1、概率论与数理统计重点第一章 随机事件与概率1事件的关系 ABABA 2运算规则 （1） （2） )()()( CC（3） ) （4） 3概率 满足的三条公理及性质：)(P（1） （2 ）10A1)(P（3）对互不相容的事件 ，有 （ 可以取 ）nA, nkknkAP11)()(（4） （5 ） )()(（6） ，若 ，则 ，BBP)()(B)(BPA（7） )(PA（8） )( CCCC4古典概型：基本事件有限且等可能5几何概率6条件概率（1） 定义：若 ，则0)(B)(|(BPA（2） 乘法公式： )AP若 为完备事件组， ，则有nB,1 i（3） 全概率公式： ni ii1)|()(（4）
2、 Bayes 公式： ni iikkk BAPB1)|()|7事件的独立性： 独立 （注意独立性的应用）A ,(第二章 随机变量与概率分布1 离散随机变量：取有限或可列个值， 满足（1） ， （2 ） =1iipxX)0iip（3）对任意 ，RDDxiiP :)(2 连续随机变量：具有概率密度函数 ，满足（1） ；(f 1)( ,)(-dxfxf（2） ；（3）对任意 ，badXa)( Ra0aXP3 几个常用随机变量名称与记号 分布列或密度 数学期望 方差两点分布 ),1(pB，pP)1( pq1)0( pq二项式分布 n ，nkCkXn,2, nPoisson 分布 )(,10,!)(e几
3、何分布 )(pG,21 ,)(kpqXPp12q均匀分布 ,baU，bxabxf , ba)(a指数分布 )(E0 ,)(e12正态分布 ,2N2)( 1xxf 4 分布函数 ，具有以下性质)()XPxF（1） ；（2 ）单调非降；（3）右连续；1 ,0(（4） ，特别 ；aba )(1)(aFXP（5）对离散随机变量， ；xiip :)(（6）对连续随机变量， 为连续函数，且在 连续点上，dtfF)()(xf )( xf5 正态分布的概率计算 以 记标准正态分布 的分布函数，则有1,0(N（1） ；（2 ） ；（3）若 ，则 ；5.0)()1)(x),(2X)()F（4）以 记标准正态分布
4、的上侧 分位数，则u,0N1uuP6 随机变量的函数 XgY（1）离散时，求 的值，将相同的概率相加；（2） 连续， 在 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则 ，若不单调，X)(x |)(|)()( 11ygfyfXY先求分布函数，再求导。第四章 随机变量的数字特征1期望(1) 离散时 ， ；iipE)(iipxgXE)()(2) 连续时 ， ；dxfX)(df(3) 二维时 ，jiijiygYg,),( dyxfyxgY),(,),(4) ；（5） ；CE)( (XCE（6） ；)（7） 独立时，X, )(2方差（1）方差 ，标准差 ；222)()(D )()(XD（2） ；)( ,0
5、XD（3） ；)(2C（4） 独立时，YX, )(YY3协方差（1） ；)()()( YEXEEov （2） ；,(), , abCovovv（3） ；,(2121X（4） 时，称 不相关，独立 不相关，反之不成立，但正态时等价；0),(YCY,（5） ),)(DXD4相关系数 ；有 ，)(,YXCovY1|XY 1)( ,| baXYPbXY5 阶原点矩 ， 阶中心矩kkkE kkE)(第五章 大数定律与中心极限定理1Chebyshev 不等式 或2)(|)(| DP 2)(| D2大数定律3中心极限定理 （1）设随机变量 独立同分布 ，则 ， 或nX,21 2)( ,)(iiXE),(21
6、nNXnii近 似或 ，),(1NXnii近 似 )0,1( 1Nii近 似（2）设 是 次独立重复试验中 发生的次数， ，则对任意 ，有 或理解为若mApAPx)(limxnpqPn，则),(pB),(npq近 似第六章 样本及抽样分布1总体、样本（1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法） ；（2） 样本数字特征：样本均值 （ ， ） ；niiX1)(EnXD2)(样本方差 （ ）样本标准差iiS22 2SniiXS12)(样本 阶原点矩 ，样本 阶中心矩knikik1nikikX1)(2统计量：样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分
7、位点定义）（1） 分布 ，其中 独立同分布于标准正态分布 ，若2)(2212Xn n,21 )1,0(N且独立，则 ；)(),(1nYX1Y（2） 分布 ，其中 且独立；t/tX)( ),0(2nN（3） 分布 ，其中 且独立，有下面的性质 F,/2121Fn )(),(212nYX),(),( ),(1 12112nn4正态总体的抽样分布（1） ； （2） ；)/,(2NX)(12nXnii（3） 且与 独立； （4） ；1)2nSn )1/tSt（5） ，)2()( 1212ntYt 2)(1nS（6） )1,(/2121nFS第七章 参数估计1矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）
8、令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计2极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2 ）求对数极大似然函数（3 ）求导数或偏导数；（4 ）令导数或偏导数为 0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为 min 或 max ）ixi3估计量的评选原则(1)无偏性：若 ，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；)(E4参数的区间估计（正态）参数 条件 估计函数 置信区间已知2nxu/ 2nux未知 st/ )1(st2未知 22)1( )(,)(212n概率论与数理统计期末重点第二章知识点：1.离散型随机变量：设 X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限
9、个或可数无穷个，则称 X 为一个离散随机变量。2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1 分布）：若一个随机变量 X 只有两个可能取值，且其分布为 ，12,1(01)PXxpxp则称 X 服从 处参数为 p 的两点分布。12,x两点分布的概率分布： 12, ()Px两点分布的期望： ；两点分布的方差：()E()Dp（2）二项分布：若一个随机变量 X 的概率分布由式 1,0,1.knknxCn给出，则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布。记为 Xb(n,p)(或 B(n,p).两点分布的概率分布： (),0,.kknPp二项分布的期望： ；二项分布的方差：()E()DXp（3）泊松分布：若一个
10、随机变量 X 的概率分布为 ，则称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 XP ,12.!ke( )泊松分布的概率分布：,0,.!kPe泊松分布的期望： ；泊松分布的方差：()E()DX4.连续型随机变量：如果对随机变量 X 的分布函数 F(x)，存在非负可积函数 ，使得对于任意实数 ，有 ，()fxx()()xFPXftd则称 X 为连续型随机变量，称 为 X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。()fx5.常用的连续型分布：（1）均匀分布：若连续型随机变量 X 的概率密度为 ，则称 X 在区间（a,b）上服从均匀分布，记为 XU(a,b)其 它,01)(bxabf均匀分布的概率密度： 其 它,
11、)(axf均匀分布的期望： ；均匀分布的方差：2bEX2()1baDX（2）指数分布：若连续型随机变量 X 的概率密度为 ，则称 X 服从参数为 的指数分布，记为 Xe ( )0()0xef 指数分布的概率密度：()xf指数分布的期望： ；指数分布的方差：1E21()DX（3）正态分布：若连续型随机变量 X 的概率密度为 2()1()xfxex则称 X 服从参数为 和 的正态分布，记为 XN( , )22正态分布的概率密度：2()1()xfxex正态分布的期望： ；正态分布的方差：E2()DX（4）标准正态分布： ，20,1 21)()x txxeed标准正态分布表的使用：（1） 0()(xx
12、（2）,1()XNPababPaxb（3） 故2(,)0,1XYN()XxFxP()()abaaXb定理 1： 设 XN( , ),则2,6.随机变量的分布函数：设 X 是一个随机变量，称 为 X 的分布函数。()FxPx分布函数的重要性质： 12212110()()()(),0FxPXFxx7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布（1）由 X 的概率分布导出 Y 的概率分布步骤：根据 X 写出 Y 的所有可能取值；对 Y 的每一个可能取值 确定相应的概率取值；iy常用表格的形式把 Y 的概率分布写出（2）由 X 的概率密度函数（分布函数）求 Y 的概率密度函数（分布函数）的步骤：
13、由 X 的概率密度函数 随机变量函数 Y=g(X)的分布函数()Xfx()YFy由 求导可得 Y 的概率密度函数()YFy（3）对单调函数，计算 Y=g(X)的概率密度简单方法：定理 1 设随机变量 X 具有概率密度 ，又设 y=g(x)处处可导且恒有 （或恒有()(,)Xfx()0gx） ，则 Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为()0gx；其中 是 y=g(x)的反函数，且()|,Yfhyyf ()xhymin,(),ma,)gg练习题：2.4 第 7、13、14总习题 第 3、6、9、10、11、13、14、17、18、19第三章重要知识点：1.离散型二维随机变量 X 与 Y
14、的联合概率分布表：YX 1y2y jy iPXx1xp1 1jp 1jp2212 2j 2jj.ix1ip2i ijp ijp.jPYy1i2ip ij 1（1）要会由 X 与 Y 的联合概率分布，求出 X 与 Y 各自概率分布或反过来；类似 P63 例 2（2）要会在 X 与 Y 独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据；类似 P71 例 3（3）要会根据联合概率分布表求形如 的概率；,Pabcd（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。2. 二维连续型随机变量 X 与 Y 的联合概率密度 :设（X,Y ）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函
15、数，若存在一个非负可积的二元函数 f(x,y),使对任意实数（x,y ） ，有，则称（X,Y）为二维连续型随机变量。(,)(,)yxFfstd(1) 要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；(2) 要会根据联合概率密度求出相应的分布函数 F(x,y)，以及形如 等联合概率值;P64 例 3PXY(3) 要会根据联合概率密度求出 的边缘密度;类似 P64 例 4,xy(4) 要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：（1） ；（2 ）1ijip(,)1fxyd要会根据这些性质解类似 P68 第 5，6 题。4.常用的连续型二
16、维随机变量分布二维均匀分布：设 G 是平面上的有界区域，其面积为 A。若二维随机变量（X,Y）具有概率密度函数，则称（X,Y）在 G 上服从均匀分布。(,)(,)0Axyfxy5.独立性的判断：定义：设随机变量（X,Y）的联合分布函数为 F(x,y),边缘分布函数为 ， ，若对任意实数 x,y，有()XFxYy,PXxYyPXxYy（1）离散型随机变量的独立性：由独立性的定义进行判断；所有可能取值 ，有 ， 则 X 与 Y 相互独立。(,)ij(,)()()ij ijPxy.ijijp（2）连续型随机变量的独立性：由独立性的定义进行判断；联合概率密度 ，边缘密度 ，(,)fxy()XfxYfy
17、有 几乎处处成立, 则 X 与 Y 相互独立。,xyXY(3)注意与第四章知识的结合X 与 Y 相互独立 ()()(),0XYEEDDCov因此 X 与 Y 不独立。()()()(,)0XYEEov6相互独立的两个重要定理定理 1 随机变量 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 所生成的任何事件与 Y 生成的任何事件独立，即，对任意实数集 A，B，有,PABPAB定理 2 如果随机变量 X 与 Y 独立，则对任意函数 ， 相互独立。1()gx2)y（1）要求会使用这两个定理解决计算问题练习题：习题 2-3 第 3、4 题 习题 2-4 第 2 题习题 3.2 第 5，7，8 题总习题三 第 4
18、，9 （1）- （4） ， 12,13第四、五章知识点设总体密度函数如下， 是样本，试求未知参数的矩估计值，最大似然估计值。12,.nx(;,),0pxe（1） 002 22 2220011()()xtttt ttEXdedet ede，由此可推出 ，2)DEX(),()()DXEDX从而参数 ， 的矩估计值为,sx（2）似然函数为： (1)11()ep(,nniiLx其对数似然函数为： l(,)lii由上式可以看出， 是 的单调增函数，要使其最大， 的取值应该尽可能的大，由于限制 ，这给出的最大nL(1)x似然估计值为 (1)x将 关于 求导并令其为 0 得到关于 的似然方程l(,，解得12
19、()ln(,)0niixdL1(1)()niixx第四章重要知识点：1.随机变量 X 数学期望的求法：（1）离散型 ；（2）连续型 1()iExp()()EXxfd2.随机变量函数 g(X) 数学期望的求法：（1）离散型 ；（2）连续型 1()()iig ()()gf3.二维随机向量期望的求法：（1）离散型 ；1(,)(,)ijijiEXYxyp（2）连续型 ,ggfdxy4.随机变量 X 方差的求法：（1）简明公式 222()()()(DEX（2）离散型 1iiixp（3）连续型 2()()fxd5. 随机变量 X 协方差与相关系数的求法：（1）简明公式 ,()()()CovYEXYEXYE
20、（2）离散型 ,()()ijijij yp（3）连续型 , (),xfxyd（4） ()XYovDY6.数学期望、方差、协方差重要的性质：(1) 1212()()EEX(2) 设 X 与 Y 相互独立，则 ()Y(3) ()(),ECov若 X 与 Y 相互独立，则 ()DD(4) 2()C(5) 112,),ovXY（6） ()abov若 X 与 Y 相互独立，则 ,0(7) 若（X,Y）服从二维正态分布，则 X 与 Y 相互独立，当且仅当 0XY7. n 维正态分布的几个重要性质：（1）n 维正态变量（ ）的每个分量 （ ）都是正态变量，反之，若 都是正态变12,.ni1,2.n12,.n
21、X量，且相互独立，则（ ）是 n 维正态变量。,（2）n 维随机向量（ ）服从 n 维正态分布的充分必要条件是 的任意线性组合均服从一维正态分,. 12,.n布 均服从一维正态分布（其中 不全为零） 。12.nlXlX12,.nl（3）若（ ）服从 n 维正态分布，设 是 的线性函数，则（ ）服从 k12,.X12,.kY(1,2.)jXn12,.kY维正态分布。（4）设（ ）服从 n 维正态分布，则“ 相互独立”等价于“ 两两不相关”,n12,.nX练习题：1. 设（X,Y）的联合密度函数为 ，求 及4()0(,)xyyxfxy(,)CovY解：11300(),2()2)5xEXddd 22
22、 242()4(xfyyxx23()(5D同理 120()(,)4()5xEYxfydydx2 312又因10()()1xXyyx从而 462, (57CovYEXY()2713XYD2. 习题 4.3 第 10 题8.中心极限定理（1）定理 4（棣莫佛拉普拉斯定理）设随机变量 相互独立，并且都服从参数为 的两点分布，则对任意实数 ，有12,.,.nXpx21lim()()n ti xipPedx（2）定理 3（独立同分布的中心极限定理）设随机变量 相互独立，服从同一分布，且12,.,.nX则2(),()(1,.)iiEDi 211limn ti xinXPed练习题：习题 4-4 11 题
23、12 题 总习题四 24，25，26 题第五章重要知识点确定或求证统计量所服从的分布1.三大分布（1） 分布：设 是取自总体 N(0,1)的样本，称统计量 服从自由度为 n 的 分布。212,.nX2221.nX2（2）t 分布：设 XN(0,1), ，且 X 与 Y 相互独立，则称 服从自由度为 n 的 t 分布。()Y/tYn（3）F 分布：设 ，且 X 与 Y 相互独立，则称 服从自由度为（m,n）的 F 分布。22,mnmF2.三大抽样分布（1）设总体 是取自 X 的一个样本， 为该样本的样本均值，则有 ，212(,),.nXN 2(,/)XNn0/Un（2）定理 2 设总体 ，是取自
24、 X 的一个样本， 与 为该样本的样本均值与样本方差，则有212(,),.n 2S，211(1)niiSX与 相互独立X2（3）定理 3 设总体 ，是取自 X 的一个样本， 与 为该样本的样本均值与样本方差，则212(,),.nN2S有 ，221()nii n(1)/TtS练习题：1.设 是来自正态总体 的样本，求统计量2,.nX(0,)X的分布。13214.Y解：因为 ，故21321(,)nN1321.(0,)nXN(0,),.iXNi由样本的独立性及 分布的定义，有22224().()()nX再由样本的独立性以及 t 分布的定义，有 132113212 24 42 ().nnXY t2 总
25、习题五 14 题3.求样本函数相关的概率问题练习题：习题 5-3 2 总习题五 16、17第六章重要知识点：1.矩估计的求法：设总体 X 的分布函数 中含有 k 个未知参数的函数 ，则1(;,.)kFx1,.k（1）求总体 X 的 k 阶矩 它们一般都是,.是这 k 个未知参数的函数，记为 1(,.),2.iikgi（2）从（1）中解得 1,.().jjkhj（3）再用 的估计量 分别代替上式中的 ，即可得 的估计量：(1,2.)ikiAi(1,2.)jk,. ,.jjkhAj注：求 ，类似于上述步骤，最后用 ，代替 ，求出矩估计1v1,.kB1,.kv(,.)jk2.最大似然估计的求法：求最
26、大似然估计的一般方法：（1） 写出似然函数 12()(,.;)nLx（2） 令 或 ，求出驻点()0dln0d（3）判断并求出最大值点，在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的最大似然估计值。比如 P154 例 46。3. 估计量的优良性准则（1）无偏性定义 1 设 是未知参数 的估计量，若 ,则称 为的无偏估计量。1(,.)nX()E（2）有效性定义 2 设 和 都是参数 的无偏估计量，若 ,则称 较11(,.)n21,.nX12()()D1有效。4 置信区间（1）双侧置信区间:设 为总体分布的未知参数， 是取自总体 X 的一个样本，对给定的数 ， ，若存在统计12,.nX101量 ，1
27、2(,.)n，使得 ，则称随机区间 为 的 双侧置信区间，称12,.nX_1P_(,)1为置信度，又分别称 与 为 的双侧置信下限与双侧置信上限。_（2）单侧置信区间：设 为总体分布的未知参数， 是取自总体 X 的一个样本，对给定的数 ， ，若存在统计12,.nX 01量 ，12(,.)n满足 ，则称 为 的置信度为 的单侧置信区间，称 为 的单侧置信下限；若存在统计P(,)1量 ，满足12(,.)nXP则称 为 的置信度为 的单侧置信区间，称 为 的单侧置信上限。)15.寻求置信区间的方法：一般步骤：（1） 选取未知参数 的某个较优估计量 （2）围绕 构造一个依赖于样本与参数 的函数 12(
28、,.,)nUX（3）对给定的置信水平 ，确定 与 ，使112P通常可选取满足 与 的 与 ，在常用分布情况下，这可由分位数表查得。PU12（4）对不等式 作恒等变形后化为12则 就是 的置信度 为的双侧置信区间。(,)6.置信区间的公式：(1)0-1 分布参数的置信区间：22211(4),(4),),(bacbacanunXunX(2)设总体 ，其中 已知， 而为未知参数， 是取自总体 X 的一个样本。2()N212,.nX均值 的 置信区间为：（ ， ）12(3)设总体 ，其中 ， 未知， 是取自总体 X 的一个样本。2(,)21,.n均值 的 置信区间为：（ ， ）2()SXtn2(1)SXt(4)设总体 ，其中 ， 未知， 是取自总体 X 的一个样本。2(,)XN1,.n方差 的 置信区间为： 212221()(),SSn的 置信区间为： 221()(),练习题：习题 6-2 第 1，2，5 ，6 题习题 6-3 第 3，4，5 ，6 题习题 6-4 第 4 题总习题六 第 7，8 ，9，10，16，17 ，18，20，21 题
