1、知识点第一章 随机事件与概率本章重点：随机事件的概率计算1*事件的关系及运算(1) AB(或 )(2) 和事件： ； 12nA （简记为 1niA） (3) 积事件： B， 12n （简记为 12n 或 1i)(4) 互不相容：若事件 A 和 B 不能同时发生，即 B(5) 对立事件： (6) 差事件：若事件 A 发生且事件 B 不发生，记作 A(或 ) (7) 德 :摩根（De Morgan）法则：对任意事件 A 和 B 有, .2 *古典概率的定义古典概型： () AnAP中 所 含 样 本 点 的 个 数中 所 含 样 本 点 的 个 数几何概率 ()的 长 度 （ 或 面 积 、 体
2、积 ）样 本 空 间 的 的 长 度 （ 或 面 积 、 体 积 ） 3*概率的性质(1) ()0P(2) (有限可加性) 设 n 个事件 1,2nA 两两互不相容，则有 1()()niiPPA(3) ()1()PA(4) 若事件 A，B 满足 ，则有 ()()BA,P(5) ()1PA(6) (加法公式) 对于任意两个事件 A，B ，有()()()PPAB.对于任意 n 个事件 1,2n ，有11111()()()()()nii ij ijk niijnijknPAAPA .4*条件概率与乘法公式 ()(|)PB.乘法公式： ()(|)(|)PABA.5*随机事件的相互独立性事件 A 与 B
3、 相互独立的充分必要条件一： ()()PB，事件 A 与 B 相互独立的充分必要条件二： |A对于任意 n 个事件 1,2n 相互独立性定义如下：对任意一个 2,kn ，任意的1kii，若事件 1,2n 总满足 1()()k kiiiiPPA ，则称事件 ,2nA 相互独立这里实际上包含了 2n个等式6*贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件发生的概率 ()01)p，则在 n 次重复独立试验中 ，事件恰发生 k次的概率为 ()(1),knknPp，7*全概率公式与贝叶斯公式贝叶斯公式：如果事件 1,2nA 两两互不相容，且 1niA， ()0iP， 1,2in ，则1()|(|),)kk
4、kniiiPB第二章 一维随机变量及其分布本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布1*离散型随机变量及其分布律(),12,.iipPXan 分布律也可用下列表格形式表示： 12n rPpp 2*概率函数的性质(1) 0ip， 1,2,;in (2) 1i3*常用离散型随机变量的分布(1) 01 分布 (,)Bp，它的概率函数为 1()()iiPXp，其中， i或 1， 0(2) 二项分布 (,)np，它的概率函数为 ()(1)iniip，其中， 0,12,i ， 01()* 泊松分布 ()P，它的概率函数为 ()!iX
5、e，其中， 0,12,in ， 04*二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量 (,)Y的分布可用下列联合概率函数来表示： ),1,2ijijPXabp其中，0,1,21ij ijipij5*二维离散型随机变量的边缘概率设 (,)XY为二维离散型随机变量， ijp为其联合概率（ ,12,ij ） ，称概率12,iPa为随机变量 X的边缘分布律，记为 ip:并有.(),iiijPa，称概率 (),)jb 为随机变量 Y 的边缘分布率，记为 .j，并有.jp=(,12,jijbp. 6随机变量的相互独立性 设 (,)XY为二维离散型随机变量， X与 Y相互独立的充分必要条件为,12,.iji
6、jpij:对 一 切多维随机变量的相互独立性可类似定义即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论7*随机变量函数的分布设 X是一个随机变量， ()gx是一个已知函数， ()YgX是随机变量 的函数，它也是一个随机变量对离散型随机变量 X，下面来求这个新的随机变量 Y的分布设离散型随机变量 的概率函数为X12naa rPpp 则随机变量函数 ()Yg的概率函数可由下表求得 X12()()ngaga rPp p但要注意，若 ()iga的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率ip相加第三章 连续型随机变量及其分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算,边缘分布和独立性
7、计算1*分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示， ()FxPX2分布函数 ()Fx的性质 (1) 01;(2) (),()limlixx;由已知随机变量 X的分布函数 Fx，可算得 X落在任意区间 (,ab内的概率3联合分布函数二维随机变量 (,)Y的联合分布函数4联合分布函数的性质(1) 0(,)1Fxy； (2) 0,(,)0limlixyFx，(,),1xxyy；(3) 1212221121,)(,)(,)(,)(,)PXYxyFxyF5*连续型随机变量及其概率密度设随机变量 的分布函数为 ()F，如果存在一个非负函数 ()f，使得对于任一实数x，有 ()()xfd成立，则称 X
8、为连续型随机变量 ，函数 称为连续型随机变量 X的概率密度6*概率密度 ()fx及连续型随机变量的性质（） 0;（） ()1fd；（） Fx；（4）设 X为连续型随机变量，则对任意一个实数 c， ()0PX；(5) 设 ()f是连续型随机变量 X的概率密度，则有()()()Pabababab fxd()()PabF(,)(,)xyxY7*常用的连续型随机变量的分布(1) 均匀分布 (,)Rab，它的概率密度为 1,;(0axbfxb其 余 .其中， )ab(2) 指数分布 (E，它的概率密度为 ,0;()xef其 余 .其中， 0(3) 正态分布 2(,)N，它的概率密度为2()1,xfxex
9、，其中， ,0，当 ,时，称 (0,1)N为标准正态分布，它的概率密度为 21(),xfxe，标准正态分布的分布函数记作 ，即 2()txed，当出 0x时， ()x可查表得到；当 0时， ()可由下面性质得到()1x设 2,XN，则有()xF；()baPa*二维连续型随机变量及联合概率密度对于二维随机变量(X，Y)的分布函数 (,)Fxy，如果存在一个二元非负函数 (,)fxy，使得对于任意一对实数 (,)xy有 (,)(,)xyfstd成立，则 (,)XY为二维连续型随机变量， 为二维连续型随机变量的联合概率密度*二维连续型随机变量及联合概率密度的性质(1) (,)0,fxyxy；(2)
10、1d；(3) 在 (,)fxy的连续点处有 2(,)(,)Fxyf;(4) 设 (,)XY为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域 D有(,)(,)DPXYfxyd1，*二维连续型随机变量 的边缘概率密度设 (,)fxy为二维连续型随机变量的联合概率密度，则 X的边缘概率密度为()(,)Xfxfyd；Y的边缘概率密度为 ()(,)Yfyfx11常用的二维连续型随机变量(1) 均匀分布如果 (,)XY在二维平面上某个区域 G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度为 1,(,)xyfxy， （ );的 面 积0,其 余 .(2) 二维正态分布21,N如果 (,)XY的联合概率密度 2 2112122
11、1 ()()(), exp(1)2xxyxfxy 则称 ()服从二维正态分布，并记为 21(,)(,)XYN.如果21(,)(,XYN，则 1，2(,)YN，即二维正态分布的边缘分布还是正态分布12*随机变量的相互独立性 (,)(),XYFxyyxy对 一 切，那么，称随机变量 X与 Y相互独立设 (,)为二维连续型随机变量，则 X与 Y相互独立的充分必要条件为(,)(),fxyfy在 一 切 连 续 点 上 .如果21(,),YN那么， 与 相互独立的充分必要条件是0第四章 随机变量的数字特征本章重点：随机变量的期望。方差的计算1*数学期望设 X是离散型的随机变量，其概率函数为 (),1,2
12、iiPXap则定义 的数学期望为 ()iE；设 X为连续型随机变量，其概率密度为 fx，则定义 X的数学期望为()()Xd2*随机变量函数的数学期望设 为离散型随机变量，其概率函数 (),1,2iiPap则 X的函数 ()g的数学期望为 ()()iiEgX设 (,)Y为二维离散型随机变量，其联合概率函数 (,),1,2ijijPaYbp则 (,)X的函数 ,)g的数学期望为 (,)(,)ijijiEXgab；3*数学期望的性质(1) ()Ec (其中 c 为常数 )；(2) kXbb ( ,k为常数)；(3) ()(YEY； (4) 如果 与相互独立，则 ()()XEY.4*方差与标准差随机变
13、量 X的方差定义为2()()DXE计算方差常用下列公式： 22X当 X为离散型随机变量，其概率函数为 (),1,iiPXap则 的方差为 2()()iiDE；当 X为连续型随机变量，其概率密度为 fx，则 X的方差为2()()(Xfd.随机变量 的标准差定义为方差 的算术平方根 )D.5*方差的性质 (1) ()0Dc (c 是常数)； (2) 2(kX (k为常数)；(3) 如果 与 Y独立，则 )()DXYDY.6原点矩与中心矩随机变量 的 k阶原点矩定义为 ()kE；随机变量 X的 阶中心矩定义为 k；7*常用分布的数字特征 (1) 当 服从二项分布 (,)Bnp时， ,()(1)EDX
14、np(2) 当 X服从泊松分布 时， (),，(3) 当 服从区间 (,)ab上均匀分布时， 2(),)21bbaEX(4) 当 X服从参数为 的指数分布时， 21(),()DX(5) 当 服从正态分布 2,N时， 2(),()E(6) 当 (,)XY服从二维正态分布21(,)N时， 21)(EXD；2(,)Y；第五章 数理统计的基本概念 本章重点：统计量的概念及其分布，分位数。1. *常用统计量（1）样本均值： （2）样本方差和矩统计量：221()niiniiSX（3） 22 21/()()niiXUTSX2. *三个重要分布（1） 分布设 为独立标准正态变量，称随机变量 的分布为自由度为
15、n 的 分布，记为 。称满足： 的点 为 分布的 分位点。（2）t 分布设随机变量 X 与 Y 独立， ，则称的分布为自由度 n 的 t 分布，记为 。称满足： 的点 为 t 分布的 分位点。（3）F 分布设随机变量 U 与 V 相互独立， ，则称的分布为自由度 的 F 分布，记为 。称满足： 的点 为 F 分布的 分位点，且有3. *正态总体的抽样分布统计量的分布称为抽样分布，设 是来自正态总体 的一个简单随机样本， 与 分别为样本的均值和样本方差，则有（1） ；（2） 22 21(0,1)/()()(1)niiXUNTtSXn:第六章 参数估计1. *点估计方法矩估计和最大似然估计是两种常
16、用的点估计法。（1）*矩估计法用样本的各阶原点矩去估计对应的各阶总体的原点矩，这就是矩估计的基本方法。:12 121 11(,),(, )()nnk kkin nk kkmi miiii iiVAXUXB （2）*最大似然估计法设总体 X 的密度函数 （其中 为未知参数） ，已知 为总体 X的样本 的观察值，则求 的最大似然估计值 的步骤如下： 写出似然函数121(),)(,)nniiLfxfx 似然函数取对数 121ln(,)l(,)niixfx(3)建立并求似然方程 0dL(4)最大似然估计值可以由解对数似然方程得到。2. *点估计的优良性评判准则（1）无偏性设 是 的一个估计量，若 ,则
17、称 是 的一个无偏估计。E111221()1nnniiiniiniiXXESDXX（2）有效性设 是 的两个无偏估计， 则称 比 有效。1, 12()D21称在所有的 无偏估计中，方差最小的那一个为一致最小方差无偏估计。111222nnniiiXXDn3. *单正态总体下的置信区间设 是取自正态总体 的一个样本，置信水平为 ，样本均值，样本方差 。（1）均值 的置信区间若 已知，取 ，故 的双侧 置信区间为：0(,1)XUNn若 未知，取 ，故 的双侧 置信区间为：0(1)XTtnS若 未知，取 ，故 的双侧 置信区间为：220(1)(1)nSn2/1/2()(),nS第七章 假设检验本章重点
18、：单个正态总体的参数的假设检验。1*单正态总体均值和方差的检验(U 检验,T 检验和卡方检验)我们以单正态总体均值 检验为例，即假定总体 。U 检验:(1) 列出问题，即明确原假设和备选假设。先设 已知，检验(2) 基于 的估计 ，提出检验统计量 0(,1)XUNn(3) 对给定水平 ， 构造水平 检验的拒绝域0/2XPun2Uu其中 为标准正态分布的 双侧分位点。2u(4) 基于数据，算出 的观察值，如 则拒绝 ，否则只能接受 .U02xun因此检验使用统计量 U，称之为 U-检验。注意:单边检验的区别H0：= 0；H 1： 0 构造水平 检验的拒绝域 单侧分位数XPunUuH0：= 0；H
19、 1： 0 构造水平 检验的拒绝域 单侧分位数unuT-检验。当 未知时，改检验统计量 U 为 T 统计量(1) 列出问题，即明确原假设和备选假设。先设 未知，检验(2) 基于 的估计 ，提出检验统计量 0(1)XTtnS(3) 对给定水平 ， 构造水平 检验的拒绝域02()Pt,其中 为标准正态分布的 双侧分位点。2(1)Ttn2t(4) 基于数据，算出 的观察值，如 则拒绝 ，否则只能接受T02(1)xTtnS.因此检验使用统计量 T，称之为 T-检验。注意:单边检验的区别H0：= 0；H 1： 0 构造水平 检验的拒绝域 单侧分位数()XPtnS(1)TtnH0：= 0；H 1： 0 构
20、造水平 检验的拒绝域 单侧分位数()tnS(1)Ttn2 检验。当 未知时，单正态总体方差 的检验(1)设 未知 220010:;:;H(2) 基于 的估计，提出检验统计量20(1)(1)nSn(3) 对给定水平 ， 构造水平 检验2 21(),()2PP的拒绝域 22()nn或其中 为标准正态分布的 双侧分位点。21,(4) 基于数据，算出 的观察值，如 则拒绝 ，否2212()()n或则只能接受 .因此检验使用统计量 2，称之为 2-检验。第八章 方差分析检验假设 找到 F 统计量012:.rH单因素试验方差分析表方差来源组间组内总和平方和 ASETS自由度 dfTf均方和 ASMdfEf
21、F 值 AESF 值临介值1,rn若接受 H0，说明在统计意义下，因素 A 对实验指标 X 的没有显著影响，或者说明因素 A 对实验指标造成的差异无统计意义。若拒绝 H0，说明在统计意义下，因素 A 对实验指标 X 的有显著影响，或者说明因素 A 对实验指标造成的差异有统计意义。简便计算公式：2A1SriTn22E11S,inrrijTAEijXSS11,i rijijAETXdfrfdfn第九章 回归分析1.回归函数或回归方程的建立 101xyL01yx112211, ()*()nniixyiiiinnxiiiyi ii yLxxnyyy2.回归方程的有效性检验 F 检验法检验假设 找到 F 统计量011: , :0,H一元回归分析表方差来源回归剩余总和平方和 RSETS自由度 1df2n均方和 RSMdfEfF 值 RESF 值临介值1,2n若接受 H0，说明在统计意义下， X 对 Y 的没有线性相关关系，或者说明 X 对 Y 的线性相关关系无统计意义。若拒绝 H0，说明在统计意义下， X 对 Y 的有显著的线性相关关系，或者说明 X 对 Y 的线性相关关系有统计意义。简便计算公式：R1SxyLE1S-, yxTAEyLSSL,2,ETdfndf3 回归方程的点预测 即为 y 的点预测值。 00,xyabx
