1、17 习题七1.设总体 X 服从二项分布 b（n，p） ，n 已知，X 1，X 2，X n 为来自 X 的样本，求参数 p的矩法估计.【解】 因此 np=1(),(),EA所以 p 的矩估计量 pn2.设总体 X 的密度函数f（x , ）= 2(),0,.x中X1，X 2，X n为其样本，试求参数 的矩法估计.【解】2300()()d,xEx 令 E(X)=A1= ,因此 =3X所以 的矩估计量为 3.3.设总体 X 的密度函数为 f（x， ） ，X 1，X 2，X n为其样本，求 的极大似然估计.（1） f（x， ）= ,0,.e（2） f（x， ）=1,0.x中【解】 （1） 似然函数 1
2、11(,)eeniinnxxii iLfx1llnigL由 知1dln0nigLx1nix所以 的极大似然估计量为 .X2(2) 似然函数 ,i=1,2,n.1,0niiLxA1lln()lniLx由 知1dlnl0niLx11lnlniiix所以 的极大似然估计量为 1lniix4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取 10 人的收益率数据，结果如下：序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10收益率 0.01 -0.11 -0.12 -0.09 -0.13 -0.3 0.1 -0.09 -0.1 -0.11求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.【解】 0.9x.108
3、93snA.4EXx由 知 ,即有22221()(),()niEXD2()EXA022221()()iiAEX于是 9.890.60s所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94 和 0.966.5.随机变量 X 服从0， 上的均匀分布，今得 X 的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求 的矩法估计和极大似然估计，它们是否为 的无偏估计.【解】(1) ,令 ，则()2E()且 ,X()2)()EXE所以 的矩估计值为 且 是一个无偏估计.0.61x23(2) 似然函数 ,i=1,2,8.881(,)iiLfx显然 L=L( )(
4、0)，那么 时，L= L( )最大,18maxii所以 的极大似然估计值 =0.9.因为 E( )=E( ) ,所以 = 不是 的无偏计 .18axii18aiix6.设 X1，X 2，X n是取自总体 X 的样本，E（X ）= ，D（X）= 2， =k,问 k 为何值时 为 2 的无偏估计.21()niii【解】令 i=1,2,n-1,1,iiY则 2()(0,(),iii iEXEDY于是 12221),nikknk 那么当 ,即 时,2()E22()有 1.()kn7.设 X1，X 2 是从正态总体 N（ ， 2）中抽取的样本1 12312;34XXX试证 都是 的无偏估计量，并求出每一
5、估计量的方差.2,【证明】 （1） 11212()()(),333EE,212()4X3()()所以 均是 的无偏估计量.12,(2) 221145()()(),339DXDX42222135()()(),448DXD231()(),8.某车间生产的螺钉，其直径 XN（ ， 2） ，由过去的经验知道 2=0.06,今随机抽取 6枚，测得其长度（单位 mm）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2试求 的置信概率为 0.95 的置信区间.【解】n=6, 2=0.06, =1-0.95=0.05,0.2514.9,196axu 的置信度为 0.95 的置信区间为./2(4.
6、01.96)(4.75,16)xn9.总体 XN( , 2)， 2 已知，问需抽取容量 n 多大的样本，才能使 的置信概率为 1- ，且置信区间的长度不大于 L？【解】由 2 已知可知 的置信度为 1- 的置信区间为 ,/2xun于是置信区间长度为 ,/2unA那么由 L ,得 n/22/4()L10.设某种砖头的抗压强度 XN（ ， 2） ，今随机抽取 20 块砖头，测得数据如下（kgcm -2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 9984 66 100 98 72 74 87 84 48 81（1） 求 的置信概率为 0.95 的置信区间.（2） 求 2 的置信概率为
7、0.95 的置信区间.【解】 76.,18.4,095.,20,xsn/20.252. 0.975()().3,8(1)8.tnt(1) 的置信度为 0.95 的置信区间/2.4(1)63(6.1,8509)2asxtn(2) 的置信度为 0.95 的置信区间252222/1/()()1919, 8.4,8.4(190.3,72.)3.507nssn 11.设总体 Xf(x)= ),0;,.x中中X1,X2,Xn是 X 的一个样本，求 的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1) 110()()d()d,2Exfx又 (),XE故 21所以 的矩估计量 .X(2) 似然函数.11() 0(1,2)
8、()nniiii xnLfx其 他取对数 1lnl()ln(01;),d,iiiiixinL所以 的极大似然估计量为 1.lniiX12.设总体 Xf(x)= 36(),0;,.x中X1,X2,Xn为总体 X 的一个样本（1） 求 的矩估计量；（2） 求 .()D6【解】(1) 2306()()d()d,xEXxf令 ,EX所以 的矩估计量 2.(2) ，4()2)(),DDn又 32206()63()d,01xEX于是,222()(4DE所以 2().5n13.设某种电子元件的使用寿命 X 的概率密度函数为f(x,)= 2(),;0,.xe 其中 (0)为未知参数，又设 x1,x2,xn是总
9、体 X 的一组样本观察值，求 的极大似然估计值.【解】似然函数 12()1e0;1,2;()0lnl(),;,nixiniii nLx其 他 .由 dln20l(),LL知那么当 01minaxln()nxL时所以 的极大似然估计量 1in14. 设总体 X 的概率分布为X 0 1 2 3P 2 2(1-) 2 1-27其中 (01,0，设 X1,X2,Xn为来自总体 X 的样本（1） 当 =1 时，求 的矩估计量；（2） 当 =1 时，求 的极大似然估计量；（3） 当 =2 时，求 的极大似然估计量. 【解】当 =1 时， 11,;(,)(,)0.xxfF8当 =2 时, 213,;(,)(
10、,)0.xxfF(1) 11()dEXx令 ,于是(),X所以 的矩估计量.1(2) 似然函数 (1)111 ,(12,);()(,)0, .lnl()ln,dl,nniiii iinii xnLfxLx其 他所以 的极大似然估计量 1.lniix(3) 似然函数 2311,(12,);(,)0,.nini ii xnLfx其 他显然 (),那么当 时, ,1minx0()max()LL所以 的极大似然估计量 .1in16.从正态总体 XN（3.4，6 2）中抽取容量为 n 的样本，如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于 0.95，问 n 至少应取多大？ 2/1()edzt9z
11、 1.28 1.645 1.96 2.33z 0.9 0.95 0.975 0.99【解】 ,则263.4XNn3.4(0,1)/XZNn.5.431.5.6/6/3210.953ZPPnn于是 则 ,0.9753n1.963 n35.17. 设总体 X 的概率密度为f(x， )=,01,12,.x中其中 是未知参数（0 1）,X 1,X2,Xn为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值x1,x2,xn中小于 1 的个数.求：（1） 的矩估计；（2） 的最大似然估计. 解 (1) 由于1201(;)d()dEXxfxx-.132令 ，解得 ，32X3所以参数 的矩估计为.32X(2) 似然函数为，1()(;)(1)nNniiLfx取对数，得 ln()l()l(,两边对 求导，得10dln().1LNn令 得 ，dln()0,L所以 的最大似然估计为.n
