要精心设计统计的过程，尽量把活动设计得完整一些，既要学生体会统计必要性的情景，还要有学生自主收集数据的细节。有整理数据的过程，有观察分析、做出简单判断
13、与预测的细节，使学生获得统计活动的亲身体验，逐步形成用数据分析问题的思维习惯。2、关注“统计与概率”的实际背景统计与概率来源于生活，应用与生活，与日常生活紧密联系，例如小孩子玩“石头、剪刀、布”的游戏，需要记录数赢的次数；看到天空乌云重重，妈妈会告诉孩子“可能要下雨了”等等，这些简单的“统计与概率”时常会出现在学生的现实生活中。因此，小学生有“统计与概率”的生活经验，在学生已有的生活经验基础上，利用现实的情景或材料惊醒教学设计，有利于让学生感觉到随机思维，体会到随机数学在处理问题上与确定性数学的不同。在随机环境中学习随机思维，树立随机意识。例如，对于股市涨跌的可能性判断，对儿童来说是缺乏经验，
14、但对于自己是否有坑获得学校短跑比赛的第一名，他们却有可能进行预测的。3、重视学生的活动体会在义乌教育阶段，学生学习统计的核心目标是发展自己的“统计挂念” 。一提到“观念”就绝非等同于计算、画图等简单技能，而是一种需要在亲身经历的过程中培养出来的感觉。 “观念”的建立需要学生亲身的经历，需要他们真正投入到统计活动中，在活动的过程中去体验和理解知识的内在意义。因此，在教学组织过程中，不要将一些概率统计知识简单地当做就是对那些表示概念的词汇的识记，或者将它简单地当做一种程序性的技能来反复操练，而要尽可能地使用一些活动来组织，以增加学生在血丝过程中的体验。对“统计过程的体验”和“对可能性与不确定性的直
15、观感受”不应由教师强加于学生，而必须是学生通过自主活动，从调查、操作等活动中摸索、探究而来。四、小学统计与概率思维方式在统计与概率中涉及到两种不同思维方式，或然性思维与决策性思维(Biehler,1994)。其中决策性思维旨在发现数据的规律，对变异做出解释或分类，在这个过程中，背景知识是相当重要的；而或然性思维的焦点则是事件发生的稳定程度，并试图从少量的的样本去推测总体，在这个过程中，最是要的是构造模型。我国统计学家史宁中也认为，传统数学在本质上研究的问题是确定性的，基础是定义和假设，遵循约定原则进行严格的计算或者推理，因此更多的是演绎；统计学在本质上研究的问题是随机的，是非确定性的，通过较多
16、的数据进行推断，也就是通过许多的个别来推断一般，可以认为是一种归纳。也就是说，统计与概率的教学不仅可以使学生对数学有一个更全面的认识，而且在思维方式上也是一种互补。在统计问题解决过程中通常涉及两种思维类型：一般思维类型和统计思维类型。其中，一般思维类型包括： 选择有效的策略，包括确定研究问题，形成计划，并考虑实际要求和限制： 寻找解释： 建模及模型的应用: 方法的运用，包括模仿已有的案例，对原型进行确认与应用，以及利用问题解决的工具。统计思维的基本类型包括： 认识到数据的必要性： 转换，包括从实际情境中获得测量方法，变换数据的表征形式，通过数据交流信息： 考察变异性，包括选择度量，通过建模去预
17、测、解释与监控，对变异性进行解释与处理： 基于统计建模的推理： 整合统计及其背景的信息、知识与概念。（一） 小学统计思维发展过程在开始学习之前，许多儿童在描述某一个现象的时候，往往就是简单地对现象的直观认识，他们基本上还不会通过收集数据，并利用这些数据对这些现象进行更为准确的描述或预测。儿童在形成统计思想方法的过程中，主要会表现如下一些特征：1.是伴随着操作活动逐步形成的儿童的统计思想是在现实的操作中逐步形成的。例如，一个学龄前的儿童，面对由许多梨和苹果组成的一堆水果时（图 9-la） ，在开始的时候，可能只会采用先数出梨的个数，在数出苹果的个数的方式来比较哪种水果多。图但是，当这些水果的数量
18、足够多的时候，慢慢地，他可能就会想到将这些水果先分开来，然后在去分别数。随着经验的增长，他逐渐可能会想到将这些水果分类对应排起来（图 9-1b） ，于是，对这个儿童来说，基本的统计思想就产生了。2数据的分析与利用能力的形成是渐进的儿童对数据的分析与利用能力的发展是一个渐进的进程，对一个学龄前的儿童来说，数字往往只是表示单个物体量的一个符号，并不是用来描述自己观察到的现象的。因此，数字之间往往是不相关的。例如，他可能关注到，有一个小朋友一天里吃了 1 块水果糖，吃了 5 块巧克力糖。然而，他眼里，这些只不过就是一些静止的和不相关的数字，他也只是获得了一些事实。可是，对于一个低年级的小学生来说，他
19、可能已经从这两个似乎不相关的数字钟，可以推断出“这个小朋友可能偏爱巧克力糖而不太喜欢水果糖”这样的结论来。而对于一个更高年纪的儿童来说，他可能已经会从中受到启示，然后通过某些调查获取数据，去抉择类似“在校园里究竟是买水果糖好些，还是买巧克力糖好些”这样的行为了。3.对数据的理解是逐步发展的在儿童的经验中，往往是通过对一组单一数据的比较，来做出简单的且具有惟一性的判断。当他们在最初接触到一组复杂数据的时候，往往就会采用经验中的方法来做出判断。例如，小明语文期终考试的成绩是 85 分，小红语文期终考试的成绩是 91 分。这样的数据说明了什么？这样的问题可能对一个学龄前的儿童来说，也能作出回答。可是
20、，当他们面对如下一组数据的时候（表 9-1） ，可能不容易做出判断：A、B、C 三个班举行长跑比赛，每个班级选出 10 人，其结果如下。现在你将如何确定这三个班长跑比赛的好坏？能不能排出三个班长跑比赛的名次并说明理由？”图4.对统计样本的理解缺乏经验的支持统计往往需要选择样本，选择什么样的样本？选择多大的样本才合理？这些可能对一个低年级儿童来说，都是比较困难的。因为在儿童的经验中，收集的样本常常都是可以穷尽的总数，例如问一下班级的所有同学，就知道班级里有 29个同学不喜欢穿运动鞋，如果班级里有 35 位同学，就可以得到这样的结论：班级里大部分同学都不喜欢穿运动鞋。可是，是不是全校的同学中，也是
21、大部分同学都不喜欢穿运动鞋呢？当学生调查另一个班级并发现只有 9 个人（班级人数也是 35 人）不喜欢穿运动鞋的时候，他们就会发现，这个结论并不适用于现在这个班级。当然，学生可能还是可以通过全部数据的调查来回答这个问题的。可是，当问及整个城市中的同龄学生的时候呢？一个比较好的办法就是通过选择适当的对象和合适的范围进行调查，然后来推测。然而，什么样的对象抑或多少对象可以称作是“合适”的？怎样的范围可以称作是“合适”的？这对一个儿童来说是比较困难的，因为他们的经验往往还不能有效的支持他们做出这种合适的选择。5、对数据特征的认识集中在外部的明显特征上一般说来，儿童主要是从“大、小”开始认识数的，因而
22、，对低年级的儿童来说，他们往往对数据的“最大”或“最小”比较敏感，当他们对一组数据进行排序的时候，最关注的是“谁大” “谁小”这样的数据特征，还不能将这一组数据作为一个描述现象的一个整体来看待。到了中、高年段，儿童已经开始知道，面对一组数据，不仅需要关注单个数据的特征，还要关注整个数据组的特征。例如，通过调查 A、B、C、D、E、F、G 七位同学在一年内上电影院看电影的情况后，得知分别为：7 次、5 次、8 次、9 次、2 次和 11 次。对一个低年段的儿童来说，他们所能描述的可能就是 E 同学每年上电影院看电影的次数是不多的。因而，对于他们来说，认识“平均数” 、 “众数”等的意义就比较容易
23、了。（二）小学概率思维发展过程皮亚杰等对概率概念的理解进行过最早、做全面的研究。他们指出，儿童对概率的认识发展要经历三个主要阶段。第一阶段，即前运算阶段（8 岁之前）的儿童会区分因果事件和随即事件。处于这一阶段的孩子重视试图在无序中发现有序，因为他们相信一定存在隐藏着的序。此阶段的孩子总是想象自己能够预测结果，无论是单独一次试验的结果，还是在已知先前结果基础上的下一次试验结果。他们相信没有发生过的结果比已经发生过的更有可能发生，因为所有结果应该轮流出现。当他们“根据补偿性原则预测一个个结果都不成功时，他常常转而预测到目前为止发生频率最高的结果” ，因为“它们比其他结果更容易出现” 。第二阶段，
24、即具体运算阶段的儿童，年龄从 8 岁到 12 岁左右，能区分确定与不确定，此阶段的儿童开始知道如何量化概率，但在计算复杂情境的概率时拥有一套不完整的对策。对于不放回的试验，他们常常意识不到整体构成的改变， “因而他只考虑初始构成，而想不到比例是可变的” ，他们拒绝在一次试验的情况下预测结果，认为试验结果可以是任意的，但他们认为若干次试验的结果应该表现出一定的分布规律。然而，这一阶段的儿童对这种规律的认识能力并不随试验次数增加到大数次而增加，相反，他们相信“次数较少的试验更容易”表现这种规律。面对某一结果一再出现时，处于第二阶段的学生已经能够识别“偶然的离差”与“因果的规律”之间的差别，他们试着寻找一个理由解释为什么某个极不可能的结果会如此频繁地发生。他们会给出 2 个、3 个甚至 4 个元素所有可能有的排序，但方法是建立在经验上的，且带有缺陷。最后是形式运算阶段的孩子，大约从 12 岁开始，他们已经能够将演绎逻辑与随机概念统合起来了。处于这一阶段的孩子能认识到从 1600 次试验获得分布信息比从 16 次获得的分布信息更具代表性。无论有无放回，他们都能作准确的概率计算。如果要求他们给出两个或三个元素所有可能的排序时，能够有条不紊地完成任务，并能够归纳出更多元素排列的一般结论。
