1、第三讲 抛物线,【高考帮文科数学】第十章：圆锥曲线与方程,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,命题规律,聚焦核心素养,考点1 抛物线的定义 考点2 抛物线的标准方程与几何性质,考法1 抛物线定义的应用 考法2 求抛物线的标准方程 考法3 直线与抛物线的综合应用,B考法帮题型全突破,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,C方法帮素养大提升 专题 圆锥曲线中的弦长、弦中点问题,考情精解读,命题规律 聚焦核心素养,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,命题规律,1.命题分析预测 从近五年的考查情况来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系是高考的命题热点,常以选择题
2、和填空题的形式出现,直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现,其中抛物线的切线问题和焦点弦问题应引起关注. 2.学科核心素养 本讲主要考查考生的数学运算、直观想象素养,以及转化与化归思想的运用.,聚焦核心素养,A考点帮知识全通关,考点1 抛物线的定义 考点2 抛物线的标准方程与几何性质,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线. 注意 定点F不能在定直线l上,若定点F在定直线l上,则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线.,考点1 抛物线的定义,1.抛物线的标准方程与几何性质
3、,考点2 抛物线的标准方程与几何性质（重点）,续表,注意 y2=ax(a0)的焦点坐标为( ,0),准线方程为x=- .,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,B考法帮题型全突破,考法1 抛物线定义的应用 考法2 求抛物线的标准方程 考法3 直线与抛物线的综合应用,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,示例1 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值为 ,并求出取最小值时点P的坐标为 . 思路分析 利用抛物线的定义可知|PF|等于点P到准线的距离,从而将|PA|+|PF|的最小值问题转化为点P到点A和到准线的距离之和最小的问题.,解析 将x=3代
4、入抛物线方程y2=2x,得y= 6 .因为 6 2,所以点A在抛物线内部,如图所示. 过点P作PQl于点Q,则|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|, (运用定义进行转化),考法1 抛物线定义的应用,当PAl,即A,P,Q三点共线时,|PA|+|PQ|最小, (两点之间,线段最短) 最小值为 7 2 ,即|PA|+|PF|的最小值为 7 2 ,此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,所以所求点P的坐标为(2,2).,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,感悟升华 1.利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.(2)
5、距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的相互转化. 注意 一定要验证定点是否在定直线上.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.抛物线定义的应用规律 注意 建立函数关系后,一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围,即函数的定义域.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展变式1 2018陕西西安八校联考如图,抛物线W:y2=4x与圆C:(x-1)2+y2=25交于A,B两点.点P为劣弧 上不同于A,B的一个动点且不在x轴上,与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q,则PQC的周长的取值范围是( )A.(10,12) B.(12,14) C.(10,14
6、) D.(9,11),文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,1.A 解法一 (常规法)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意得,圆C:(x-1)2+y2=25的圆心为C(1,0),半径为5.抛物线W的准线l:x=-1,焦点为C(1,0). 由抛物线的定义可得|QC|=x2+1,则PQC的周长为|QC|+|PQ|+|PC|=x2+1+(x1-x2)+5=6+x1. 由 得A(4,4),则x1(4,6),所以6+x1(10,12),于是PQC的周长的取值范围是(10,12).故选A.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解法二 (临界点法)平移直线PQ,当点A在直线PQ上时,属于临界状态,此时结合
7、|CA|=5可知PQC的周长趋于25=10; 当直线PQ与x轴重合时,属于临界状态,此时结合圆心坐标(1,0)及圆的半径为5,可知PQC的周长趋于2(1+5)=12. 综上可知,PQC的周长的取值范围是(10,12).故选A.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考法2 求抛物线的标准方程,示例2 设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为 A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x解析 解法一 由已知得抛物线的焦点F( 2 ,0),设点A(0,2),
8、抛物线上点M(x0,y0),则 =( 2 ,-2), =( 0 2 2 ,y0-2).由已知得 =0,(由MF为圆的直径可得) 即 0 2 -8y0+16=0,因而y0=4,M( 8 ,4).由|MF|=5,得 ( 8 2 ) 2 +16 =5,又p0,解得p=2或p=8,所以抛物线的方程为y2=4x或y2=16x.,解法二 因为以为直径的圆过点(0,2),所以点在第一象限.由|F|=+ 2 =5,(求焦半径长的结论 ) 得=5- 2 ,即(5- 2 , ), 设以为直径的圆的圆心为,则的坐标为( 5 2 , ).(为的中点) 因为点的横坐标恰好等于圆的半径,所以圆与轴相切于点(0,2),所以
9、2= ,即2-10+16=0,解得=2或=8,所以抛物线的方程为2=4或2=16.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解法三 易知M在第一象限,由抛物线的定义得xM+ 2 =5,即xM=5- 2 ,又在抛物线中,以焦半径为直径的圆恒与y轴相切,由题意知切点为(0,2),则M点的纵坐标为4,将M(5- 2 ,4)代入抛物线方程得16=2p(5- 2 ),即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,所以抛物线的方程为y2=4x或y2=16x. 答案 C,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,方法总结 抛物线的标准方程的求法 (1)定义法 根据抛物线的定义,确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离),再
10、结合焦点位置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择. (2)待定系数法 待定系数法求解的关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.当焦点位置不确定时,要对四种形式的标准方程进行分类讨论. 对于焦点在x轴上的抛物线,若开口方向不确定需分为y2=2px(p0)和y2=-2px(p0)两种情况求解. 为避开讨论,也可设成y2=mx(m0),若m0,开口向右;若m0,开口向左;若m有两个解,则抛物线的标准方程有两个. 同理,焦点在y轴上的抛物线的方程可以设成x2=my(m0).如果不确定焦点所在的坐标轴,应考虑x轴、y轴两种情况设方程
11、.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展变式2 如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则抛物线的方程为（ ） A.y2=8x B.y2=4x C.y2=2x D.y2=x,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,答案 B 解析 如图,分别过点A,B作准线的垂线,交准线于点E,D,设准线与x轴交于点G,设|BF|=a,则由已知得|BC|=2a,由定义得|BD|=a,故BCD=30,则在RtACE中,2|AE|=|AC|,又|AF|=4, |AC|=4+3a,|AE|=4,4+3a=8,从而得a= 4 3 ,AEFG,
12、 = ,即 4 = 4 8 ,p=2.抛物线的方程为y2=4x.故选B.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,考法3 直线与抛物线的综合应用,1.焦点弦问题 示例3 2018湖南两市调研如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则线段AB的长为( ),A.5 B.6 C. 16 3 D. 20 3,解析 如图,设l与x轴交于点M,过点A作ADl交l于点D,由抛物线的定义知, |AD|=|AF|=4.由F是AC的中点,知|AF|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.,文科数学 第十章
13、：圆锥曲线与方程,解法一 (判别式法)设A(x1,y1),B(x2,y2)(y10,y20),则|AF|=x1+ 2 =x1+1=4,(此处运用了抛物线的焦半径公式) 所以x1=3,解得y1=2 3 ,可知A(3,2 ),又F(1,0),所以直线AF的斜率k= 2 3 31 = 3 ,所以直线AF的方程为y= 3 (x-1),代入抛物线方程y2=4x,得3x2-10x+3=0,所以x1+x2= 10 3 ,于是|AB|=x1+x2+p= 16 3 .(此处运用了焦点弦长公式),文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解法二 (焦点弦性质法)设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+ 2
14、 =x1+1=4,(此处运用了抛物线的焦半径公式) 所以x1=3,又x1x2= 2 4 =1,(此处运用了抛物线焦点弦的相关性质) 所以x2= 1 3 ,于是|AB|=x1+x2+p= 16 3 .(此处运用了焦点弦长公式). 解法三 (焦半径性质法)因为 1 + 1 = 2 =1,(此处运用了抛物线的焦半径的关系式) 且|AF|=4,所以|BF|= 4 3 ,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+ 4 3 = 16 3 .答案 C,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.弦长与弦中点问题 示例4 2018山东济南模拟如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l与抛物线C1交于
15、A,B两点.,(1)若直线OA,OB的斜率之积为- 1 4 ,证明:直线l过定点; (2)如图,若线段AB的中点M在曲线C2:y=4- 1 4 x2(-2 x2 )上,求|AB|的最大值.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,解析 (1)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m. 由 消去y并整理,得x2-4kx-4m=0, 则=(-4k)2-4(-4m)=16(k2+m)0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以kOAkOB= = 1 4 1 2 1 4 2 2 1 2 = 1 2 16 =- 4 ,(求出斜率之积) 已知kOAkO
16、B=- 1 4 ,所以- 4 =- 1 4 ,解得m=1,满足0,(检验m的值是否满足0) 所以直线l的方程为y=kx+1,直线l过定点(0,1).,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,(2)设M(x0,y0),由已知及(1),得x0= 1 + 2 2 =2k,y0=kx0+m=2k2+m, 将(x0,y0)代入y=4- 1 4 x2(-2 2 0, 所以- 2 k 2 , 所以k的取值范围是(- 2 , 2 ). |AB|= 1+ 2 ( 1 + 2 ) 2 4 1 2 = 1+ 2 16( 2 +) =4 2 ( 2 +1)(2 2 ) 4 2 ( 2 +1)+(2 2 ) 2 =6 2 ,
17、(应用基本不等式) 当且仅当k2+1=2-k2,即k= 2 2 (- 2 , 2 )时取等号,(检验取等号时,k的取值是否在取值范围内) 所以|AB|的最大值为6 2 .,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,方法总结 1.直线与抛物线的综合问题的求解策略 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系、判别式等. (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不过焦点,则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与
18、系数的关系采用“设而不求,整体代入”的解法. (4)抛物线y2=2px(p0)以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率为k= 0 .,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.注意事项 (1)直线与抛物线只有一个公共点有两种情况:切线,与对称轴平行或重合的直线; (2)涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解; (3)焦点弦长公式要依据抛物线的方程选择.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,规律总结 1.抛物线的焦半径与焦点弦 抛物线上任意一点P(x0,y0)到焦点F的距离称为焦半径.过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦.设两交点分别为A(x1,y1),B(x2,
19、y2),则有以下结论:,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则 (1) x1x2= 2 4 ,y1y2=-p2; (2)|AF|= 1cos ,|BF|= 1+cos ,弦长|AB|=x1+x2+p= 2 si n 2 (为弦AB的倾斜角); (3) 1 | + 1 | = 2 ; (4)以弦AB为直径的圆与准线相切;,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,(5)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积: SAOB= 2 2sin = 1 2 |AB|d|= 1 2 |OF|y1-y2|;
20、(6)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦; (7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切; (8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展变式3 2019南昌市重点中学高三段考已知抛物线C:x2=2py(p0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N. (1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值; (2)若ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程.,解析 设直线AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2-2pkx-2p=
21、0, 则x1+x2=2pk,x1x2=-2p . (1)由x2=2py得y= ,则A,B处的切线斜率的乘积为 1 2 2 =- 2 . 点N在以AB为直径的圆上,ANBN,- 2 =-1,p=2.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,(2)易得直线AN:y-y1= 1 (x-x1),直线BN:y-y2= 2 (x-x2), 联立,得 1 = 1 (x 1 ), 2 = 2 (x 2 ), 结合式,解得 =, =1, 即N(pk,-1). |AB|= 1+ 2 |x2-x1|= 1+ 2 ( 1 + 2 ) 2 4 1 2 = 1+ 2 4 2 2 +8p ,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,点N
22、到直线AB的距离d= | +1 | 1+ 2 = | 2 +2| 1+ 2 , 则ABN的面积SABN= 1 2 |AB|d= ( 2 +2 ) 3 2 2 ,当k=0时,取等号. ABN的面积的最小值为4, 2 2 =4,p=2,故抛物线C的方程为x2=4y.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,C方法帮素养大提升,专题 圆锥曲线中的弦长、弦中点问题,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,专题探究,示例5 2018江南十校联考已知椭圆E: 2 4 + 2 3 =1,点A,B,C都在椭圆E上,O为坐标原点,D为AB中点,且 =2 . (1)若点C的坐标为(1, 3 2 ),求直线AB的方程; (2)
23、求证:SABC为定值.,思维导引 (1)题眼“ =2 ”,先利用向量共线的坐标表示,求出点D的坐标,再利用点差法和直线的点斜式方程,即可求出直线AB的方程;(2)对直线AB的斜率是否存在进行分类讨论,利用向量共线的坐标表示,弦长公式与点到直线的距离公式,以及三角形的面积公式,即可求出ABC的面积,从而可证明其为定值.,解析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0), 因为 =2 ,C(1, 3 2 ), 所以点D的坐标为(- 1 2 ,- 3 4 ). 将点A,B的坐标分别代入椭圆方程中,可得 1 2 4 + 1 2 3 =1, 2 2 4 + 2 2 3 =1,文科数学
24、第十章：圆锥曲线与方程,化简可得 ( 1 + 2 )( 1 2 ) 4 + ( 1 + 2 )( 1 2 ) 3 =0, 所以直线AB的斜率kAB= 1 2 1 2 =- 3( 1 + 2 ) 4( 1 + 2 ) =- 3 4 1 =- 1 2 ,(利用点差法求出直线AB的斜率) 所以直线AB的方程为x+2y+2=0. (2)设A(x3,y3),B(x4,y4),C(m,n),(设参数) 因为 =2 ,所以D(- 2 ,- 2 ). 当直线AB的斜率不存在时,n=0,(注意对直线AB的斜率是否存在进行分类讨论) 不妨设点A在x轴下方,点B在x轴上方.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,因为点
25、C在椭圆上,易得C(2,0),A(-1,- 3 2 ),B(-1, 3 2 )或C(-2,0),A(1,- 3 2 ),B(1, 3 2 ), 此时SABC= 1 2 33= 9 2 .(此结论为直线AB的斜率存在时三角形的面积为定值的证明提供依据) 当直线AB的斜率存在时,n0,由(1)可得kAB=- 3 4 1 =- 3 4 , 所以直线AB的方程为y+ 2 =- 3 4 (x+ 2 ), 因为点C在椭圆上,所以 2 4 + 2 3 =1,即3m2+4n2=12, 因此直线AB的方程为y=- 3 4 x- 3 2 +4 2 8 =- 3 4 x- 3 2 ,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程
26、,即3mx+4ny+6=0, 由 3+4+6=0, 2 4 + 2 3 =1, 得3x2+3mx+3-4n2=0, 所以x3+x4=-m,x3x4=1- 4 2 3 , 所以|AB|= 1+ 9 2 16 2 2 4(1 4 2 3 ) = 9 2 +16 2 16 2 4 4 3 2 4+ 16 2 3 = 1 2 9 2 +16 2 ,(根据直线与椭圆相交,应用弦长公式并化简) 因为点O到直线AB的距离d= 6 9 2 +16 2 , 所以SABC=3SOAB=3 1 2 1 2 9 2 +16 2 6 9 2 +16 2 = 9 2 .(建目标、化简求值)综上,SABC为定值.,文科数学
27、 第十章：圆锥曲线与方程,答题模板 1.求解直线与圆锥曲线相交的弦长问题的一般步骤 第一步:设直线Ax+By+C=0与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2); 第二步:把直线方程与圆锥曲线方程联立组成方程组,消元得到一个一元二次方程; 第三步:利用根与系数的关系,得到x1+x2与x1x2或y1y2与y1+y2; 第四步:利用弦长公式|AB|= ( 1 2 ) 2 +( 1 2 ) 2 = 1+ 2 |x1-x2|= 1+ 1 2 |y1-y2|(k0)求解.,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,2.用“点差法”求解弦中点问题的步骤,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,拓展结论 设AB为圆锥曲线的弦,点M(x0,y0)为弦AB的中点,则有以下结论:,文科数学 第十章：圆锥曲线与方程,高考帮+一轮卷，一讲一练，搭配使用，一轮复习效果更佳！,+,
