1、Harbin Institute of Technology课课 程程 设计设计 (论论 文)题 目:关于泊松分布的性质及应用院 系:理学院数学系 专 业:数学与应用数学 姓 名:单秀杰 学 号:1111200206 指导教师:王 力 关于泊松分布的性质及其应用摘 要 泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型,由法国数学家泊松于 1837 年引入,是概率论中的一种重要分布。在管理科学、运筹学及自然科学的某些实际问题中都有着广泛的应用。本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍,并分析了泊松分布在实际生活中的应用。关键词:泊松分布; 定义;定理;应用;例题; 数学期望
2、; 方差一 泊松分布的基本概念:在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某种事件,我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事件流。若事件流具有平稳性、无后效性、普通性,则称该事件流为泊松事件流( 泊松流 ) 。例如一放射性源放射出的 粒子数;某电话交换台收到的电话呼叫数;到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数;等这些事件都可以看作泊松流。对泊松流,在任意时间间隔(0, t)内,事件出现 的次数服从参数为 的泊松分布, 称为泊松流的 强度。定义 设随机变量 的可能取值为 且X,210为常数。,!kexkP则称X服从参数为的泊松分布 ,记作X
3、P() 。二 泊松分布的两种导出方法1泊松分布可以从一个计数过程导出,若计数过程N, t =0满足:(1)独立增量性:任意 s, t =0,Nt+s Nt 与Nu, u=0,Nt+s Nt 的分布与 t 无关,即在某时段内 A 发生的次数的分布只取决于时段的长度,与 时段的起点无关。(3) P(Nt =2)=o(t)长度为的时段内 A 发生不止一次的概率 为 t的高阶无穷小,则 X 的概率函数为(),0,12.!kPe其中 ,称X服从泊松分布,EX()P2 定 义: 进行 n 次独立重复的贝努里试验,每次试验事件 A 发生的概率为 P,若以 X 表示 n 次独立重复的贝努里试验中事件 A 发生
4、的次数,则 X 的分布列为 (),0,12knkPxCpqn其中 0p1,q=1-p,称这种分布为二项分布,记作 (,)XBnkp:定理:在 n 次独立重复的贝努里试验中,记 为每次试验事件 AnP发生的概率,它与试验总次数 n 有关,若 则对任lim)np( 为 常 数意确定的正整数 k 有 .lim(,),0,12!knnBkPe定理说明在二项分布中 时,它服从泊松分布。np三 主要结论:定义 设是任意一个随机变量,称 是的特征函 )t(- e t)(it数。定理1 如果X 是一个具有以为参数的泊松分布,则E( X) = 且 ( X) =。证明 设X 是一随机变量,若 存在,则称它为X的方
5、差, ) E(- 2记作P( X) ,即 。设X服从泊松分布P ( X) ,即有:)(- E )D(20 , ,10 k! Pe则 ekkXE10 !从而 212022 ! kekkk故 2 2P( )E( )-( - 定理2 设随机变量 服从二项分布,其分布律为) ,1n (x。kpCkxknn 20)1(又设 是常数,则 。0npekxPn!lim证明 由 得:nnkk knkn nnkxP 11211!显然,当k = 0 时,故 。当k 1 且k 时,有-e xP ennkn1,1211从而 ,故 。ekxPn kxPn!lim定理3 设 是服从参数为的泊松分布的随机向量 ,则:pdte
6、xpPx21lim证明 已知 的特征函数为 ,故 的特征函1itet数为: 1 itetettg对任意的t ,有 。!2tiit于是 。1122ttieit从而对任意的点列 ,有 。n2limtegnn但是 是N (0 ,1) 分布的特征函数,由于分布函数列 弱收敛于2te xFn分布函数F( x)的充要条件是:相应的特征函数列n ( t) 收敛F( x) 的特征函数( t)。所以 成立。又dtexPxnn 21lim因为 是可以任意选取的,这就意味n成立。dtexpPx21lim四 泊松分布的特征(1)泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。要观察到这类事件,样本含量 n 必须很大。(2
7、) 是泊松分布所依赖的唯一参数。 值愈小,分布愈偏倚,随着 的增大,分布趋于对称。(3)当 = 20 时分布泊松分布接近于正态分布; 当 = 50 时,可以认为泊松分布呈正态分布。在实际工作中,当 20时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。五 泊松分布的应用1) 二 项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件,即每次试验中事件出现的概率p很小,而伯努利试验的次数n很大时,事件发生的概率。例1 通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为p = 0.0001 ,假设在某路段时间内有1000 辆汽车通过此路口,试求在此时间内发生事故次数X的概率分布和发生2次以上事故的概率。解: 首先在某时间段内发生
8、事故是属于稀有事件,观察通过路口的1000辆汽车发生事故与否,可视为是n = 1000次伯努里试验,出现事故的概率为p = 0.0001 ,因此X是服从二项分布的 ,即 。,0.1) B(X10 9(2)101.9.Qxpx由于n = 1000 很大,且p = 0.0001很小,上面的式子计算工作量很大,则可以用:(1)(0,1)!mmnnpnnpvCpen求近似.注意到 , 故有0.0.11245!pxe2) 泊松分布可以计算大量试验中稀有事件出现频数的概率。 这里的频数指在相同条件下, 进行大量试验,在这大量试验中,稀有事件发生的次数。例2 已知患色盲者占0.25 %,试求: 为发现一例色
9、盲者至少要检查25人的概率; 为使发现色盲者的概率不小于0.9 ,至少要对多少人的辨色力进行检查?分析 设X表示恰好发现一例患色盲者所需要检查的人数,则。 G(0.25) 解 24242525(1)10.9750.9kkpxpp设至少对n 个人的辨色能力进行检查,于是p xn0.9。从而:1 11 1k knk knpxppp 由 ,得 .因此至少要检查920人。0.9 )-( 1n827975.0lg3) 泊松分布在计算病毒粒体对细胞感染率中的应用在感染病毒的细胞培养物中,培养细胞可被不同数量的病毒粒体感染,了解病毒粒体在培养细胞上的分布,即了解病毒粒体所感染的细胞比率。而受感染的细胞比率取
10、决于每个细胞中所含有的病毒粒体的平均数,称感染重数(m )。感染细胞的病毒粒体是指那些早期起始感染的粒体,无活性病毒粒体不计。因此, m 同感染细胞病毒粒体总数(N) 和细胞总数(C)的关系是 , 这里 a 是指细胞早期起始感染病aNC毒粒体的比率,如果 a 能确定,则 m 值可由己知的 N 值与 C 值计算出来。实际上细胞大小和表面特性等许多方面细胞是不同的,但这些偏差是可忽略的,现假定对细胞来说被感染的能力都一样。由泊松分布可知 则未被感染的细胞比率 ,那么感()!nmPe 0()!mPe染重数 m 也可以通过未被感染的细胞比率 p (0)的实验测定来求得:对深入研究病毒侵染和增殖机制具有一定意义。ln(0)p参考文献 1 魏宗舒等. 概率论与数理统计教程M . 高等教育出版社.1983. 10. 2 复旦大学编. 概率论( 第一册) . 概率论基础M . 人民教育出版社. 1979. 3 王梓坤. 概率论基础及应用M . 科学出版社 1976. 9. 4 潘孝瑞, 邓集贤概率引论及数理统计应用M 北京: 高等教育出版社, 1986 5 工继科,曲连东,病毒形态结构与结构参数M,北京: 中国农业出版社,2000