1、2.2.1 椭圆及其标准方程,2019/4/6,制作:吉林市吉化一中 韦宇哲,2,在我们实际生活中，同学们见过椭圆吗？能举出一些实例吗？,想一想,2003年10月15日是全中国人感到骄傲和自豪的日子：这一天在中国发生了什么震惊世人的事件？中国人终于实现了什么梦想?,生活中的椭圆,生活中的椭圆,如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？,圆是点的轨迹.,是平面内到定点距离等于定长的动点的轨迹.,椭圆是满足什么几何条件的点的轨迹呢？,数 学 实 验,1取一条细绳，无弹性。 2把它的两端固定在板上的两点F1、F2 3用粉笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形,F1,F2,
2、M,请同学们观察，并思考下面两个问题： (1)动点（移动的粉笔尖）运动出的轨迹是什么？ (2)动点满足怎样的几何条件？,反 思,（1）在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端 的位置是固定的还是运动的？（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？（3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？,结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该 如何定义椭圆？它应该包含几个要素？,（1）在平面内,（2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a,（3）定长2a |F1F2|,问：能否由此得到：到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？,说明：在平面上到两个定点F1， F2的
3、距 离之和等于定值2a的点的轨迹为： 当2aF1F2=2c ，轨迹为：椭圆 当2a F1F2=2c，轨迹为：线段 当2a F1F2=2c，轨迹为：不存在,平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做焦距,1.椭圆的定义,O,X,Y,F1,F2,M,2.椭圆方程的建立,步骤一：建立直角坐标系, 设动点坐标,步骤二：找关系式,步骤三：列方程,步骤四：化简方程,步骤五：验证,求曲线方程的步骤:,3.方程的推导,以两定点F1、F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图)。,设|F1F2|=
4、2c(c0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-c，0)，F2(c，0)，且M到F1，F2的距离和为2a.,由椭圆的定义, 可知：|MF1|+|MF2|=2a,由两点间的距离公式，可知：,即：,两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因2a2c，即ac，故a2-c20， 令a2-c2=b2，其中b0，代入上式 , 可得：,两边同时除以a2(a2-c 2) 得：,这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)这里c2=a2-b2,4椭圆标准方程分析
5、,我们把方程 叫做椭圆的标准方程，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、 F2(c，0)这里c2=a2b2,如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(o,-c)、F2(0,c).这里c2=a2-b2方程是怎样呢？,由两点间的距离公式，可知：,设|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)，,又由椭圆 的定义可得：|MF1|+ |MF2|=2a,只须将(1)方程的x、y互换即可得到,这个也是椭圆的标准方程,x,Y,椭圆的标准方程的再认识：,（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1,（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c
6、满足a2=b2+c2。,（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。,（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。,例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 .求它的标准方程.,解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知,待定系数法,又因为 ,所以,因此, 所求椭圆的标准方程为,所以,能用其他方法求它的方程吗？,另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:,联立,因此, 所求椭圆的标准方程为:,又焦点的坐标为,【变式练习】,已知椭圆经过两点 和 ，求椭圆的 标准方程.,解：设椭圆的标准方程为,则
7、有,解得,所以，所求椭圆的标准方程为 .,注意这种设法适用的情况,x,y,O,D,M,P,例2 如图，在圆 上任取一点P，过点P 作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动 时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？,解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0）,则,因为点P（x0,y0）在圆,相关点法,把点0=x，y0=2y代入方程，得,即,所以点M的轨迹是一个椭圆.,从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗？,【变式练习】,已知圆 ，从这个圆上任意一点P向x轴作 垂线段 ，点M在 上,并且 ，则点M的 轨迹方程为 .,例3 如图，设点A，B的坐标分别是(-5，0)和(5，0), 直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ,求 点M的轨迹方程.,y,A,x,M,B,O,解：设点M的坐标（x,y）,因为点A的坐标是（-5,0）,所以,直线AM的斜率为,同理，直线BM的斜率,由已知有,化简，得点M的轨迹方程为,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,MF1 + MF2 =2a (2a2c0),定 义,注:,共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.,不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大.焦点在y轴的椭圆 项分母较大.,课堂小结,
