1、集集， 不 含由由等 价的 内 点的 闭 包的 正 交 补 空 间子 空 间 的 直 和的 闭 子 集的 含的 子 集趋 于非 负 整 数 集 ， 如是 集素集集集使 得任 意存 在推 出推 出与包 含 在 集和 集和 集中的 并 集的 交 集阶 矩 阵方 阵方 阵将 区 域域的 边 界的 元属 于 指 标 集素 族的 连 续 函数 空 间复 数复 数的 平 方 根实 域复 域整 数 环 ， 如，非 负 （ 非 正 ） 实 数 集包 括 虚 轴 的 右（ 左 ） 半 复 平 面的 实 部的 虚 部的 特 征 值 集的 迹映 射 为 区点的 一 个 元下 面 给 出 本 书 通 用 的 标 准
2、符 号 ， 某 些 非 标 准 符 号 在 书 中 将 加以 定 义 。本 书 若 干 通 用 符 号的阶向 量 或 者 矩 阵欧 氏 范 数的 具连 续 导 数 的 连 续 函数 空 间定 义 在 某 区 域 上 的向 量 、 矩 阵 （ 或 标 量 ）函 数 的 时 间 导 数的 函 数的 导 数次 可 积 的上高 阶 的 无 穷 小 量实 函 数 空 间比或 函 数与 同 阶 的 无 穷 小量 或 函 数由 张 成 的 子 空 间的 像 点 所 组 成 的集 合值 为中 所 有 行 列 式的 正 交 矩 阵 组成 的 集 合中 所 有 行 列 式值 为 的 正 交 矩 阵 组成 的 集
3、合符 号 函 数 ， 即第 一 章 绪 言引 言年 代 以 来 ， 非 线 性 系 统 的 控 制 问 题是 系 统 的 平 衡 点 。 也 就为 常 数 矩 阵 ； 点式 中， 则 对 任 何 ，。 如 果而 当世 纪线 性 系 统 理 论 自 年 代 以 来 不 仅 已 在 理 论 上 逐 步 完世 纪善 ， 也 已 成 功 地 应 用 于 各 种 国 防 和 工 业 控 制 问 题 。 随 着 现 代 工 业 对控 制 系 统 性 能 要 求 的 不 断 提 高 ， 传 统 的 线 性 反 馈 控 制 已 很 难 满 足 各种 实 际 需 要 。 这 是 因 为 大 多 数 实 际 控
4、制 系 统 往 往 是 非 线 性 的 ， 采 用近 似 的 线 性 模 型 虽 然 可 以 使 我 们 更 全 面 和 容 易 地 分 析 系 统 的 各 种特 性 ， 但 是 却 很 难 刻 画 出 系 统 的 非 线 性 本 质 ， 线 性 系 统 的 动 态 特 性已 不 足 以 解 释 许 多 常 见 的 实 际 非 线 性 现 象 。 另 一 方 面 ， 计 算 机 及 传感 器 技 术 的 飞 速 发 展 ， 也 为 我 们 实 现 各 种 复 杂 非 线 性 控 制 算 法 奠 定了 硬 件 基 础 。 因 此 自受 到 了 国 内 外 控 制 界 的 普 遍 重 视 。有 许
5、 多 非 线 性 现 象 是 无 法 用 线 性 系 统 理 论 刻 画 的 ， 例 如 ：多 个 平 衡 点 或 多 个 操 作 点对 于 线 性 系 统 模 型 ：时 的 初 始 状 态 为是 说 ， 如 果 微 分 方 程 （ 在为 一 个 非 奇 异 矩 阵 ， 那 么系 统 的 状 态 仍 为为 奇 异 矩 阵 ， 那 么 系 统 平 衡 点 集 将 是是 线 性系 统 唯 一 的 平 衡 点 。 如 果矩 阵的 系 统 而 言 ， 总 是 只 有 一 个 平 衡 点 ， 因 为 此 时的 零 向 量 空 间 ， 即 有 无 穷 多 个 平 衡 点 。 但 是 对 于 渐 近 稳 定
6、显 然 为 非 奇 异 的 。奇 异 时 ， 若 给 的 元 素 一 个 适 当 的 无 限 小 扰 动 将 几 乎 肯 定） 构 成 的 线 性 系 统 在 很 大 程 度具 有 纯 虚 部 的我 们 来 思 考 一 下 线 性 系 统地 使 它 变 成 非 奇 异 。 因 此 ， 由 方 程上 不 会 出 现 一 个 以 上 的 平 衡 点 。但 是 ， 许 多 实 际 系 统 往 往 存 在 多 个 平 衡 点 。 例 如 二 进 制 逻 辑 电路 中 至 少 有 两 种 稳 定 状 态 ， 化 学 反 应 运 动 学 允 许 有 多 个 平 衡 点 以 及模 拟 输 电 网 中 有 功
7、 功 率 和 无 功 功 率 流 动 的 潮 流 方 程 有 多 个 稳 定 的运 行 点 等 等 。 因 而 采 用 传 统 的 线 性 模 型 是 无 法 描 述 这 种 现 象 的 。 如 果状 态 变 量 或 极 限 环 的 周 期 性 变 化作 为 对 比 ， 我 们 再 来 分 析 线 性 系 统的 元特 征 值 的 话 ， 则 线 性 系 统 将 有 一 个 连 续 的 周 期 解 。 但 若 给素 一 个 小 扰 动 将 会 引 起 特 征 值 的 实 部 不 为 零 而 使 周 期 解 不 复 存 在 。因 此 ， 线 性 系 统 中 参 数 的 微 小 变 化 会 破 坏
8、周 期 解 的 存 在 性 ， 同 时 会使 系 统 产 生 不 稳 定 的 或 稳 定 的 平 衡 点 ， 也 即 有 周 期 解 的 线 性 系 统 对参 数 的 变 化 不 具 有 鲁 棒 性 。） 方 程 描 述 的 系 统 ， 这 些 现 象 是 不 能另 一 方 面 ， 在 多 个 平 衡 点 情 形 ， 也 存 在 多 个 孤 立 周 期 解 的 实 际系 统 ， 如 范 德 普 尔用 线 性 模 型 来 描 述 的 。但 是 ， 有 许 多 具 有 鲁 棒 性 作 周 期 变 化 的 实 际 系 统 ， 例 如 模 拟 心跳 和 神 经 脉 动 的 所 谓 范 德 普 尔 类
9、方 程 ， 这 类 系 统 存 在 稳 定 的 极 限环 。分 叉 及 混 沌许 多 系 统 的 一 些 特 性 ， 如 平 衡 点 的 数 量 、 极 限 环 的 数 量 以 及 这些 特 性 的 稳 定 性 ， 会 随 着 模 型 参 数 的 变 化 而 改 变 ， 而 这 些 变 化 都 不能 用 一 个 参 数 化 的 线 性 模 型 来 刻 画 。 例 如 当 加 于 端 口 的 电 压 升 高 或降 低 时 ， 一 端 口 电 阻 器 ， 如 隧 道 二 极 管 的 电 流 值 会 发 生 急 剧 的 变 化 。当 喷 气 式 飞 机 的 发 动 机 的 冲 击 角 度 发 生 变
10、 化 时 ， 一 个 恒 定 的 飞 行 线路 的 角 度 轨 迹 就 会 变 成 不 稳 定 ， 并 代 之 以 有 恒 定 滚 动 率 的 周 期 模式 。复 杂 的 动 态 现 象的 动 态 特 性 ； 若虚 轴 上 ， 其 响 应 就 是 指 数 函 数 之 和 。 当 由 矩 阵的 特 征 值 不 在的 特 征 值 决 定 的非 线 性 系 统 分 析 的 复 杂 性和趋 于 无 穷 大 时 系 统 的 响 应指 数 函 数 给 定 后 ， 对 于 任 何 初 始 条 件 ，要 么 衰 减 为 零 要 么 急 剧 增 加 。 若 有 特 征 值 位 于 虚 轴 上 ， 系 统的 解
11、既 不 衰 减 也 不 急 剧 增 加 。 正 如 上 面 所 指 出 的 ， 微 小 的 参 数 扰 动将 使 特 征 值 偏 移 虚 轴 ， 这 种 模 型 是 非 鲁 棒 的 。相 比 之 下 ， 许 多 物 理 系 统 的 动 态 特 性 是 一 个 复 杂 和 对 初 始 条 件敏 感 的 函 数 ， 例 如 ， 人 口 模 型 的 动 态 系 统 、 气 候 模 型 和 汹 涌 的 流 体流 动 模 型 。 这 些 系 统 大 都 以 分 叉 或 收 敛 的 指 数 函 数 的 形 式 出 现 。 初始 条 件 很 小 的 变 化 可 以 使 曲 线 轨 迹 发 生 很 大 的 变
12、 化 。 这 些 都 被 称 为浑 沌 或 复 杂 的 动 态 系 统 ， 是 不 能 用 线 性 模 型 来 产 生 的 。与 线 性 系 统 相 比 ， 非 线 性 系 统 的 分 析 要 困 难 和 复 杂 得 多 ， 主 要表 现 在 ：线 性 系 统 和 非 线 性 系 统 解 的 形 式 不 同对 线 性 系 统 而 言 ， 根 据 其 对 应 矩 阵 的 特 征 值 可 容 易 地 得 到 解 析解 ， 然 后 根 据 其 解 的 表 达 式 可 以 得 到 一 系 列 定 量 和 定 性 结 果 。 但 对于 非 线 性 系 统 而 言 ， 却 很 少 有 这 种 情 况 ，
13、一 般 无 法 给 出 解 的 具 体 形式 。 因 此 ， 有 必 要 对 非 线 性 系 统 进 行 深 入 的 定 性 分 析 ， 在 定 量 上 进行 反 复 的 模 拟 证 明 。非 线 性 系 统 分 析 必 须 涉 及 一 些 比 较 抽 象 和 繁 琐 的 现 代 数 学工 具例 如 ， 考 虑 由 下 列 微 分 方 程 描 述 的 非 线 性 系 统为其 中 为 状 态 变 量 ；关 于向 量 。 如 果 对 任 意 ， 系 统我 们 可 找 到 相 应 的 控 制 ， 使 得 ：） 系 统 至 少 有 一 个 解 属 于 一 些 合 理 的 函 数 族 （ 解 的 存 在
14、为 控 制时 的 初 始 状 态 ；是 仿 射 或 线 性 的 ， 显 然性 ） ；， 则 称有 为 系 统不 明 显 依 赖 于 时 间 为 自 治， 则 称 系 统时在时 刻 的 平 衡 点 ， 则 当是 在， 它 在 区 间义 的 ， 也 即 解 不 可 以 连 续 地 延 拓 到 之 外 是 无 定的 时 间 范 围 。因 此 ， 对 于 非 线 性 系 统 而 言 ， 其 解 可 能 会 出 现 各 种 线 性 系 统 所不 具 有 的 特 征 。 下 面 考 虑 非 线 性 系 统如 果 其 中 的 函 数的 。 若 对 任 意刻 的 平 衡 点 。存 在 唯 一 解 且显 然 ，
15、 如 果系 统 初 值 问 题 的 解 是 不 唯 一 的 。解 不 可 延 拓 的 例 子显 然 ， 函 数考 虑 如 下 系 统该 系 统 初 值 问 题 的 解 为在 上 述 函 数 族 中 刚 好 有 一 个 解 （ 解 的 唯 一 性 ） ；确 有 一 个 解 对 所 有 的） 系 统） 系 统 有 定 义 （ 解 的 可 延 拓 性 ） 。但 对 于 非 线 性 系 统 而 言 ， 就 会 出 现 各 种 比 较 复 杂 的 现 象 ， 其 解可 能 不 存 在 、 不 唯 一 或 不 能 延 拓 到 适 当 大 的 时 间 范 围 。 举 例 如 下 。解 不 存 在 的 例 子
16、考 虑 下 列 系 统为 符 号 函 数 ， 即 当 时 ， 取 值 为 ， 而 当取 值 为式 中时 ， 。 因 此 ， 不 可 能 存 在 满 足 式 的 连 续 可 微又 是 开 关 或 继 电 控 制 系 统 中 常 见 的 模 型 。函 数 。 但 是 ， 式） 解 不 唯 一 的 例 子考 虑 下 列 系 统及 也 即 此均 为 满 足 初 始 条 件 的 解 ， 若 矩 阵对 线 性 系 统 ， 即 是 非 奇 异 的 ， 则 显 然 方 程） ，若 系 统 是 自 治 的 ， 则 寻 求 系 统 的 平 衡 点 就 相 当 于 求 解 下 面的 非 线 性 代 数 方 程它 要
17、 么 有 一 个 连 续 解 集 ， 要 么 有 几 个 孤 立 解 ， 要 么 无 解 。 特 别 地 ，为 自 治 系 统 的 孤 立 平点 作 泰 勒 级 数 展 开 ， 得 ：其 中显 然有 唯 一 解 ； 若 矩 阵的 一 个 充 分 小 的 邻 域 ， 使 得 在 此即 为是 奇 异 的 ， 则 此 时 有 一 个 连 续 解 集 ，的 零 向 量 空 间 。 如 果 存 在外 没 有 其 它 的 平 衡 点 ， 则 称邻 域 内 除 了衡 点 。是假 设 类 函 数 （ 即 连 续 可 微 函 数 ） ， 对 任 何 时 刻 ，在式 的 一 个 平 衡 点 。 将为 非 奇 异
18、的 ， 则 此 时为 奇 异 的 情 形 ， 其 平 衡 点 可 能为 该 系 统 的 近 似 线 性 化 部 分 。 若是 系 统 的 一 个 孤 立 平 衡 点 。 对 于会 出 现 各 种 情 况 。 例 如 系 统是该 系 统 是 自 治 的 ， 而 且 存 在 多 个 平 衡 点的 单 摆 系 统的 平 衡 点 。 例 如 对 无 外 力 作 用为 系 统， 则 简 称有。 若 对 所 有 的有时 ， 对 所 有为 哥 氏 力 及 离 心 力 项 ；其 中阵 ；为 控 制 力 矩 向 量 ； 各 项 具 体 形 式 为若 干 非 线 性 系 统 的 实 例， 相 应 的 线 性 化
19、矩 阵 的 第 二 列 为的 平 衡 点 是 一 连 续 集， 它 仍 然 是 孤 立 的 。 而 下 列 非 线的 线 性 化 部 分 为在 平 衡 点性 系 统下 面 我 们 给 出 一 些 非 线 性 系 统 的 实 例 ， 从 中 可 以 看 出 它 们 的 复杂 性 和 非 线 性 特 征 。例 两 连 杆 机 器 人 。考 虑 如 图 所 示 的 两 连 杆 机 器 人 。 根 据 分 析 力 学 中 的 哈 密 顿原 理 ， 我 们 可 得 其 动 力 学 方 程 为为 惯 量 矩为 机 器 人 的 广 义 位 移 坐 标 向 量 ；） 为 重 力 项 或 未 知 扰 动 ；（绕
20、 点 的 转 动 惯 量 ；图 双 臂 机 器 人 示 意 图显 然 ， 该 系 统 具 有 明 显 的 非 线 性 特 征 。 当 机 器 人 处 于 高 速 运 行状 态 时 ， 有 关 非 线 性 项 的 忽 略 会 影 响 机 器 人 的 动 态 性 能 。 对 于 多 连杆 机 器 人 ， 各 连 杆 间 的 非 线 性 耦 合 影 响 更 为 突 出 。例 移 动 机 器 人 。考 虑 如 图 所 示 的 典 型 三 轮 移 动 机 器 人 ， 它 由 具 有 两 个 同 轴的 驱 动 轮 和 一 个 辅 助 前 轮 的 小 车 组 成 ， 后 轮 两 个 独 立 的 电 机 用
21、于 驱为动 其 移 动 。 其 中 （ 为 惯 性 坐 标 系 ； ） 为 小 车 坐 标 系 ；小 车 的 几 何 中 心 ， 即 小 车 轮 轴 的 中 点 ， 其 惯 性 坐 标 为 （点 之 间为 小 车 重 心 坐 标 ， 其 惯 性 坐 标 为 为 驱 动 轮 与为 驱 动 轮 半 径 ； 为 小 车 及 负 载 重 量 ；的 距 离 ；之 间 的 距 离 ；为 小 车 在 轴 上） 为 小 车 轮与 点为 点 和 惯 性坐 标 系 之 间 的 夹 角 。知 （在 惯 性 坐 标 系 中 的 位 置 ；轴 中 心 点 为 坐 标 系由 图 ， 为 使 小 车 在 运动 时 不 存
22、在 打 滑 现 象 ， 即 小 车 只 能 在 与 驱 动 轮 轴 垂 直 的 方 向 上 运动 ， 必 须 满 足 以 下 的 纯 滚 动 和 无 打 滑 条 件 ：为 控 制 变 量 ， 则 上 述 移 动 机 器 人 的 运 动 学 模 型选 取 ，可 写 为 下 列 形 式 ：为 线 性 ；注 意 此 系 统 的 近 似 线 性 化 模 型 中 右 端 为 零 ， 明 显 是 不 能 控 的 。 但 是该 非 线 性 系 统 确 实 可 以 用 时 变 反 馈 实 现 系 统 的 渐 近 稳 定 性 ， 我 们 将在 后 面 有 关 章 节 对 其 进 行 进 一 步 的 讨 论 。范
23、 德 普 尔 振 荡 电 路 。所 示 的 范 德 普 尔 振 荡 电 路 ， 其 中为。 设 电 感 电 流 和 电 容 电 压例考 虑 如 图为 非 线 性 ；状 态 变 量 ， 则 可 得 该 电 路 的 方 程 为图 范 德 普 尔 振 荡 电 路图 移 动 机 器 人 示 意 图为 范 德 普 尔 振 荡 电 路 相 轨 迹 图 ， 由 图 可 以 看 出 ， 在 初图始 点 处 的 平 衡 点 是 不 稳 定 的 ， 并 被 一 个 极 限 环 （ 即 孤 立 的 周 期 解 ）所 包 围 ， 从 所 有 初 始 点 出 发 的 解 似 乎 都 收 敛 于 这 个 极 限 环 。
24、当和是 “ 被和成 了 如 图逐 渐 减 小 时 ， 相 轨 迹 是 如 何 变 化 的 呢 ？ 对 于 非 常 小 的 电 容 值 ， 形的 振 荡 形 式 ， 它 由 两 个 快 变 和 两 个 慢 变 的 部 分 组 成 。和这 就 是 所 谓 的 不 稳 定 的 多 谐 振 荡 电 路 的 原 型 ， 它 带 有 两 个 轨 迹 快变 部 分 ， 表 征 着 在 两 个 逻 辑 状 态 之 间 的 过 渡 。 该 电 路 由 电 子 工 程师 范 德 普 尔 首 先 研 究 发 现 ， 范 德 普 尔 认 为 电 路 之 所 以 能 够 振 荡 ，是 因 为 非 线 性 电 阻 对 于
25、 小 的 是 “ 主 动 ” 的 （ 也 即 若 的 方是 非 正 的 ） ； 而 对 于 大 的是 非 负 的 ） 。动 ” 的向 都 指 向 电 阻 ， 那 么 乘 积如 说 ，我 们 令 ， 则 此 时 系 统 变 为 一 个 微 分 代 数 系 统。为 理 解 范 德 普 尔 振 荡 器 极 限 环 对 于 小 的 电 容 值 存 在 快 变 部 分 ，图 减 小 时 的 范 德 普 尔 振 荡 电 路 相 轨 迹 图图 范 德 普 尔 振 荡 电 路 相 轨 迹 图） 的 一 个 节 点 跳 到 另 一 节 点除 非 系 统 从 特 征 曲 线因的 长 度 为此 时 ， 系 统 连
26、续 的 解 。（ 例 如 ， 有 一 个 瞬 时 过 渡 ） ， 系 统 大 部 分 时 间 是 在 该 特 征 曲 线 上 变 化 。不 存 在 关 于 时 间例 牛 顿 摆 。考 虑 如 图， 质 量所 示 的 在 重 力 作 用 下 摆 动 的 所 谓 牛 顿 摆 。 假 设 摆集 中 在 摆 的 末 端 ， 摩 擦 阻 尼 具 有 粘 性 ， 摩 擦 因数 为 ， 其 运 动 方 程 为图 无 阻 尼 时 的 牛 顿 摆 相 轨 迹 图图 牛 顿 摆 示 意 图有 关 这 个 动 态 系 统 的 轨 迹 ， 当 阻 尼 系 数 为 零 时 的 相 平 面 图 如 图所 示 。系 统 （
27、 ） 存 在 无 限 个 孤 立 的 平 衡 点 （ （， 此 外 ， 该 系 统 另 一 个 显 著 的 特 征 是 ， 相 轨 迹 在上 是 作 周 期 性 变 化 ， 其 周 期 为为 变 量 的端 函 数 是 以世 纪总 之 ， 非 线 性 系 统 广 泛 存 在 于 各 种 实 际 问 题 中 ， 它 具 有 许 多 与线 性 系 统 完 全 不 同 的 特 点 。 自 年 代 以 来 ， 非 线 性 控 制 系统 理 论 与 应 用 研 究 取 得 了 突 破 性 的 进 展 ， 其 中 起 关 键 作 用 的 是 现 代微 分 几 何 代 数 理 论 等 现 代 数 学 工 具
28、在 这 一 领 域 的 成 功 应 用 。 通 过 利用 李 括 号 及 微 分 同 胚 等 基 本 工 具 研 究 非 线 性 系 统 状 态 、 输 入 及 输 出变 量 间 的 依 赖 关 系 ， 系 统 地 建 立 了 非 线 性 控 制 系 统 能 控 、 能 观 及 能检 测 的 充 分 或 必 要 条 件 ， 特 别 是 全 局 状 态 精 确 线 性 化 及 输 入 输 出精 确 线 性 化 方 法 的 发 展 ， 不 仅 推 广 了 线 性 控 制 系 统 理 论 ， 而 且 也 极大 地 推 动 了 非 线 性 控 制 系 统 理 论 在 各 种 复 杂 非 线 性 控 制
29、 对 象 中 的应 用 与 开 发 研 究 。应 该 看 到 ， 非 线 性 控 制 系 统 的 分 析 与 综 合 问 题 要 比 线 性 系 统 困难 和 复 杂 得 多 。 精 确 线 性 化 方 法 只 能 适 用 于 极 少 数 实 际 控 制 对 象 ，对 于 绝 大 多 数 实 际 控 制 系 统 而 言 ， 各 种 近 似 化 方 法 如 伪 线 性 化 方法 、 描 述 函 数 法 、 近 似 输 入 输 出 线 性 化 等 依 然 在 非 线 性 系 统 分 析与 综 合 中 起 着 重 要 的 作 用 。 因 此 ， 本 书 将 用 一 定 篇 幅 介 绍 近 年 来 比
30、较 热 门 的 有 关 近 似 化 方 法 。， 方 向， 这 是 因 为 该 系 统 的 状 态 方 程 右周 期 函 数 。，第 二 章 数 学 预 备 知 识群 和 域” ：成 立， 使 得 ；本 章 我 们 将 简 要 介 绍 一 些 在 非 线 性 控 制 系 统 分 析 和 综 合 中 需 要用 到 的 数 学 基 础 知 识 ， 特 别 是 微 分 几 何 的 一 些 基 本 概 念 。 对 于 从 事应 用 研 究 的 读 者 来 说 ， 只 须 理 解 其 中 的 关 键 部 分 如 李 导 数 、 李括 号 、 向 量 场 集 合 的 对 合 性 以 及 微 分 方 程 解
31、 的 一 些 基 本 理 论 等 。 对于 熟 悉 微 分 方 程 、 抽 象 代 数 和 微 分 几 何 理 论 的 读 者 ， 可 跳 过 这 一 章 。本 章 的 内 容 在 各 种 微 分 几 何 及 非 线 性 控 制 系 统 的 教 材 或 专 著 中 都 有介 绍 ， 读 者 可 参 考 其 它 有 关 文 献本 节 将 简 要 介 绍 一 下 有 关 群 和 域 的 基 本 概 念 。 尽 管 我 们 在 高 等数 学 和 其 它 场 合 都 接 触 过 或 应 用 过 这 些 概 念 ， 但 对 于 工 科 专 业 的 读者 来 说 ， 有 必 要 在 此 熟 悉 一 下 。
32、给 定 一 个 二 元 运 算 “定 义 设 不 是 空 集 ， 对， 满 足 下 列 性 质 ：， 使 得对 任 意 的 ， 存 在 唯 一 的结 合 律 ： 对 任 意 的 ；， 使 得 对 所 有， 有存 在 单 位 元， 存 在 逆 元则 称对 所 有 的为 一 个 群 。若则同 构 ， 则也 同 构 。域下 列 性 质 的 集 合 ：在 加 法 运 算 （特 别 地 ， 若 对 任 意 有和群定 义群） 群 。定 义 在 映 射果 它 保 持 如 下 群 运 算 性 质 ：和 在 映 射如 果 它 是 同 态 和 双 射 的 ， 也 即 式的 。和和显 然 ， 同 构 本 质 上 是
33、 一 个 等 价 关 系 ， 即也 同 构 ； 若赋 范 线 性 空 间称 作 是 赋 范 线 性 空 间 ，；在 乘 法 运 算群 ；。） 分 配 律 ：域 的 概 念 对 于 我 们 并 不 陌 生 ， 实 数 域 和 复 数 域 （ 在 通 常 加 法 和乘 法 意 义 下 ） 是 我 们 常 见 的 例 子 。一 个 实 数 域 上 的 向 量 空 间定 义满 足 下 列 条 件 ：如 果 它 具 有 某 种 范 数对 任 意 且有） 对 任 意有及和和定 义下 是 一 个 含 有 单 位 元 “下 是 一 个 含 有 单 位 元 “同 构 ，和 它 本 身 是 同 构 的 ；同 构
34、，和二 元 运 算 且 满 足” 的 阿 贝 尔 群 ；范 数 本 质 上 是 通 常 意 义 下 的 距 离 概 念 在 一 般 线 性 空 间 上 的 推）” 的 阿 贝 尔是 一 个 具 有 乘 法 和 加 法 （中 的 对 应 关 系 是 一 对 一下 称 之 为 是 同 构 的 ，下 称 之 为 是 同 态 的 ， 如为 阿 贝 尔， 则 称 群定 义则 称定 义零 的 标 量） 对 所 有） 对 所 有） 对 所 有对 所 有一 个 实 向 量 空 间具 有 以 下 性 质 ：时 有使 得 当必 存 在有使 得 对 所 有可 找 到数即 对 任 给 正） 序 列中 的 柯 西所 谓
35、 空 间 完 备 的 意 义 ， 即 对 任 意。成 立；及 成 立， 成 立；成 立称 为 是 内 积 空 间 ， 如 果 存 在 函 数是 线 性 相 关 的 ， 否 则 称 之 为 是 线 性 无 关 或 独 立 的 。满 足上 存 在 一 组 不 全 为， 若 在 关 联 域设们 可 定 义 以 下 范 数 ：， 我到 的 连 续 函 数 组 成 的 空 间相 应 地 ， 对 于， 我 们 可 以 定 义 如 下 类 型 的 范 数 ：维 向 量 空 间。 对 于空 间广 ， 完 备 的 赋 范 线 性 空 间 通 常 称 为 巴 拿 赫的 内 积 为注 意 到 最 后 一 个 性 质
36、 表 明 每 个 内 积 空 间 都 可 诱 导 出 该 向 量 空间 上 的 一 个 范 数 。 如 果 该 内 积 空 间 是 完 备 的 ， 则 称 之 为 希 尔 伯 特） 空 间 。上 我 们 定 义 两 个 向 量在在。表 所 列 。和 上 的 范 数 ， 我 们 可 相 应 地 诱 导 出 上 的 矩 阵 范 数 如 下显 然 ， 到矩 阵 为 的 线 性 算 子 表 达 形 式 ， 因 此 根 据及空 间 ， 根 据 的 范 数 诱 导 出 的 范 数 形 式 为和如 果定 义 和分 别 是 具 范 数 的 实 赋 范 线 性数 ， 记 该 线 性 映 射 空 间 为到两 个
37、范 数 诱 导 出 一 个 从 的 线 性 映 射 组 成 的 向 量 空 间 上 的 范和 和如 果 分 别 是 具 范 数 的 实 赋 范 线 性 空 间 ， 则 这间 即 平 方 可 积 函 数 组 成 的 空 间 才 是 希 尔 伯 特 空 间 。特 空 间 （ 因 为 可 微 函 数 序 列 的 极 限 可 能 不 是 可 微 函 数 ） ， 它 的 完 备 空， 它 表 明的 定 义 同 式 （其 中 不 是 一 个 希 尔 伯上 定 义 两 个 元 素 （ 函 数 ） 的 内 积 为压 缩 映 射 原 理 与 微 分 方 程 解 的 存 在 唯 一 性这 些 范 数 都 是 我
38、们 在 线 性 系 统 和 最 优 控 制 理 论 中 经 常 用 到 的 。设，则 必 存 在 唯 一 的 存 在 唯 一 的事 实 上 ， 任 取是 向 量 空 间 使 得， 则 称 映 射 。 研 究 映 射 不 动 点 的 存 在 性 条到 它 本 身 的 映 射 ， 如 果 存 在有 不 动 点件 已 成 为 现 代 分 析 中 的 一 个 重 要 分 支 。 通 过 构 造 适 当 的 映 射 和 空间 ， 许 多 问 题 解 的 存 在 性 都 可 用 它 来 解 决 。 其 中 比 较 简 单 又 实 用 的不 动 点 定 理 如 下 所 述 。） 为 一 个 巴 拿 赫 空
39、间 ， 使 得全 局 压 缩 映 射 原 理 令 （是 一 个 映 射 。 若 存 在 正 数， 使 得 ， 也 即 映 射不 动 点 。， 定 义 序 列 反，的 不 动 点 。是也 即必 有 极 限 点 存 在 ） 。 令 ， 由 该 序 列 的 定 义 可 知（ 因 是 一 个 巴 拿 赫 空 间 ， 故 该 柯 西 数 列 在中 一 点敛 于 中因 ， 由 上 式 易 知 是 柯 西 数 列 ， 故 该 数 列 收更 进 一 步 地 ， 令 ， 并 使 用 范 数 的 三 角 不 等 式 ， 可 得， 可 得复 使 用 不 等 式， 式 成 立 。 如 果 该 映 射 存， 故 对 所
40、 有 的， 再 由 范 数 定 义 中 的 性 质知 必 有 。 因 此 压 缩 映 射 原 理 的 结 论 成 立 。） ，事 实 上 ， 考 虑 的 映 射 或 函 数到其 导 数 为在 有 限 的 不 动 点 ， 则 有必 须 为 无 穷 大 ， 这 是 矛 盾 的 。因上 确 存 在 唯 一 的 不 动 点 。其 次 ， 该 不 动 点 是 唯 一 的 ， 否 则 假 设 是 另 一 个 不 动 点 ，） 有） ）， 故 有注 意 压 缩 映 射 原 理 中 的 上 界 常 数 不 能 取 为 ， 也 即 不 能 把 条件那 么 由 式既 然） 改 为上 述 压 缩 映 射 原 理 关
41、 于 的 假 设 是 一 个 全 局 压 缩 条 件 。 在 适 当的 条 件 下 ， 该 条 件 可 以 被 简 化 为 局 部 形 式 。是 巴 拿 赫 空 间 （局 部 收 缩 映 射 原 理 设及为 一 个 映 射 ， 如 存 在） 的 一 个 子 集 ， 使 得在 子 集则事 实 上 ， 假 设 是 前 面 定 义 的 数 列 ） 的 起 始 点 ， 则有又因 此 该 序 列 被 限 定 在 集 合 内 ， 既 然 该 序 列 是 柯 西 序 列 ， 集 合也 在是 闭 合 的 ， 故 其 极 限） 两 边 积 分 ， 并 注 意 初 始 条 件 ， 即 得中 。中 ， 进 而 也
42、在下 面 的 引 理 在 估 计 由 微 分 方 程 描 述 的 动 态 系 统 状 态 的 界 限 时是 非 常 有 用 的 。珈 略 华 （ ） 引 理 设 ） 为） 上 的 纯 量 正 值 函 数 ，贝 尔 曼定 义 在 ， 若 对 所 有 成 立有 下 列 不 等 式 成 立则 对 所 有） 是 单 调 递 增 函 数 ， 则 有 下 列 不 等 式 成 立特 别 地 ， 若则 根 据 式 有，事 实 上 ， 令从 而 得从 对 式到于 是 有由 式 （特 别 地 ， 若， 因 此 由 式成 立 。及 上 式 即 知 式是 单 调 递 增 函 数 ， 则 对 任 意可 得成 立球 ，
43、则 存 在 充 分 小 的：使 得 对 所 有局 部 存 在 和 唯 一 性 定 理 设及，） ，）使 得 初 值 问 题的 连 续 可 微 解 。下 面 给 出 该 定 理 的 证 明 思 路 。 用的 球 ， 即，的）， 半 径 为上 有 唯 一 满 足 式是使 得的 一 个 不 动 点 。 为 此 ， 我 们 只 需 证 明 能 选 择 足 够 小 的是 式注 意 到 如 果 意 义 下 方 程 的 解 ， 则 它 是 映 射 如 下定 义 映 射）为， 半 径表 示 一 个 与 圆 心 在在且 是 一 个 圆 心 在且 存 在 都 有和是 关 于 的 连 续 函 数 ，可 化 为 下
44、列 积 分 方 程 形 式问 题显 然 ， 初 值为 该 初 值 问 题 的 解 。） 的 连 续 可 微 函 数称 满 足 式的 初 值 问 题中 常 微 分 方 程 （虑 如 下下 面 利 用 压 缩 映 射 原 理 来 研 究 常 微 分 方 程 解 的 存 在 唯 一 性 。 考） 成 立 。也 即 式 （， 且 使 它 满 足） 的 任 一 个 解 都 必 定 位 于） 即 得内 ，内 的 唯 一 不 动 点 实 际 上 也 是 方 程 在）， 则 方 程那 么 如 果 我 们 选 择 足 够 小 的和在因 此 映 射 （ 也 是 上 的 ） 上 的 唯 一 解 。上 述 定 理 中
45、 给 出 的 结 论 只 能 断 言 初 值 问 题 在 充 分 小 的 时 间 范围 内 存 在 唯 一 解 ， 这 对 于 实 际 应 用 来 说 远 远 是 不 够 的 。 利 用 类 似 的方 法 可 以 证 明 下 面 解 的 整 体 存 在 唯 一 性 定 理 。， 令 ， 则 有充 分 小 ， 使 得， 利 用 条 件 式 得上 的 压 缩 映 射 。 令故 有取， 对利 用 假 设 式身 ， 因 此 若 选 择从 而 有 不 动 点 存 在 ， 即 式其 次 ， 要 证 该 解 在的 解 ， 则 有， 映 射是将， 则在 上 至 少 存 在 一 个 解 。上 是 唯 一 的 。
46、 如 果珈 略 华 引 理 （ 引 理 中 令利 用 贝 尔 曼） 是 方 程上 的 压 缩 映 射 ，映 射 到 它 本微 分 拓 扑 基 础则 初 值 问 题光 滑 流 形 和 光 滑 映 射为 开 集 ， 的 映 射 称 为 是 光 滑 的 ，设 和 到） 对 所 有 上 都 存 在 唯 一 解 。， 在值 得 注 意 的 是 ， 如 果为 不 连 续 函 数 时 （ 例 如 变 结 构 系 统 或 继 电 系连 续 或 可 微 ， 则 初 值 问 题 的 解 对于 初 值 、 初 始 时 刻 及 参 数 （ 如 果 方 程 中 含 有 参 数 的 话 ） 亦 具 有 连 续 性或 可
47、微 性 。 当统 ） ， 初 值 问 题 解 的 存 在 性 就 比 较 复 杂 ， 此 处 不 再 讨 论 。在如 前 所 述 ， 非 线 性 系 统 一 般 不 能 得 到 解 析 形 式 的 解 。 从 直 观上 看 ， 系 统 的 解 在 状 态 空 间 构 成 一 子 空 间 或 曲 面 ， 因 此 从 它 的 几何 或 代 数 特 征 入 手 来 研 究 其 动 态 变 化 规 律 是 非 常 自 然 的 。 我 们 在微 积 分 学 中 知 道 ， 一 个 单 变 量 函 数 平 面 内 对 应 一条 曲 线 ， 其 一 阶 导 数 刻 画 曲 线 的 上 升 或 下 降 ， 即
48、 弯 曲 程 度 ； 而 二阶 导 数 则 刻 画 其 凸 凹 变 化 情 况 。 因 此 采 用 微 分 工 具 研 究 曲 线 的 几何 特 征 ， 其 实 我 们 并 不 陌 生 ， 只 是 我 们 这 里 需 要 考 虑 的 对 象 是 多变 量 函 数 描 述 的 曲 面 而 已 。 本 节 将 简 要 介 绍 有 关 微 分 拓 扑 的 基 本概 念 。如 果 它 的 所 有 偏 导 数 存 在 且 连 续 。 更 一 般 地 ， 如 果，和的 映 射是 欧 氏的 开 集） 空 间 的 任 意 子 集 （ 不 必 是 开 的 ） ，称 为 是 光 滑 的 ， 如 果 存 在 一 个
49、 包 含， ，相 同 。和 一 个 光 滑 映 射 与上， 使 得 在到； ）有使 得 对 所 有都 存 在 有 限 常 数对 每 个的 分 段 连 续 函 数 ， 且是 关 于性 定 理 设整 体 存 在 唯都 是 光 滑 的 ， 则 复 合 映 射 ：和 也称 为 是 微 分 同 胚 ， 如 果 它 是 一 个的 映 射均 是 光 滑 的 。是 微 分 同 胚 的 。为 定 义 在 上均 为 中 的 子 集 ，矩 阵连 续 可 微 且 其 雅 可 比可 逆 ， 则 由 反 函 数 定 理 可 知 就 是 一 个 的 微 分 同到可中 的 微 分 同 胚 映 射从 到如 果是 光 滑 的 。到微 分 同 胚和 其 逆 映 射同 胚 映 射 （ 即 它 是 一 个 一 一 对 应 的 连 续 映 射 ， 同 时 其 逆 映 射 也 是 连续 的 ） ， 且之 间 存 在 （ 任 意 ） 一 个 微 分 同 胚 映 射 ， 那 么 我和和如 果 在 集 合们 称 集 合及的 函 数 。 如 果特 别 地 ， 若而 取 值 于胚 映 射 或 函 数 。微 分 同 胚 概 念 在 非 线 性 系 统 分 析 中 起 着 重 要 的 作 用 ， 它 本 质 上是 线 性 代 数 或 线 性 系 统 理 论 中 线 性 变 换 概 念
