1、数据分布特征的描述,1 集中趋势的测定 典型的变量取值 2 离散程度的测定数据的差异程度就是各变量值远离其中心值的程度，因此也称为离中趋势 3 偏态与峰度的测定（是否有对称轴、几个最高值）,补充材料之二：,什么是分布？,有序对的集合，一般形式： （x_1,n_1） （x_2,n_2） （x_k,n_k） 其中x_k表示变量X的一切可能的取值， n_k为其对应的数值， 当n代表不同的含义时就表示不同的分布： 频次分布 概率分布 百分比分布（频率分布、相对频次分布） 。,数据分布的特征,考查：均衡性 与 代表性,数据分布的特征和测度,峰 度,偏 态,第一节 集中趋势的测定,一. 定类数据：众数 二
2、. 定序数据：中位数和分位数 三. 定距和定比数据：数值平均数 四. 众数、中位数和算术平均数的比较,数据分布的特征和测度 （本节位置）,峰 度,偏 态,集中趋势 (Central tendency),一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据 选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握的数据的类型来确定,众 数,众数 (概念要点),集中趋势的测度值之一 出现次数最多的变量值：一组数据分布的最高峰
3、点 不受极端值的影响 可能没有众数或有几个众数 主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值型数据,众数 (众数的不唯一性),无众数 原始数据: 10 5 9 12 6 8,一个众数 原始数据: 6 5 9 8 5 5,多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42,定类数据的众数 (算例),【例】根据表3-1中的数据，计算众数,解：这里的变量为“广告类型”，这是个定类变量，不同类型的广告就是变量值。我们看到，在所调查的200人当中，关注商品广告的人数最多，为112人，占总被调查人数的56%，因此众数为“商品广告”这一类别，即 Mo商品广告,定序数据的众数 (算例),【例】根据表3-
4、2中的数据，计算众数,解：这里的数据为定序数据。变量为“回答类别”。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即Mo不满意,数值型分组数据的众数 (要点及计算公式),1. 众数的值与相邻两组频数的分布有关,4. 该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布,2. 相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数,3. 相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算,中位数和分位数,中位数 (概念要点),集中趋势的测度值之一 排序后处于中间位置上的值,不受极端值的影响 主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定类数据 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即,
5、中位数 (位置的确定),未分组数据：,组距分组数据：,未分组数据的中位数 (计算公式),定序数据的中位数 (算例),【例3.2】根据表3-2中的数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价的中位数,解：中位数的位置为：300/2150 从累计频数看，中位数的在“一般”这一组别中。因此Me一般,数值型未分组数据的中位数 (5个数据的算例),原始数据: 24 22 21 26 20 排 序: 20 21 22 24 26 位 置: 1 2 3 4 5,中位数 22,数值型未分组数据的中位数 (6个数据的算例),原始数据: 10 5 9 12 6 8 排 序: 5 6 8 9 10 12 位 置: 1 2
6、 3 4 5 6,根据位置公式确定中位数所在的组 采用下列近似公式计算,该公式假定中位数组的频数在该组内均匀分布 (利用了线性差值),数值型分组数据的中位数 (要点及计算公式),数值型分组数据的中位数 (算例),【例3.3】根据第三章表3-3中的数据，计算50 名工人日加工零件数的中位数,四分位数 (概念要点),1. 集中趋势的测度值之一 2. 排序后处于25%和75%位置上的值,3. 不受极端值的影响 4. 主要用于定序数据，也可用于数值型数据，但不能用于定类数据,四分位数 (位置的确定),未分组数据：,组距分组数据：,定序数据的四分位数 (算例),【例3.4】根据第三章表3-2中的数据，计
7、算甲城市家庭对住房满意状况评价的四分位数,解：下四分位数(QL)的位置为：QL位置(300)/475上四分位数(QL)的位置为：QU位置(3300)/4225 从累计频数看， QL在“不满意”这一组别中； QU在“一般”这一组别中。因此QL 不满意QU 一般,数值型未分组数据的四分位数 (7个数据的算例),原始数据: 23 21 30 32 28 25 26 排 序: 21 23 25 26 28 30 32 位 置: 1 2 3 4 5 6 7,N+1,QL= 23,QU = 30,数值型未分组数据的四分位数 (6个数据的算例),原始数据: 23 21 30 28 25 26 排 序: 21
8、 23 25 26 28 30 位 置: 1 2 3 4 5 6,QL= 21+0.75(23-21)= 22. 5,QU = 28+0.25(30-28)= 28.5,数值型分组数据的四分位数 (计算公式),上式仍是利用线性插值得到,数值型分组数据的四分位数 (计算示例),QL位置50/412.5,QU位置350/437.5,【例3.6】根据表3-3中的数据，计算50 名工人日加工零件数的四分位数。,数值平均数,算术平均数 (概念要点),1.集中趋势的测度值之一 2.最常用的测度值 3.一组数据的均衡点所在 4.易受极端值的影响 5. 用于数值型数据，不能用于定类 数据和定序数据,算术平均数
9、 (计算公式),设一组数据为：X1 ，X2 ， ，XN 简单均值的计算公式为,设分组后的数据为：X1 ，X2 ， ，XK 相应的频数为： F1 ， F2， ，FK 加权均值的计算公式为,简单算术平均数 (算例),原始数据: 10 5 9 13 6 8,加权算术平均数 （算例）,【例3.7】根据表3-3中的数据，计算50 名工人日加工零件数的均值,算术平均数的数学性质,1.各变量值与均值的离差之和等于零,2. 各变量值与均值的离差平方和最小,调和平均数 (概念要点),1. 集中趋势的测度值之一 2. 均值的另一种表现形式 3. 易受极端值的影响 4. 用于定比数据 5. 不能用于定类数据和定序数
10、据 6. 计算公式为首先要用变量值的倒数计算出总体单位总量来，然后再计算平均指标，调和平均数法因此而得名,几何平均数 (概念要点),1. 集中趋势的测度值之一 2. N 个变量值乘积的 N 次方根 3. 适用于特殊的数据 4. 主要用于计算平均发展速度 5. 计算公式为,6. 可看作是均值的一种变形,几何平均数 (算例),【例3.9】一位投资者持有一种股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。,平均收益率103.84%-1=3.84%,众数、中位数和 算术平均数的比较,众数、中位数和 算术平均数的
11、关系,注: 对称图形,重叠 左右偏时,均值变化最快,中位值次之,众值不变,数据类型与集中趋势测度值,红色为该数据类型最适合用的测度值,第二节 离散程度的测定,一. 定类数据：异众比率 二. 定序数据：四分位差 三. 定距和定比数据：方差及标准差 四. 相对离散程度：离散系数,离中趋势,数据分布的另一个重要特征 离中趋势的各测度值是对数据离散程度所作的描述 反映各变量值远离其中心值的程度，因此也称为离中趋势 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度 不同类型的数据有不同的离散程度测度值,数据的特征和测度 （本节位置）,定类数据：异众比率,异众比率 (概念要点),1. 离散程度的测度值之一 2.
12、 非众数组的频数占总频数的比率 3. 计算公式为,4. 用于衡量众数的代表性,异众比率 (算例),【例3.10】根据第三章表3-1中的数据，计算异众比率,定序数据：四分位差,四分位差 (概念要点),1.离散程度的测度值之一 2.也称为内距或四分间距 3.上四分位数与下四分位数之差QD = QU - QL 4.反映了中间50%数据的离散程度 其数值越小，说明中间的数据越集中；数值越大，说明中间的数据越分散。此外，由于中位数处于数据的中间位置，因此，四分位差的大小在一定程度上也说明了中位数对一组数据的代表程度。不受极端值的影响用于衡量中位数的代表性,四分位差 (定序数据的算例),【例3.11】根据
13、第三章表3-2中的数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价的四分位差,解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5 已知 QL = 不满意 = 2QU = 一般 = 3 四分位差： QD = QU = QL= 3 2 = 1,定距和定比数据： 方差和标准差,极 差 (概念要点及计算公式),1. 一组数据的最大值与最小值之差 2. 离散程度的最简单测度值 3. 易受极端值影响 4. 未考虑数据的分布,未分组数据 R = max(Xi) - min(Xi),计算公式为,平均差 (概念要点及计算公式),1. 离散程度的测度值之一 2. 各变量值与其均值离差绝对值的平均数
14、3. 能全面反映一组数据的离散程度 4. 数学性质较差，实际中应用较少,计算公式为,未分组数据,组距分组数据,平均差 （计算过程及结果）,【例3.12】根据第三章表3-3中的数据，计算工人日加工零件数的平均差,方差和标准差 (概念要点),1. 离散程度的测度值之一 2. 最常用的测度值 3. 反映了数据的分布 反映了各变量值与均值的平均差异 根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差,总体方差和标准差 (计算公式),未分组数据：,组距分组数据：,未分组数据：,组距分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,总体标准差 （计算过程及结果）,【例3.13】
15、根据第三章表3-3中的数据，计算工人日加工零件数的标准差,样本方差和标准差 (计算公式),未分组数据：,组距分组数据：,未分组数据：,组距分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,样本方差 自由度(degree of freedom),一组数据中可以自由取值的数据的个数。 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值。 例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取
16、其他值。 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差2时，它是2的无偏估计量。,样本方差 (算例),原始数据: 10 5 9 13 6 8,样本标准差,样本标准差 (算例),样本标准差,原始数据: 10 5 9 13 6 8,方差 (简化计算公式),样本方差,总体方差,相对离散程度：离散系数,甲乙两组工人的平均工资分别为138.14元、176元，标准差分别为21.32元、24.67元。两组工人工资水平离散系数计算如下：从标准差来看，乙组工人工资水平的标准差比甲组大，但不能断言，乙组平均工资的代表性小。这是因为两组工人的工资水平处在不
17、同的水平上，所以不能直接根据标准差的大小作结论。而正确的方法要用消除了数列水平的离散系数比较。从两组的离散系数可以看出，甲组相对的变异程度大于乙组，因而乙组平均工资的代表性要大。,变异系数,1. 各种变异指标与其相应的均值之比 2.消除了数据水平高低和计量单位的影响 3.测度了数据的相对离散程度 4.用于对不同总体数据离散程度的比较注: 变异指标:对数据的差异程度进行度量 ,包括异众比率、四分位差、极差、平均差、方差和标准差（含比率的标准差）等,标准差系数 (概念要点和计算公式),1.标准差与其相应的均值之比 2.消除了数据水平高低和计量单位的影响 3.测度了数据的相对离散程度 4.用于对不同
18、组别数据离散程度的比较 计算公式为,标准差系数 （实例和计算过程）,【例3.15】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表3-6。试比较产品销售额与销售利润的离散程度,标准差系数 (计算结果),结论： 计算结果表明，V1V2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度,数据类型与离散程度测度值,为该数据类型最适合的用的测度值,第三节 偏态与峰度的测度,一. 偏态及其测度 二. 峰度及其测度,数据的特征和测度 （本节位置）,偏 态,偏态与峰度分布的形状,偏态,峰度,偏态 (概念要点),1. 数据分布偏斜程度的测度 2. 偏态系数=0为对称分布 3. 偏态系数 0为右偏分布 4. 偏态
19、系数 0为左偏分布 5. 计算公式为,偏态 (实例),【例3.16】已知1997年我国农村居民家庭按纯收入分组的有关数据如表4.9。试计算偏态系数,农村居民家庭村收入数据的直方图,偏态与峰度 (从直方图上观察),按纯收入分组(元),结论：1. 为右偏分布2. 峰度适中,偏态系数 (计算结果),根据上表数据计算得,将计算结果代入公式得,结论：偏态系数为正值，而且数值较大，说明农村居民家庭纯收入的分布为右偏分布，即收入较少的家庭占据多数，而收入较高的家庭则占少数，而且偏斜的程度较大,峰 度,峰度 (概念要点),1. 数据分布扁平程度的测度 2. 峰度系数=3扁平程度适中 3. 峰度系数3为尖峰分布 5. 计算公式为,峰度系数 (实例计算结果),代入公式得,【例3.17】根据表3-8中的计算结果，计算农村居民家庭纯收入分布的峰度系数,由于峰度系数=3.43，说明我国农村居民家庭纯收入的分布为尖峰分布，说明低收入家庭占有较大的比重,第三章 数据分布特征的描述,1 集中趋势的测定 典型的变量取值 2 离散程度的测定数据的差异程度就是各变量值远离其中心值的程度，因此也称为离中趋势 3 偏态与峰度的测定（是否有对称轴、几个最高值）,
