1、第二讲 等差数列及其前n项和,【高考帮理科数学】第六章 数列,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 等差数列 考点2 等差数列的前n项和 考点3 等差数列的性质,考法1 等差数列的判定与证明 考法2 等差数列的基本运算 考法3 等差数列的性质的应用 考法4 等差数列的前n项和及其最值,B考法帮题型全突破,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,命题规律,1.命题分析预测 本讲是高考的考查热点,主要考查等差数列的基本运算和性质,等差数列的通项公式和前n项和公式,尤其要注意以数学文化为背景的数列题,题型既有选择题、填空题,也有解答题. 2.学科核心素养
2、 本讲通过对等差数列的通项公式及前n项和公式、等差数列性质的应用,考查考生的数学运算和逻辑推理素养,以及考生对函数与方程思想的应用.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 等差数列 考点2 等差数列的前n项和 考点3 等差数列的性质,考点1 等差数列（重点）,1.等差数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 定义的表达式为an+1-an=d,d为常数.,2.等差中项 如果a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项,且A= + 2 . 3.等差数列的通项公式及其变形
3、通项公式:an=a1+(n-1)d,其中a1是首项,d是公差. 通项公式的变形:an=am+(n-m)d(m,nN*). 4.等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.,考点2 等差数列的前n项和（重点）,1.等差数列的前n项和公式:Sn= ( 1 + ) 2 =na1+ (1) 2 d. 2.等差数列的前n项和公式与函数的关系:由Sn=na1+ (1) 2 d可得Sn= 2 n2+(a1- 2 )n,设a= 2 ,b=a1- 2 ,则Sn=an2+bn.,考点3 等差数
4、列的性质（重点）,1.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,mN*). (2)若an是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则ak+al=am+an;反之,不一定成立. (3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d. (4)若an,bn是等差数列,则pan+qbn(p,qN*)也是等差数列. (5)若an是等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)组成公差为md的等差数列. (6)当d0时,数列an为递增数列;当d0时,数列an为递减数列;当d=0时,数列an为常数列.,2.等差数列前n项和的性质 (1)若Sm=n
5、,Sn=m,则Sm+n=-(m+n);若Sm=Sn,则Sm+n=0. (2)若an是等差数列,则 也成等差数列,其首项与an首项相同,公差是an公差的 1 2 . (3)若an是等差数列,Sm,S2m,S3m分别为an的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列. (4)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质: 若项数为2n,则S偶-S奇=nd, S奇 S偶 = an an+1 ;,若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an, S奇 S偶 = n n1 . (5)两个等差数列an,bn的前n项和Sn,Tn之间的关系为 21 21
6、= .,B考法帮题型全突破,理科数学 第六章：数列,考法1 等差数列的判定与证明 考法2 等差数列的基本运算 考法3 等差数列的性质的应用 考法4 等差数列的前n项和及其最值,考法1 等差数列的判定与证明,示例1 2014新课标全国,17,12分理已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数. ()证明:an+2-an=; ()是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.,解析 ()由题意知,anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1. 两式相减,得an+1(an+2-an)=an+1. 由于an+10,所以an+2-an=. ()由题设,a1=
7、1,a1a2=S1-1,可得a2=-1. 由()知,a3=+1. 令2a2=a1+a3,解得=4. 故an+2-an=4,由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3; a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在=4,使得an为等差数列.,感悟升华 等差数列的判定与证明常用的方法 (1)定义法:an+1-an=d(d是常数,nN*)或an-an-1=d(d是常数,nN*,n2) an为等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN*)an为等差数列. (3)通项公式法:an=an+b(a
8、,b是常数,nN*)an为等差数列. (4)前n项和公式法:Sn=an2+bn(a,b为常数)an为等差数列. 注意 若要判定一个数列不是等差数列,则只需找出三项an,an+1,an+2,使得这三项不满足2an+1=an+an+2即可;但如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法.,拓展变式1 设an是各项均不相等的数列,Sn为它的前n项和,满足nan+1=Sn+1(nN*,R). (1)若a1=1,且a1,a2,a3成等差数列,求的值; (2)若an的各项均不相等,则当且仅当为何值时,a2,a3,an,成等差数列?试说明理由.,1.(1)令n=1,2,得 2 = 1 +1=2
9、, 2 3 = 2 +1= 1 + 2 +1=2+ 2 , 又a1,a2,a3成等差数列,所以2a2=a1+a3=1+a3 , 由,得2-3+1=0,解得= 3 5 2 . (2)当且仅当= 1 2 时,a2,a3,an,成等差数列,证明如下: 由nan+1=Sn+1知,当n2时,(n-1)an=Sn-1+1, 两式相减得nan+1-nan+an=an,即n(an+1-an)=(1-)an.,由于an的各项均不相等,所以 1 = +1 (n2), 当n3时, (1) 1 = 1 1 , 两式相减得 1 = +1 - 1 1 . 假设a2,a3,an,成等差数列, 则an+1-an=an-an-
10、1(n3),所以 +1 - 1 1 = 1 - 1 1 =1= 1 ,所以= 1 2 .,当= 1 2 时, +1 = 1 1 +1. 因为an0,所以an+1-an=an-an-1,即2an=an+1+an-1(n3), 所以a2,a3,an,成等差数列. 所以当且仅当= 1 2 时,a2,a3,an,成等差数列.,考法2 等差数列的基本运算,示例2 (1)2019三湘名校联考已知等差数列an的前n项和为Sn,a1+3a3+ a15=10,则S9的值为 . (2)2018北京,9,5分理设an是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为 .,解析 (1)设等差数列an的公差为
11、d,则a1+3a3+a15=10可化为5a1+20d=10,即a1+4d=2,a5=2,S9= 9(1+9) 2 =9a5=18. (2)设等差数列an的公差为d,则a2+a5=a1+d+a1+4d=6+5d=36,d=6,an=3+(n-1)6=6n-3.,方法总结 等差数列基本运算的常见类型及解题策略 (1)求公差d或项数n.在求解时,一般要运用方程思想. (2)求通项.a1和d是等差数列的两个基本元素. (3)求特定项.利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解. (4)求前n项和.利用等差数列的前n项和公式直接求解,或利用等差中项间接求解.,拓展变式2 (1)2019成都高三摸底考试已
12、知等差数列an的前n项和为Sn,且a4= 5 2 ,S10=15,则a7=( ) A. 1 2 B.1 C. 3 2 D.2 (2)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6,(3)数学文化题九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中,甲所得为( ) A. 5 4 钱 B. 4
13、3 钱 C. 3 2 钱 D. 5 3 钱 (4)在等差数列an中,已知a5+a10=12,则3a7+a9=( ) A.12 B.18 C.24 D.30,2.(1)A 解法一 设等差数列an的公差为d,则由题设得 4 = 1 +3= 5 2 , 10 =10 1 + 109 2 =15, 解得 1 = 9 2 , = 2 3 , 所以a7=a1+6d= 9 2 +6(- 2 3 )= 1 2 .故选A. 解法二 因为S10= 10( 1 + 10 ) 2 =15,所以a1+a10=3,又a4+a7=a1+a10,a4= 5 2 ,所以 5 2 +a7=3,解得a7= 1 2 .故选A.,(2
14、)C 解法一 由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, 所以等差数列的公差为d=am+1-am=3-2=1, 由 = 1 +(1)=2, = 1 + 1 2 (1)=0, 得 1 +1=2, 1 + 1 2 (1)=0,解得 1 =2 =5 ,故选C. 解法二 已知Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, 由等差数列求和公式得 1 =(1) 1 + (1)(2) 2 =2 , = 1 + (1) 2 =0 , +1 =(+1) 1 + (+1) 2 =3 .,-,得a1+(m-1)d=2 , -,得a1+md=3 , -,得d=1,代
15、入,得a1=3-m, 把d和a1都代入,得m=5或m=0(舍去).故选C. 解法三 由题意,知Sm= ( 1 + ) 2 =0,a1=-am=-(Sm-Sm-1)=-2,am=2,a1=-2.又am+1=Sm+1-Sm=3,公差d=am+1-am=1, 3=am+1=a1+md=-2+m,m=5.故选C. 解法四 数列an为等差数列,且前n项和为Sn，,(3)B 依题意,设甲所得为a1,公差为d,则a1+a2=a3+a4+a5= 5 2 ,即2a1+d=3a1+9d= 5 2 ,解得a1= 4 3 ,所以甲所得为 4 3 钱.故选B. (4)C 设等差数列an的首项为a1,公差为d, 因为a5
16、+a10=12,所以2a1+13d=12,所以3a7+a9=3(a1+6d)+a1+8d=4a1+26d=2(2a1+13d)=212=24.,数列 也为等差数列. 1 1 + +1 +1 = 2 ,即 2 1 + 3 +1 =0,解得m=5. 经检验为原方程的解.故选C.,考法3 等差数列的性质的应用,示例3 (1)2019全国高三联考设Sn为等差数列an的前n项和,若S9=36,则(a2+a8)2-a5= A.60 B.30 C.12 D.4 (2)2018福建宁德二检已知等差数列an满足a3+a5=14, a2a6=33,则a1a7= A.33 B.16 C.13 D.12,解析 (1)
17、S9= 9(1+9) 2 =36,a1+a9=2a5=8,a5=4,(a2+a8)2-a5=4 5 2 -a5=442-4=60.故选A. (2)设等差数列an的公差为d,因为a3+a5=14, 所以a2+a6=14,(活用等差数列通项的性质得a3+a5=a2+a6) 又a2a6=33,所以 2 =3 6 =11 或 2 =11 6 =3 当 2 =3 6 =11 时,d= 113 62 =2,(活用等差数列的性质得d= 6 2 62 ) 所以a1a7=(a2-d)(a6+d)=13.,当 2 =11 6 =3 时, d= 311 62 =-2, 所以a1a7=(a2-d)(a6+d)=13.
18、 综上,a1a7=13,故选C. 答案 (1)A (2)C,示例4 (1)已知Sn是等差数列an的前n项和,若a1=-2 018, 2019 2019 - 2018 2018 =11,则S2 020等于 A.2 020 B.-2 020 C.4 040 D.-4 040 (2)等差数列an共有63项,且S63=36,则S奇= ,S偶= .,解析 (1)由等差数列的性质可得 也为等差数列. 又 2019 2019 - 2018 2018 =11d=11,d=1. 故 2020 2020 = 1 1 +2 019d=-2 018+2 019=1. S2 020=12 020=2 020.故选A.
19、(2)由S63=36,得63a32=36.a32= 4 7 . S奇=32a32=32 4 7 = 128 7 , S偶=31a32=31 4 7 = 124 7 .,技巧点拨 应用等差数列的性质解题的技巧 (1)如果an为等差数列,m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*).因此,若出现am-n,am,am+n等时,可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件;若求am的值,可由am= 1 2 (am-n+am+n)转化为求am-n,am+n或am+n+am-n的值. (2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用,如an=am+(n-m)d,d= ,
20、S2n-1=(2n-1)an,Sn= ( 1 ) 2 = ( 2 1 ) 2 (n,mN*)等.,拓展变式3 (1)已知等差数列an的前n项和为Sn,若m1,且am-1+am+1- 2 -1=0,S2m-1=39,则m等于( ) A.39 B.20 C.19 D.10 (2)等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若 = 2 3+1 ,则 11 11 = .,3.(1)B 数列an为等差数列,则am-1+am+1=2am,则am-1+am+1- 2 -1=0可化为2am- 2 -1=0,解得am=1.又S2m-1=(2m-1)am=39,则m=20.故选B. (2) 21 32 由等差数
21、列前n项和的性质得 11 11 = 21 21 = 221 321+1 = 21 32 .,考法4 等差数列的前n项和及其最值,示例5 在等差数列an中,已知a1=13,3a2=11a6,则数列an的前n项和Sn的最大值为 .,思维导引 思路一 先利用已知条件求出公差d,再利用 0 +1 0 求出n的取值范围,由nN*,即可得出n的值,从而得出数列an的前n项和Sn的最大值. 思路二 先求出公差d,再利用配方法求数列an的前n项和Sn的最大值.,解析 设等差数列an的公差为d. 解法一 (通项法)由3a2=11a6,得3(13+d)=11(13+5d),解得d=-2,所以an=13+(n-1)
22、(-2)=-2n+15. 由 0 +1 0 得 2+150 2 +1 +150 解得6.5n7.5. 因为nN*,(求最值时,注意隐含条件nN*的应用) 所以当n=7时,数列an的前n项和Sn最大,最大值为S7= 7(1327+15) 2 =49.,解法二 (二次函数法)由3a2=11a6,得3(13+d)=11(13+5d),解得d=-2,所以an=13+(n-1)(-2)=-2n+15. 所以Sn= (13+152) 2 =-n2+14n=-(n-7)2+49,(配方法求最值) 所以当n=7时,数列an的前n项和Sn最大,最大值为S7=49.,方法总结 求数列前n项和的最值的方法 (1)通
23、项法:若a10,d0,则Sn必有最小值,其n可用不等式组 0 +1 0 来确定. (2)二次函数法:等差数列an中,由于Sn=na1+ (1) 2 d= 2 n2+(a1- 2 )n,故可用二次函数求最值的方法来求前n项和的最值,这里应由nN*及二次函数图象的对称性来确定n的值.,(3)不等式组法:借助Sn最大时,有 1 +1 (n2,nN*),解此不等式组确定n的范围,进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最值).,拓展变式4 2018云南保山第二次统考已知等差数列an的前n项和为Sn, a1=9, 9 9 -= 5 5 -4,则Sn取最大值时n的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.4或
24、5,4.B 解法一 因为数列an为等差数列,且 9 9 - 5 5 =-4, 所以 9 9 - 5 5 = 9( 1 + 9 ) 2 9 - 5( 1 + 5 ) 2 5 =a5-a3=2d=-4, 解得d=-2,所以数列an为单调递减数列,即Sn存在最大值. 因为a1=9,所以an=-2n+11. 由 0, +1 0, 得 2+110, 2(+1)+110, 解得4.5n5.5. 因为nN*,所以n=5,所以数列an的前n项和Sn取最大值时n的值为5,故,选B. 解法二 因为数列an为等差数列,且 9 9 - 5 5 =-4, 所以 9 9 - 5 5 = 9( 1 + 9 ) 2 9 - 5( 1 + 5 ) 2 5 =a5-a3=2d=-4, 解得d=-2, 因为a1=9,所以an=-2n+11. 所以Sn= (9+112) 2 =-n2+10n=-(n-5)2+25, 所以数列an的前n项和Sn取最大值时n的值为5,故选B.,
