1、第 10 章 方差分析在生产实践和科学研究中，经常要分析各种因素对试验指标是否有显著的影响。例如，工业生产中，需要研究各种不同的配料方案对生产出的产品的质量有无显著差异，从中筛选出较好的原料配方；农业生产中，为了提高农作物的产量，需要考察不同的种子、不同数量的肥料对农作物产量的影响，并从中确定最适宜该地区种植的农作物品种和施肥数量。要解决诸如上述问题，一方面需要设计一个试验，使其充分反映各因素的作用，并力求试验次数尽可能少，以便节省各种资源和成本；另一方面就是要对试验结果数据进行合理的分析，以便确定各因素对试验指标的影响程度。10.1 单因素方差分析仅考虑一个因素 对试验指标有无显著影响，可以
2、让 取 个水平： ，AArrA,21在水平 下进行 次试验，称为单因素试验，试验结果观测数据 列于下表：iin ijx序号水平 1 2 in1A2r x11x 2122n 1rx2rrnx并设在水平 下的数据 来自总体 ， 。iAinix,21 ),(2iiNX),1(i检验如下假设：， 不全相等rH210: rH,:21检验统计量为 ),()/(rnFrnSFeA其中 ，称为组间差平方和。2121)(xxSiririnjiAi ，称为组内差平方和。21)(irinjijei这里 ， ， 。rin1injiix1rinjix1对于给定的显著性水平 ，如果 ，则拒绝 ，)05.(或),1(rnF
3、0H即认为因素 对试验指标有显著影响。A实际计算时，可事先对原始数据作如下处理： baxijij再进行计算，不会影响 值的大小。F为了计算方便，通常采用下面的简便计算方式。记， ),21(1rixTinji rinjixT1则有， nSriiA21 riirinjexSi1212结果列于下面的方差分析表。方差来源 平方和 自由度 均方 F 值因素 A AS1r)1/(rSA)/(1rnSeA误差 E en/ne总和 +AS1例 1 下表给出在 30 只小白鼠身上接种三种不同菌型的伤寒病菌后的存活日数：菌型 接种后的存活日数2 3 3 2 4 7 7 2 5 45 6 8 5 10 7 12 6
4、 67 11 6 6 7 9 5 10 6 3 10试分析三种不同的菌型对小白鼠的平均存活日数影响是否显著？解： 30,1,9,10,332nnr846591 TT， 4.7AS7.eS，说明三种不同菌型的伤寒病菌对小白鼠的平均存活9)2,(01.F日数的影响高度显著。方差来源 平方和 自由度 均方 F 值因素 A 70.43 2 35.22 6.90误差 E 137.74 27 5.10总和 208.1710.2 双因素方差分析同时考察两个因素 和 对试验指标有无显著影响，可以让 取 个水平：ABAr，让 取 个水平： ，在各种水平配合 下进行试验，rA,21 ssB,21 ),(jiB称为
5、双因素试验。一、无交互作用的双因素方差分析在每一种水平配合 下作一次试验，称为无交互作用的双因素试验，试验结果),(jiBA观测数据 列于下表：ijx因素因素 A 1B2sB12rA x1sx1 212s2 1rx2rrsx并设在水平配合 下的数据 来自总体 ，),(jiBij ),(2ijijNX。21;,(sjri 检验如下假设：， 不全相等rAH210: rAH,:21， 不全相等rB rB分别用如下检验统计量 )1(,()1(/ srFsrSFeA)1(,()1(/ srsFsrSFeB其中 ，称为 的组间差平方和。2121)(xxSiirisjiAA，称为 的组间差平方和。2121
6、)()(rjsjrisjjB B，称为组内差平方和。21)(xxSjirisjije 这里 ， ， 。sjii1rijj1risjix1对于给定的显著性水平 ，如果 ，则)05.(或)1(,(srFA拒绝 ，即认为因素 对试验指标有显著影响；如果 ，则AH0 sB拒绝 ，即认为因素 对试验指标有显著影响。B实际计算时，可事先对原始数据作如下处理： baxijij再进行计算，不会影响 值的大小。BAF,结果列于下面的方差分析表。方差来源 平方和 自由度 均方 F 值因素 A AS1r)1/(rSA)1/(sSeA因素 B Bs)/(sB)/(reAB误差 E eS)1(r1/rSe总和 + +A
7、Bs例 1 为了解三种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对 3 种不同品种的仔猪各选 3 头进行试验，分别测得其一段时间体重增加量，如下表所示（ 代表饲料， 代表品种）：AB因素 B因素 A 12B3123A51 56 4553 57 4952 58 47试分析不同饲料与不同品种对仔猪的生长有无显著影响？解：所有数据减去 50 后计算结果如下：,3sr3.2,6.021xx 2,3,7,21 xx15,8eBASS，说明不同饲料对仔猪的生长无显著影响。94.6),(.0.F，说明品种的差异对仔猪生长的影响高度显著。8291.B方差来源 平方和 自由度 均方 F 值因素 A 8.66 2 4.
8、33 5.20因素 B 150 2 75 90.0误差 E 3.33 4 0.83总和 161.99 8二、有交互作用的双因素方差分析在每一种水平配合 下重复作 次试验，称为有交互作用的双因素试),(jiBA)2(m验，试验结果观测数据 列于下表：ijkx因素 B试验结果 1B2 sB因素 A12rmx12mrrx121 mx1212 mrrx221 smsx121 ssrsmrsx21并设在水平配合 下的数据 来自总体 ，),(jiBijij, ),(ijijNX。;,21(sjri 检验如下假设：， 不全相等rAH210: rAH,:21， 不全相等rB rB全相等， 不全相等ijA:0
9、ijA:1分别用如下检验统计量 )(,)(/ mrsFmrsSFeA)1(,)1(/eB )(),()(/ mrsrFmrsSFeAB其中 ，称为 的组间差平方和。2121 )(xxSiirisjimkA A，称为 的组间差平方和。2121 )()(rjsjrisjjkB B，称为 的21 )(xxSjirisjijmkAB 21)(xxmjirisjij BA组间差平方和。，称为组内差平方和。21)(ijrisjijkmex这里 ， ， ，sjijkix1riijkmj x1mkijijx1。risjijkmxx1对于给定的显著性水平 ，如果 ，则拒绝)05.1(或)1(,mrsFA，即认为
10、因素 对试验指标有显著影响；如果 ，则拒绝AH0 B，即认为因素 对试验指标有显著影响；如果 ，B )(),(rsrA则拒绝 ，即认为因素 与因素 之间的交互效应对试验指标有显著影响。A0实际计算时，可事先对原始数据作如下处理： baxijkij再进行计算，不会影响 值的大小。ABF,结果列于下面的方差分析表。方差来源 平方和 自由度 均方 F 值因素 A AS1r)1/(rSA )1(/mrsSeA因素 B Bs)/(sB )(/eB交互 AB ABS)1(r)1(/rSAB )1(/mrsSFeAB误差 E e)(ms)(/mse总和 + + +ASBeS1r例 2 考察合成纤维弹性影响因
11、素为拉伸倍数 与收缩率 。 与 各取 4 个水平，每个AB水平配合下做 2 次试验，结果数据见下表：因素试验结果 （0）1B（4）2（8）3（12）4因素 A（460）1（520）2（580）371 7372 7375 7373 7576 7478 7776 7379 7774 7575 7373 7270 71（640）4A77 73 74 74 74 73 69 69试分析因素 、因素 对合成纤维弹性的影响是否显著？以及因素 与因素 之间的交BAB互效应对合成纤维弹性的影响是否显著？解： 2,msr50.21,.80,6.98. eABBA SS，说明拉伸倍数 对合成纤维弹性无显著影响。43)1(50.FA，说明收缩率 对合成纤维弹性的影响高度显著。.5,2.3.B B，说明因素 与因素 之间的交互效应对合成纤维78)69(801.A弹性的影响高度显著。方差来源 平方和 自由度 均方 F 值因素 A 8.86 3 2.95 2.95因素 B 69.66 3 23.22 23.22交互 AB 80.20 9 8.91 8.91误差 E 21.50 16 1.34总和 180.22 31
