1、高 考解 析几 何 万 能解 题套 路一 个 套 路 ， 解 决 所 有 高 考 解 析 几 何 问 题 ！ （ 版权 所有 翻 印必 究）乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 16263161第 一部 分： 高考 解析 几何 万 能解 题套 路一、导论在教学中 ， 一直有一个难以解决的悖论 ： “ 题海战术 ” 广遭诟病 ， 但似乎要取得好成绩 ， 除了 “ 题海战术 ” 又别无良策。这是因为，我们每次考试面对的题目都不可能一样，大家心照不宣的想法是 通过平时的 “ 题海战术
2、” ，也许可以穷尽问题的各种可能。然而，如果我们仔细研究一下西方科学思想，他们的目标也是穷尽问题的各种可能，但他们采用的是欧几里德在几何原本中创立的公理化演绎方法！在其划时代的伟大著作几何原本中，欧几里德仅用了 5条公理和 5条推理规则 （ 或者说演绎规则 ） ， 就将以往大量的 、 零碎的 、 彼此之间也看不出多少联系性的几乎所有几何问题的解都统一了起来！ 大量看似没有多少联系性的问题，却能通过高度一致的方法获得解决！欧几里德的发现深深地影响了后世无数科学家，并让几乎所有学科走上了为所有可能的问题寻找高度一致解决方法的道路！ 事实上，欧几里德的发现影响如此巨大，使得公理化演绎方法成为几乎所有
3、学科的通用方法。为了让学生能真正从题海战术中走出来 ， 我们以解析几何为例 ， 开发出一套与高考解析几何演绎体系相对应的 “ 万能解题套路 ” ，希望对大家有所启发。二、解析几何万能解题套路 解析几何是法国数学家笛卡儿（ 1596年 1650年 ）创立的。在笛卡儿之前，几何（即欧几里德几何 ）与代数是数学中两个不同的研究领域，但这两门学科都有着自己的局限性，比如欧几里德几何，虽然它构 建起了严密的演绎体系，但基本只局限于对直线和圆所组成的图形的处理，当面对椭圆、抛物线、双曲线 等新奇图形时，欧几里德几何就开始变得力不从心了。笛卡儿在总结前人经验的基础上，创造性地提出了 一个划时代的设想 把代数
4、的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。正是在这一设想的指引下，笛卡儿创建了解析几何的演绎体系。正如前面所说，演绎体系最大的特点是：大量看似没有多少联系性的问题，在演绎体系下却能通过高度一致的方法获得解决！而要找到这个高度一致的方法，只须理清两个问题：一、这个演绎体系下的问题 是由什么构成的；二、这个演绎体系的演绎规则是如何构建的。 以高考解析几何为例： 1、 问题都是以平面上的点 、 直线 、 曲线 （ 如圆 、 椭圆 、 抛物线 、 双曲线 ） 这三大类几何元素为基础构成的图形的问题； 2、 演绎规则就是代数的演绎规则 ， 或者说就是列方程 、 解方程的规则 。 当然 ， 能用代数
5、规则处理的问题必须是代数形式的，比如，平面上的点、直线、曲线构成的图形能用代数方法来处理，前提是构成这些 图形的点、直线、曲线必须是代数形式的。 有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这么一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项工作： 1、 几何问题代数化。2、 用代数规则对代数化后的问题进行处理。至此，我们可以发掘出一套规整的高考解析几何的统一解题套路： 步骤 1：把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来（一化 ） ；步骤 2：把题目中的点与直线、曲线的从属关系用代数形式表示出来（二代 ） ；说明 ： 这里的 “ 从属关系 ” 指的是什么？实际上 ， 在解析几何
6、中 ， “ 点 ” 是比直线 、 曲线更基础的几何元素 任何几何图形，包括直线和曲线，都被视为是由一个个的 “ 点 ” 构成的（用数学语言来表达：任何几何图形，包括直线和曲线，都是由点构成的集合 ） 。但为了使我们的解题套路各步骤之间条例更分明 ，乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 16263162我们把点、直线、曲线视为构成任何其它几何图形的基础。所以，这里的 “ 从属关系 ” 是点与直线、曲线的属于关系问题 如果某个点在某条直线或曲线上 ， 那么这个点的坐标就可代入这条直线
7、或曲线的方程 。步骤 3：图形构成特点的代数化，或者说其它附加条件的代数化（三化 ） 。说明：在解析几何中，会有一些关于图形构成特点的条件，如图形中某两条直线垂直；图形中某条直线和某条曲线相切等等，我们把这些条件都归结在步骤 3中来处理；步骤 4：按答案的要求解方程组，把结果转化成答案要求的形式（四处理 ） 。说明：步骤 1、 2、 3完成后，会得到一组方程，而答案就是这组方程组的解。下面，我们把这四个步骤进行标准化。三、高考解析几何解题套路各步骤操作规则步 骤一 ： （ 一化 ）口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。 1、 见点化点 ： “ 点 ” 用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目
8、中提到的点都要加以坐标化；2、 见直线化直线 ： “ 直线 ” 用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化；3、 见曲线化曲线 ： “ 曲线 （ 圆 、 椭圆 、 抛物线 、 双曲线 ） ” 用二元二次方程表示 ， 只要是题目中提到的曲线都要加以方程化； 备 注： 大家在学习本教材的例题时，可翻阅教科书回顾这些内容，以加深印象，如直线有五种表示方法 哪种情形对应哪种方法表示；圆、椭圆、抛物线、双曲线的方程怎么列。步 骤二 ：点 与直 线、 曲线 从属 关系 的代 数化 （二 代） 口诀：点代入直线、点代入曲线。1、 点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程
9、；2、 点代入曲线：如果某个点在某条曲线上，将点的坐标代入这条曲线的方程；备注 1： 这样，每代入一次就会得到一个新的方程，这些方程都是获得最后答案的基础。备注 2： 方程逐一列出后 ， 最后就是解方程组的问题了 。 在方程组的求解中 ， 我们发现一个特殊情况 ，即如果题目中有两个 点在同一条曲线上，将它们的坐标代入 曲线方程后不能直接算出常数结果，则 采用下面这套等效规则来处理可以达到同样的处理效果，并让方程组的求解更简单： 等效规则的口诀：点代入这两个点共同所在的直线、直线代入曲线。 1、 点代入这两个点共同所在的直线 ： 把这两个点共同所在直线用点斜式方程 （ 如 dkxy+=） 表示出
10、来，将这两个点的坐标分别代入这条直线的方程；2、 将这条直线的方程代入这条曲线的方程，获得一个一元二次方程；3、 把这个一元二次方程的根用韦达定理来表示 （ 这里表示出来的实际上就是这两个点的坐标之间的相互关系式 ） ；4、 把这个一元二次方程的二次项系数不等于零的条件列出来；5、 把这个一元二次方程的判别式 0列出来。备 注： 事实上，这是前面一套规则在特定情况下的等效规则，如果用前面一套操作规则，我们会发现在其后续方程组的处理过程中会出现韦达定理的推导过程，而后面的等效规则直接用了韦达定理的结论， 省略了韦达定理的推导过程，当然，它的好处也仅此而已。为了让大家看得更明白，我们举例说明一下：
11、 例 ： 已知直线 l： dkxy+=与椭圆 )0(12222 =+ babyax 交于 ),(11yxA、 ),(22yxB )(21xx两点。 按前面一套代入规则列方程，并处理 点 A、 B在直线 l上乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 16263163 dkxy+=11 dkxy+=22 点 A、 B在 椭圆 上 1221221 =+byax 12222 =+byax 将 代入 消去 1y，整理得 0)(2)( 2221221222 =+ bdaxkdaxkab 将 代入
12、 消去2y，整理得 0)(2)( 222222222 =+ bdaxkdaxkab 将 ，整理得0)(2)( 21221222 =+ xxkdaxxkab 02121 xxxx 02)( 221222 =+ kdaxxkab 222221 kabkdaxx +=+将 + ，配方得 0)(2)(22)( 2222122121222 =+ bdaxxkdaxxxkab代入 222221 kabkdaxx +=+ ，得222 22221 )(kabbdax += 按后面的规则列方程，直接用韦达定理得到结果 点 A、 B在直线 l上 dkxy+=11 dkxy+=22 将直线 l的方程代入椭圆方程，整
13、理得乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 162631640)(2)( 22222222 =+ bdaxkdaxkab 由韦达定理得222221 kabkdaxx +=+ ， 222 22221 )(kabbdaxx +=+说 明： 这里给我们展示了科学推理的一个特点，就是通用规则在特定问题中使用后，一般都会得到一些比较固定的结果 ， 科学家把通用规则在这些特定问题中获得的固定结果定义为 “ 定理 ” ， 这样 ， 在接下来的计算中直接使用 “ 定理 ” 就可以省略一些中间过程
14、韦达定理就是这样的例子。事实上，在处理问题时 ， 我们可以只用通用规则 ， 从源头上解题 ， 也可以直接用这些 “ 定理 ” ， 让解题过程相对简便一些 。 当然 ，一个通用规则对不同的特定问题进行操作后，都会得到不同的定理，这样，一个通用规则可以针对不同的 问题演绎出成千上万条定理，要记住这么多定理是极难的，而且随着记忆的定理数量的增长，人脑会发生 混淆，大家会出现大脑短路的现象，成绩也开始进入长期止步不前的可怕状态，即出现所谓的学习的 “ 高原现象 ” 。所以，我们建议大家，不管是成绩好的，还是成绩不好的，要养成科学的学习习惯，先搞清楚并熟练掌握通用规则 ， 再在此基础上掌握一定数量的特定
15、规则 （ 即定理 ） ， 这样学习起来更轻松 ， 也更快捷 。 事实上，著名心理学家奥苏贝尔研究发现，人的知识结构如何组织对学习效率影响很大，条例分明的知识结构 会使人脑处理知识的难度下降，从而大大提高学习效率。我们推出这套教材的目的就是为了让大家获得一 个科学的知识结构，而这个知识结构对应的就是统一的、结构化的解决问题的套路。步 骤三 ： （ 三化 ）在几乎任何一门科学分支里面，前面两个步骤都是高度模式化的，他们构成了解决该科学分支所有特定问题的基础。那特定问题是怎么形成的呢，事实上就是附加了一些特殊条件的问题，如在解析几何题目 里，我们可以附加两条直线垂直的条件，也可以附加一条直线与一条曲
16、线相切的条件，等等，当然，我们 不用太担心，这些条件都是与我们教材上的基本数学概念相对应的，它们分别与一个或一组固定模式的方程相对应，而且，通过少数几条通用规则就可以把所有这些方程罗列出来。而我们要做的，就是针对这些 特定条件选择合适的通用规则来列方程。下面是这个步骤涉及的主要通用规则： 1、两点的距离 已知两点 ),(11yxA、 ),(22yxB，则该两点的距离： 2121 )()(| yyxxAB += 。2、两个点的对称点 已知两点 ),(11yxA、 ),(22yxB，则它们的对称点 ),(33yxC： 2213 xxx+=， 2213 yyy+=。3、两条直线垂直已知直线 l与直线
17、 m垂直，当直线 l的斜率不为 0时，有 1=mlkk ；当直线 l的斜率为 0时，直线 m的斜率不存在，或者说直线 m与 x轴垂直。4、两条直线平行 已知直线 l与直线 m平行 ， 当直线 l和 m的斜率存在时 ， 有ml kk=； 当直线 l和 m的斜率不存在时 ，直线 l和 m都与 x轴垂直。5、两条直线的夹角 已 知 直 线 l的 倾 斜 角 为 ， 直 线 m的 倾 斜 角 为 ， 则 直 线 l和 m的 夹 角 =满 足 ：乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 162
18、63165mlml kkk+=+= 1tantan1tantan)tan(tan 备注：实际上，规则 3、 4是规则 5的特例，但这两个特例比规则 5出现的频率大，所以在此罗列。6、点到直线的距离（实际是规则 1和规则 3的推论）已知 ),(11yxA， 直线 l： 0=+cbyax， A到直线 l的距离： 2221 | bacbyaxd += 。思考：怎么用规则 1和规则 2来推导。提 示 ： 找 A在 直 线 l上 的 垂 足 ， 设 为 ),(22yxB， 则 022 =+cbyax； 1=lABkk ； 解 这 两个方程组，把 2x、 2y用 1x、 1y表示出来，再代入 2121 )
19、()(| yyxxAB += 。7、余铉定理 把题目中出现的角代数化。8、直线与曲线的位置关系 把直线方程代入曲线方程，得形如 02 =+cbxax的一元二次方程：1当 0=a， 0b时，直线与曲线有一个交点；2当 0a且 0=时，直线与曲线相切；3当 0a且 0时，直线与曲线有两个交点；4当 0a且 0m， 01y，02m， 01y， 02m， 01y， 02+ kddkkd注 解 4： （ 二 代 ） ， 从 题 目 条 件 “ 设 过 点 ),(mtT的 直 线 TA、 TB与 椭 圆 分 别 交 于 点 ),(11yxM、),(22yxN， 其中 0m， 01y， 02y， 02y，
20、02+ kkkk ，恒成立由已知有直线 AB： )1(111 +=xxyy直线 AC： )1(122 +=xxyy乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 162631614 由已知有 )1(13113 +=xxyy ， )1(14224 +=xxyy由已知有 2143 =xx解得 )1(2)2(3113 +=xxky ， )1(2)2(3224 +=xxky设 MN的中点为 ),(55yxG，则 G是 以线段 MN为直径的圆 的圆心且 2435 xxx+=， 2435 yyy+=
21、当 以线段 MN为直径的圆过点 F时，有 |21| MNFG=即2432432525 )()(21)( yyxxyx +=+ 243243243243 )()(21)2()2( yyxxyyxx +=+04943=+y 0)1(2)2(3)1(2)2(349 2211 =+ xxkxxk 0)41()(21()1(2212212 =+ kxxkxk 0)41()34()21(334)1( 2222222 =+ kkkkkkk0)1(22 =+kk0=k此时有 0)1(2)2(3113 =+=xxky ， 0)1(2)2(3224 =+=xxky与已知 021 yy， 矛盾 0=k不符合题意，舍
22、 当直线 BC与 x轴 垂直时，即 直线 BC： 2=x此时可令 )3,2(B，则 )3,2(C， )23,1(M， )23,21(N，则 MN的中点 )0,21(G此时 |2123| MNFG= 当 过点 F的直线 与 x轴 垂直时， 以线段 MN为直径的圆过点 F。乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 1626316152、 理 科 上 海 卷 第 23题已知椭圆 的方程为 )0(12222 =+ babyax ， 点 P的坐标为 ),(ba。 若直角坐标平面上的点 M、 )
23、,0(bA、 )0,(aB满足 )(21PBPAPM+= ， 求点 M的坐标 ； 设直线 pxkyl +=11： 交椭圆 于 C、 D两点 ， 交直线 xkyl 22=： 于点 E， 若 2221 abkk= ，证明： E为 CD的中点； 对于椭圆 上的点 )0)(sin,cos( +设 CD的中点 为 ),(44yxG 3221212214 xbkapkaxxx =+=+= 322122211211214 2)(2 )()( ybkapbpxxkpxkpxkyyy =+=+=+=+= ),(44yxG与 E为同一点即 E为 CD的中点 步骤 设 ),(551yxP、 ),(662yxP设直线
24、 dxkyP+=321：将点 ),(551yxP、 ),(662yxP代入 直线 21P的方程dxky +=535 ， dxky +=636将直线21P的 方程代入 椭圆 的 方程，整理得 0)(2)( 2223222232 =+ bdadxkaxbka22323265 bkadkaxx +=+ ， 2232 22265 )(bkabdax +=其中二次项系数： 02232 +bka ，恒成立222322222322232 0)(4)(0 dbkabdbkapka +步骤 由已知 )sin,cos(),(),(665521 bbaabyaxbyaxPQPP +=+=+ +=+ bbyy aax
25、x sincos6565 +=+= bbdxxk aaxx sin2)( cos65365乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 162631617 +=+ =+ bbdbkadka aabkdka sin22 cos22232232223232 += )sin1(2 )cos(sin23 )si1( )cos1(3 bdabk步骤 将 3k、 d的值代回 步骤 中的方程组，解出 5x、 5y、 6x、 6y，即得 点 1P、 2P的坐标 当 1P、 2P存在 时，方程 0)(2)
26、( 2223222232 =+ bdadxkaxbka 的 0即 0)(4)2( 2222322232 + bdbkadka 022232 +bdka0)sin1(4 )cos(sin23)sin1( )cos1(222222 + bbaba 0)sin1(4 21)cos(sin23)cos(sin2 = babyax 相交于 B、 D两点 ， 且 BD的中点为)3,1(M。 求 C的离心率 ； 设 C的 右顶 点为 A， 右 焦点 为 F， 17| =BFDF ， 证 明： 过 A、 B、 D三 点的 圆与 x轴 相切 。乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有人：罗荷玉联系电话
27、： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 162631618解： 由已知设 直线 l： dxy+=设 ),(11yxB， ),(22yxD由已知有 dxy+=11 ， dxy+=22将直线 l的 方程代入 双曲线 C的 方程，整理得 0)(2)(2222222 =+ bdadxaxab 22221 abdaxx =+ ， 22 22221 )(abbdax +=其中二次项系数： 2222 0 abab 020)(4)2(0 42222222222222 + bdbbadabdabada BD的中点为 )3,1(M 22212 2222121 =+=+
28、 abdaxxxx dabdadxxdxdxyy 2622632)()(32 222212121 =+=+=+解得 2=d， 223ab= acabac 242222 =+= 2=ace 双曲线 C： 132222 =ayax直线 l： 2+=xy211 +=xy ， 222 +=xy221 =+xx ， 02)34( 221 =+ babyax 的左 、右 焦点 ，过 1F斜率 为 1的直 线 l与 E相交于 A， B两点，且 | 2AF， |AB， | 2BF成等差数列。 求 E的离心率； 设点 )1,0(P满足 | PBPA=，求 E的方程 。乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版
29、权所有人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 162631620解：由已知有 )0,(1cF， )0,(2cF由已知有直线 l： cxy+=设 ),(11yxA， ),(22yxB则有 cxy+=11 ， cxy+=22将直线 l的 方程代入 椭圆 E的 方程，整理得 0)(2)( 2222222 =+ bcacxaxab 22221 abcaxx +=+ ， 2222221 )(abbcax +=其中二次项系数： 022 +ab ，恒成立 00)(4)2(022222222 + bbcabaca ，恒成立 | 2AF， |AB，
30、 | 2BF成等差数列 |2 22BFAFAB+=又根据椭圆的定义有 aBFAFBFAFBFAFAB 4|221122 =+=+|4| 22 ABaBFAF =+ aAB34| =ayyxx 34)()( 2121 =+axx 34)(221 = axxx 344)(22121 =+ aabbcaabca 34)(4)2(2 222222222 =+22ba= bcbbac = 2222 3421 bxx =+ ， 021=x E的离心率 为 222=bbace乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q
31、Q Q Q Q ： 162631621 2222121 )1()(| +=+= yxyxPBPA2222121 )1()1( +=+ cxxcxx 0)(1()( 21221 =+ xxcxx 0)(1(2121 =+ xxcxx 21xx 0121 =+cxx 0134=+cb=b 23=a， 3=c E的方程 为 191822 =+yx5、 理 科 湖 北卷 第 19题已知一条曲线 C在 y轴右边， C上每一点到点 )0,1(F的距离减去它到 y轴距离的差都是 1。 求曲线 C的方程； 是 否 存 在 正 数 m， 对 于 过 点 )0,(mM且 与 曲 线 C有 两 个 交 点 A、 B
32、的 任 一 直 线 ， 都 有0xyxP， 为 曲线 C上的任意一点，则由已知有020 202020 0202004 )1()1( 1)1(1| xy xyx xyxxPF= +=+ +=+= 曲线 C的方程 为 )0(,42 =xy 设这样的 正数 m存在 ，设 ),(11yxA、 ),(22yxB由已知设直线 AB： )(mxky= )(11 mxky = ， )(22 mxky =将直线 AB的 方程代入 曲线 C的 方程，整理得乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 162
33、631620)2(2 22222 =+ mkxmkxk 2221 )(2kmkxx +=+ ， 221 mx=其中二次项系数： 002 kk 0104)2(2022422 + mkmkmk又由已知 0),1(),1(0 2211 m，直线 l： 022=mmyx ， 椭圆 C： 1222 =+ymx ， 1F， 2F分别为椭圆 C的左 、右焦点 。 当直线 l过右焦点2F时，求直线 l的方程； 设直线 l与椭圆 C交于 A、 B两点 ， 21FA， 21FB的重心分别为 G， H。 若原点 O在以线段 GH为直径的圆内，求实数 m的取值范围 。解：由已知有 )0,1(21 mF ， ),01(
34、22 mF 直线 l过右焦点 2F，将 2F的坐标代入 直线 l的方程，得乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 1626316230)2(021 2222 = mmm （舍）或 22=m 直线 l的方程 为 012=yx 设 ),(11yxA、 ),(22yxB 2102 11211 mxmymmyx = 2102 22222 mxmymmyx =将直线 l的 方程代入 椭圆 的 方程，整理得 08)4(2 2222 =+ mymx 2221 mxx=+， 8)4(2221 =m
35、x 200208)4(4)2(0 2222 mmmm 或设 ),(33yxG、 ),(44yxH则由已知有 33 1)1( 12213 xmmxx =+= ， 313yy=33 1)1( 22224 xmmxx =+= ， 324yy=备注：三角形重心的坐标为三角形三个顶点坐标之和的三分之一 。以线段 GH为直径的圆 的圆心为 GH的中点， 设 为 ),(55yxM则有 =+=+=+=+= =+=+= 126)(616 )21()21(62 1262 212121435 221435 mmxxmmxmmxmyyyyy mxxxxx当 原点 O在以线段 GH为直径的圆内 时GHM21m 综上所述
36、， 实数 的取值范围 为 )2,1(7、 理 科 重 庆卷 第 20题已知以原点 O为中心， )0,5(F为右焦点的双曲线 C的离心率 25=e。 求双曲线 C的标准方程及其渐近线方程； 如 图 ， 已 知 过 点 ),(11yxM的 直 线 1l： 4411 =+yx 与 过 点 ),(22yxN（ 其 中 12xx） 的 直线 2l： 4422 =+yx 的交点 E在双曲线 C上，直线 MN与两条渐近线分别交于 G， H两点，求OGH的面积 。解：由已知设 双曲线 C的标准方程 为 )0,0(,12222 = babyax则由已知有 522 =+=bac ， 25=ace解得 2=a， 1
37、=b 双曲线 C的标准方程 为 1422 =yx渐近线方程 为 2xy= 由已知有 442121 =+yx ， 4422 =+yx乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 162631625即 ),(11yxM， ),(22yxN为直线 MN与椭圆 : 1422 =+yx 的两个交点设直线 MN: dkxy+= dkxy+=11 ， dkxy+=22将直线 MN的 方程代入 椭圆 方程 1422 =+yx ，整理得0)1(48)41( 222 =+ dkdxxk 221 418kkd
38、xx +=+ ， 2221 41)1(4kdx+=其中二次项系数： 0412+k，恒成立22222 140)1)(41(16)8(0 dkdkkd +设 ),(33yxE由已知有 443131 =+yx ， 443232 =+yx解得 1221 213 )(4xyxyyyx = ， 1221 123 xyxyxxy = E在双曲线 C上 1422 =yx 1)(4)(4(1421221 1221221 212323 = xyxyxxxyxyyyyx 2122121221 )()()(4 xyxyxxyy =21221212221 )()()()()(4 xdkxxdkxxxdkxdkx +=+
39、 0)(14( 2122 = xxdk21xx 014 22 =dk乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 162631626即 1422 =kd令 G为 直线 MN与渐近线 2xy=的交点，则 H为 直线 MN与渐近线 2xy=的交点设 ),(44yxG， ),(55yxH dkxy+=44 ， 244xy=dkxy+=55 ， 255 xy=解得 =kdy kdx2121244 ， +=+=kdy kdx2121255原点 O到直线 MN的距离为 OGH底边 GH上的高，设为
40、h 21|kdh+= |21GHhSOGH= 2542542 )()(1|21 yyxxkd += 222 )2121()212212(1|21 kdkdkdkdkd +=24)41(2kd=2= OGH的面积 为 2。8、 理 科 山 东卷 第 21题如图，已知椭圆 )0(12222 =+ babyax 的离心率为 22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 1F，2F为顶点的三角形的周长为 )12(4+， 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点 ， 设 P为该双曲线上异于顶 点的任一点，直线 1PF和 2PF与椭圆的交点分别为 A、 B和 C、 D。 求椭圆和双曲线的标准方程； 设直线 1PF、 2
41、PF的斜率分别为 1k、 2k，证明： 121=kk ； 是否存在常数 ， 使得 CDABCDAB =+ 恒成立？若存在 ， 求 的值 ； 若不存在 ， 请说明理由 。乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 162631627解：由已知有 椭圆的离心率 22=ace 椭圆上的点 到 椭圆的左、右焦点 1F， 2F的距离和为 a2， 左、右焦点 1F， 2F之间的距离为 c2 由已知有 )12(422 +=+ca 2=a， 2=c 椭圆的标准方程 为： 14822 =+yx 椭圆的左
42、、右焦点 )0,2(1F， )0,2(F由已知有所求 等轴双曲线 的 标准方程 为： 14422 =yx 由已知 设 )0)(,( 000 yyxP 1442020 =yx设 直线 1PF： )2(1+=xky )2(010 +=xky设 直线 2PF： )2(2=xky )2(020 =xky解得 12120 )(kkkkx += ， 121204kkky= 14)4(4)(2(144 21212212122020 =+= kkkkkkkyx 0)1(2121 =kk 021k，否则， 0412120 =kkky ，与 00y矛盾 121=k乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有
43、人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 162631628 设 常数 存在设 ),(11yxA， ),(22yxB， ),(33yxC， ),(44yxD )2(111 +=xky ， )2(212 +=xky ， )2(323 =xky ， )2(424 =xky将直线1PF的 方程代入 椭圆 方程，整理得 0)1(88)21( 2121221 =+ kxkxk212121 18kkxx +=+ ， 212121 )(8kkx+=其中二次项系数： 02121+k，恒成立 010)1)(21(32)8(021212121 + kk
44、kk ，恒成立将直线 2PF的 方程代入 椭圆 方程，整理得 0)1(88)21(2222 =+ kxkxk 2243 18kkxx +=+ ， 2243 1)1(8kkx+=其中二次项系数： 0212+k，恒成立 010)1)(21(32)8(0 22222 + kkkk ，恒成立21221 )()(| yyxxAB += 4)(1( 212121 xxxk += 21)1(84)218)(1(21212212121 kkkkk +=21211)1(24kk+=同理得 221)1(24| kkCD+=CDABCDAB =+ 222121222121 1)1(241)1(241)1(241)1
45、(24 kkkkkkkk +=+ 乐 贝思 教 育版权所有：乐贝思教育机构 版权所有人：罗荷玉联系电话： 1352417045、 1354130108 Q Q Q Q Q Q Q Q ： 162631629 0224)(324()12(4 221221 =+ kkk又 121=k CDABCDAB =+ 0)2)(324( 221 =+kk当 0324 =，即 823=时恒成立 满足题意的 常数 存在 ， 的值 为 8239、 理 科 陕 西卷 第 20题如 图 ， 椭 圆 C: 12222 =+byax 的 顶 点 为 1A， 2A， 1B， 2B， 焦 点 为 1F， 2F， 7| 11=
46、BA，21221 2 FBFBBABA SS 四边形四边形 = 求椭圆 C的方程； 设 n是过原点的直线， l是与 n垂直相交于 P点、与椭圆相交于 A、 B两 点的直线， 1| =OP， 是否存在上述直线 l使 1=PBA成立？若存在，求出直线 l的方程；若不存在，请说明理由。解：由已知有 )0,(1aA， )0,(2aA， )0,(1bB， )0,(2bB， )0,(1cF， )0,(2cF由已知 77|2211 =+= baBA cabcabSS FBFBBABA 2222221221 =四边形四边形 2=a， 3=b， 1=c 椭圆 C的方程 为 13422 =+yx 设这样的直线 l存在 当 直线 l与 x轴不垂直时， 由已知设 直线 l： dkxy+=则 直线 n： xky1=设 ),(00yxP dkxy+=00 , 001xky=
