1、人物与传记 Serge Lang的数学贡献(I) Jay Jorgenson Steven GKrantz 本文是纪念Serge Lang(赛尔日兰)的由2部分组成的系列文章的第2部分，兰 于2005年9月12日逝世第1部分文章已刊载在(美国数学会通讯(Notices of the AMS)2006年5月份那期(数学译林分两期刊登在2011年第2，3期编注)， 当中我们邀请了几位从私人层面上对赛尔日有所了解的人来做回忆这一部分，我们试 图阐述赛尔日对数学研究的贡献，必要时会引入技术细节 为了解赛尔日研究工作的广度和深度，我们参考他的(论文全集第一卷， )当中总 结了他自己几个时期的数学工作这里
2、我们列出兰本人对其研究的描述，只是把他写的 略作分段(见下表)对本文，编者选择用这个一览表作为指南，尽管显然我们无法描述兰 数学研究的所有方面 赛尔日兰数学生涯年表 119511954 关于拟一代数闭包及相关事项的博士论文 21954-1962 代数几何和阿贝尔(或群)簇，几何类域论 31963-1975 超越数和代数群上的丢番图逼近 41970 关于解析数论的第一篇论文 51975 SL2 ) 619721977 Frobenius(弗罗贝尼乌斯)分布 71973一l981 模曲线，模单位 81974，1982-1991 丢番图几何，复双曲空间和Nevanlinna(奈旺林纳)理论 9198
3、5，1988 RiemannRoch(黎曼 罗赫)和Arakelov(阿拉克洛夫)理论 1019922000+ 解析数论以及与谱分析的联系，热核，微分几何，李群，对 称空间 除了研究，众所周知，兰对数学的贡献包括大量的书籍兰写了多少本书?我们(本 文编者们)不确定如何回答这个问题我们该把政治专著如 挑战(Challenges)计算在 内吗?我们如何计算多次再版和修订版呢?例如，他写过两本书，名为(分圆域I和 分圆域II，后来经过修订合成一本出版而他写的教科书(代数学：修订版第三版 已增加到900多页，与最初的版本有非常大的不同为了确定兰写的书的数量，我们参 考了他的 论文全集中的著作目录当中他
4、标出了他认为是一本书或讲义的条目根 译自：Notices of the AMS，Vo154(2007)，No4，P476497，The Mathematical Contributions of Serge Lang，Jay Jorgenson and Steven GKrantzCopyright2007 the American Mathematical SocietyReprinted with permissionAll rights reserved美国数学会与作者授予译文出版许可 1)赛尔日兰：论文全集， Vo1I-V，SpringerVerlagNewYork，2000一原注 3
5、49 据那个目录，兰所著的书或讲义数量惊人，到1999年就有60本此外，1999年后他发表 了若干著作，这个时期又出了一些书，还有一些未完成的手稿1999年，兰因数学阐释获 得Leroy PSteele奖时，得到这样的评价：“大概没有其他作者在研究生水平和研究水平 上有如此多的数学阐释著作了，既有正在开展的研究课题的及时讲解， ，又有关于精 妙选择的课题的教科书”关于兰所著的书对数学学生的教育和全世界数学家的影响，我 们留给其他人去评估；这个问题由历史学家和历史本身去讨论似乎更合适 2006年2月17日，一个纪念赛尔日兰的活动在耶鲁大学举行当时，Anthony 和Cynthia Petrell
6、o宣布他们将建立一个基金用于赞助纪念兰的数学活动他们是赛尔日 从1970年代早期开始相识的朋友作为数学家，我们这些编辑深深地感谢Anthony和 Cynthia Petrello对于数学研究的慷慨支持作为教师，我们看到了赛尔日，Anthony和 Cynthia是导师和学生之间建立终生友谊的一个极佳典范作为纪念兰的这两部分系列 文章的编辑，我们对赛尔日以另一种方式影响他遇到的人表示敬畏我们期望“兰基金” 发展的成果以及它对数学界的影响 兰的早年(John Tate) 这些评论摘自我在耶鲁大学兰的纪念会上关于兰及其早年大致是1950-1960 年工作的报告这一时期兰的论文占其五卷论文全集中第一卷的
7、不到一半50多年 来他的产出出奇地稳定，但我与他的互动主要在早期我们在普林斯顿做研究生和博士 后的l9471953年以及在巴黎的195 一l958年时在一起 在他的(论文全集序言里，兰借着机会“再次表达”了对自己曾是Emil Artin(埃 米尔阿廷)的学生的感激之情，他说“我的数学生涯没有比这个更好的开始了”他的博 士论文是关于拟一代数闭包及其推广他称一个域k为 域，如果对每个整数d0，每 个至少d 个变量的k系数d次齐次多项式在k中都有非平凡零点一个域是 的当且 仅当它是代数闭的阿廷实现Tsen(曾炯之) )证明(1933年)的代数闭常域上的单变量 函数域的Brauer(布饶尔)群是平凡的
8、，方式是通过证明这样的域是C1域，他称这个性 质为拟一代数闭包类似于曾炯之的定理，他猜想所有单位根构成的域是(了1的这仍然 是一个未解决的问题在博士论文中，兰证明了 域的各种性质，并证明了 域上的 J个变量的函数域是 + 的他还证明了具有完满剩余域(perct residue field)的局部 域的最大非分歧扩张是 的阿廷也曾猜想具有有限剩余域的局部域是 的兰可以 证明对幂级数域情形这个猜想成立，但不是P一进域1966年，他失败的原因变得清晰 GTeanian构造了一个二进数域Q2上含18个变量的没有零点的二次型Teanian在 布尔巴基研讨班上作关于Ax(阿克斯)和Kochen(科琴)的著
9、名定理的报告(1965年11 月)后数个月找到了这个例子称一个域是 (d)的，如果上面定义的 的性质对d次 型成立利用超滤子将兀 Q 和n F ()关联，他们证明了对每个素数P， 对除d 的一个有限集合之外的所有正整数都是C2(d)的在这个意义下，阿廷几乎正确 兰1951年获得博士学位随后在普林斯顿做了一年的博士后，并在去芝加哥前在普 1)曾炯之，1898194O，是国际上早期进入抽象代数学领域并做出重要贡献的中国数学家校注 350 林斯顿高等研究院呆了一年，Weil(韦伊)是他的合作导师如果有人在赛尔日博士毕 业后可以当他的合作导师的话他和韦伊合作写了一篇论文推广韦伊关于有限域上曲线 的点的
10、个数定理他们证明了 中定义于有限域上的r维d次射影簇上的有理点的个 数满足 J一口 (d一1)(d一2)g 一 +Aq 一 ， 其中q是有限域的元素个数， 是仅依赖于佗，d，r的常数(这里及以后“定义于k上的 簇”本质上与几何不可约 一簇所指相同)由这个结果，他们得到了关于任意抽象簇的几 个推论例如，他们证明了，有限域上的簇有1次有理零闭链这篇文章是解决韦伊关 于有限域上簇的点个数猜想的很小一步这个猜想由Deligne(德利涅)证明 兰1955年及后不久分别证明了对阿贝尔簇和任意群簇，在有限域k上，这类簇的 齐性空间有 一有理点由此得到，对于k上的簇 ，到其自身的Albanese(阿尔巴内塞)
11、 簇的“典则映射” ：VAlb(V)在k上可以定义，且在相差Alb(V)上 一有理点的平 移下是唯一的 1955年，兰献给阿廷一篇论文，将阿廷的互反律推广到了有限常数域k上任意维的 函数域 的大部分非分歧(“阿尔巴内塞型”的)阿贝尔扩张设Yk是Kk的射影法线 模型对每个有限可分扩张 ，令 是 在 中的正规化，令 表示 上的0一 闭链群，在 的有限常域h上是有理的，z2是零次群，z! 是z2到An(kL)的典则映 射的核， L( )是 的阿尔巴内塞簇 L上的 一有理点构成的群令CL：=zzZ 表示 上定义于虹的0一闭链类构成的群兰称LK是“阿尔巴内塞型的”，如果它 的“几何部分”LkKk是通过典
12、则映射OL：V=VKAK，从定义于 的代数闭包 上 的可分同源映射BAK拉回得到这样的扩张是阿贝尔的，若同源映射和 定义于是 上，且同源映射的核由 一有理点构成如果 的NronSeveri(内龙一塞韦里)群是无扭 群，那么特征的每个素数次有限阿贝尔扩张都是阿尔巴内塞型的兰证明了将扩张L 与其迹群 品 联系的映射给出阿尔巴内塞型的阿贝尔扩张LK的集合与CK中有限 指标子群集合的一一对应他还证明了，与阿廷的互反律完全类似的，将每个素有理0一 闭链P映到其联系的弗罗贝尼乌斯自同态(尸，LK)的同态 一Gal(LK)在阿尔巴内 塞核z 上为零，并诱导一个等距同态cks品 GaI(LK)此外，从兰的几何
13、观点 看，这个互反律很清晰而且很容易证明 一年后，在他用法语写的第一篇论文中，兰为Galois(伽罗瓦)覆盖f：W 定 义了阿廷的非阿贝尔 一函数的一个类似物，并利用这个定义证明了类似的Tchebotarov 密度定理他还通过定义在除子外的映射 ：V ，把上面描述的阿尔巴内塞型的阿贝 尔覆盖 的互反律推广到由交换群簇的可分同源映射BA拉回得到的任意覆 盖上这些覆盖，他称为“( ，A)型”，可以被高度分歧兰注意到当 是曲线时，对A 取Rosenlicht(罗森利希特)广义雅可比，并考虑常数域扩张，可以获得所有的阿贝尔覆 盖这样他的理论涵盖了整体函数域上的经典类域理论 这些文章是高维类域理论的开始
14、，兰也因此获得1959年的Cole(科尔)奖在获奖感 35】 言中，他承认受惠于他人在关于非分岐类域理论的一篇文章中，他对Chow(周炜良)， Matsusaka(松阪辉久)，韦伊与他讨论Picard(皮卡)和阿尔巴内塞簇的代数方面以及为他 证明其工作所需要的定理表示深切而真诚的感激(在 一级数的文章中，他也感谢Serre (塞尔)，写到“我不想没有表达我对J一P塞尔的感谢就结束这个介绍”这里我也要谢谢 塞尔，他指出了我第一次描述兰的这些工作时的一个错误) 接下来的几年兰与很多人合作在文章“非分歧覆盖(Sur les rev&ements non ram- ifi6s)”中，他和塞尔证明了若簇
15、是射影的，那么特征P中覆盖的行为或多或少与特征0 中的相同，并把这结果应用到阿贝尔簇，目的是为了证明每个覆盖都由一个同源映射给 定在与周炜良合写一篇关于好约化的双有理不变性的论文后，兰与我合作研究阿贝尔 簇的伽罗瓦同调我们可以证明对每个正整数m，适当代数数域 上亏格为1的曲线的 存在性，其定义于 上除子的次数恰好是m的倍数在P一进域F上没有以这种方式陈 述定理，我们本质上对对偶阿贝尔簇 和 证明了对偶定理中与P互素的部分 Hom(H (Gal(fF)， ( )，Qz)= (F) 后来，与Kolchin(科尔钦)合写一篇文章将代数群挠子(torsor)理论应用于微分域的 伽罗瓦理论之后，兰与内龙
16、一起发表了“基定理”的确切叙述：簇上模代数等价的除子构 成的内龙一塞韦里群是有限生成群之前内龙已经证明了这个事实，但这里的证明更清 晰利用韦伊的一个判别法，他们证明这个定理可以从函数域上阿贝尔簇的Mordell(莫 德尔)一韦伊定理导出，证明用了通常的方式 我认为这是兰第一阶段研究的结束，这一阶段他把韦伊的代数几何非常成功地应用 于类域理论以及簇上有理点的问题这时候(1960年前后)他开始考虑曲线和簇上的整点 问题以及函数域中与丢番图逼近的ThueSiegel-Roth(图埃一西格尔一罗思)定理类似的 问题，这是一个新的方向，他对经典结果的统一和推广的思想在其中有着巨大的影响 除了出色的研究，
17、正如大家所知道的，兰作为一个传播者，教师，写作者而有极大的 影响这些事情，作为结尾我愿就我所谈的这个时期提几个例子真是精彩，我们在阿 廷那儿受到的研究生训练几乎完全是一维且非几何的：数域和一元函数域接下来的几 年赛尔日帮助我熟悉高维的事情，比如，任意基域上的雅可比，皮卡和阿尔巴内塞簇， 还有“Mod p约化”，那时在概形之前用韦伊的(基础(Foundations) )做这些是一件不 容易的事塞尔告诉我，是兰使他意识到弗罗贝尼乌斯自同构的重要性通常，赛尔日 是数学世界正在发生的事情的优秀信息源，他定期访问巴黎，波恩，莫斯科和伯克利 他是精力充沛的传播者，催促出版阿廷一Tate(泰特)关于类域理论
18、的书便是一个极好 的例子兰会做研讨班的第一手笔记，用打字机敲出来，持续数年以使它们尽快发表(否 定我的完美主义和不切实际的反对意见)，最终这些笔记由Addison-Wesley出版社出版 他的名字应该出现在封面上 1)周炜良，19111995，美籍中国数学家他是20世纪代数几何领域的主要人物之一校注 2)指韦伊1946年出版的(代数几何学基础(Foundations of Algebric Geometry)校注 352 赛尔日兰早期关于丢番图和代数几何学的工作(Alexandru Buium) 这篇文章我们将回顾赛尔日兰早期关于丢番图和代数几何的工作主要关注1970 年代以前的文章(基本上是
19、他的(论文全集 的第一卷44) 丢番图方程是具有有理系数的，或一般些，系数在具有“算术意味”的域 (如数 域，函数域，局部域，有限域等)中的多项式方程f(x ，X )=0主要问题是确定这样 的方程是否有坐标在 中的解，更一般地，去“数出”或“构造”所有这样的解的确，如 果，的次数d相对于变量个数n“小”，那么人们预期有“很多”解，如果d相对于n“大”， 则解“很少”用代数几何的语言，多项式方程组相应于K上的簇(或概形) ，解对应簇 的 一点P ( )根据兰1980年代的猜想，上述关于d和n的决定，=0的解集大 小的条件，可以用所讨论簇的精确的代数一几何和复解析性质替代 兰早期的大部分工作源于他
20、对丢番图方程的兴趣在博士论文22中，兰获得了一 个关于局部域和函数域上低次多项式方程的引人注目的新结果丢番图方程自然地将兰 引到代数群及其齐性空间的研究23与这些密切相关的是兰的特征P的函数域类域理 论24】和他与内龙合作的关于任意特征的函数域上的莫德尔一韦伊定理29】基于后者， 沿着莫德尔和西格尔所研究的方向，兰转向曲线整点30和除点【31的有限性的研究 在30、31中，他提出了关于半阿贝尔簇的子簇的著名猜想(后来，在41】，42，43 中，兰又回到这些思想上来，提出关于任意簇的丢番图猜想，这里我们不打算回顾兰随 后在这方面的工作)整点问题与丢番图逼近中的问题相互交织，而后者的思想和方法与
21、超越理论相同；兰在这些方面都做出了重要贡献32，33，34，38，39，40，5 这些只是兰早期工作所研究主题的一小部分兰对这些主题的影响是本质的他不 仅对基本的结果有贡献，同时他也试图通过清晰地定义这些主题的范围，提出基本问题， 给出深刻的猜想来重新组织和系统化其中的每个主题下面我们详细回顾这些主题 1局部域上的低次方程 E阿廷定义拟代数闭域 为这样的域(用兰的术语， 域22】)，任意满足nd 的 系数n元d次型在 中有非平凡零点他注意到曾炯之的方法60】意味着代数 闭域上的一元函数域是c1的，并猜想有限域是 的；这由Chevally(谢瓦莱)证实9】 阿廷还猜想某些“局部域”，例如Q 一进
22、域的最大非分歧扩张)，是 的这个猜想 由兰在他的博士论文中证明221；下面是他的策略兰首先用Witt(维特)坐标把系数在 K=Q苫 中的方程f=0变换成系数在素域 的代数闭包k中的无穷多元无限维方程 组fo=fl=，2=0他可以用纯代数一几何的思想在尼的闭代数扩张k1上解这个 无穷维方程组这里对维数d的假设是用于控制无穷维方程组的各种截断定义的代数集 合的维数由该方程组在 1中的解，他得到了f=0在 1中的一个解， 1是剩余域为 的一个完备域接着他着力把这个解变成 中的一个解， 是 的完备化最后， 他通过一个漂亮的论证，当中使用了“牛顿逼近”的一个变形，从 中的一个解得到了 中的解上面概述的证
23、明包含了一些富有成果的新思想，这些思想为其他数学家获得 进一步的发展提供了出发点包含“牛顿逼近”的那一步是M阿廷关于代数方程逼近形 353 式解工作的一个由来【4，这对他关于模的工作至关重要 上的方程可以转化成k上的 无穷维方程组的观点被MGreenberg(格林伯格)19】推广到一般的背景中且以后被广泛 用到；特别的，它在Raynaud54，55关于除点的兰猜想31的工作中发挥了作用；参考 下面的讨论 2有限域上齐性空间的点 在23】中，兰证明了他的著名定理：若Fq是有限域，那么代数群G 。的任意齐性空 间HFq都有一个Fg一点证明简单漂亮，过程如下：设a(k)一G( )，X (q)是七一点
24、的q 次弗罗贝尼乌斯映射，其中k是F口的代数闭包兰证明了映射a(k)一G( )，XX ( ) 是满射然后他选取任意点Yo日( )由G一作用的传递性，存在点XOG( )，使得 XOoq)=Y0由于 X-1 (q)是满射，存在点XlG( )，使得XO= 因此 ； =yo；从而(xly0)(q)=xlyo，这样就找到了想要的点xlyo日(F口)兰的定理 推广了FKSchmidt(施密特)关于椭圆曲线的一个结果，也推广了Chtelet(夏特莱)的 一个结果，后者曾证明了如果F 上的一个簇是Fq代数闭包到射影空间 的同构，那 么这个簇即是F0到 的同构 在24，25，23中，兰使用映射 一 (q)作为有
25、限域上函数域类域理论(等价于 有限域上簇的覆盖)的关键部分他证明了阿贝尔覆盖本质上可以由适当的交换代数群 的同源映射诱导(XX (a)是一个基本的例子)，并且引入他的互反性映射，该映射产 生了预期的性质有意思的是注意到这个函数域理论是在E阿廷1920年代建立其原型 数域理论3很久以后才发展起来；在数论历史上，数域的定理通常都是在其函数域的类 似定理证明之后获得(参考下面对莫德尔猜想的讨论)就现在所讨论的课题，函数域 的类似结果不得不等待直到必要的代数一几何(尤其是阿贝尔簇的代数理论)工具可以利 用才得以建立 3函数域上阿贝尔簇的点的有限生成 兰沿着韦伊，周炜良和松阪辉久的开创性工作，积极构建阿
26、贝尔簇的代数理论基础 【26，27，28利用这个理论，兰和内龙29对代数几何学中一些基本的有限性定理给出了 简洁的证明内龙50】已经证明了“内龙一塞韦里”基定理：(代数闭域k上)簇 的除 子群D(V)模零代数等价类构成的除子群D。( )是有限生成的在29中，兰和内龙给 出了如何将证明D(V)D。( )的有限生成归结为证明形式为A(K)TB(K)的群的有限 生成，这里A是k上函数域 上的一个阿贝尔簇，(B，7-)是A的Kk一迹然后他们证 明A(K)TB(k)是有限生成的，这就是函数域情形的“莫德尔一韦伊定理回忆数域情 形的莫德尔一韦伊定理，它断言对于数域 上的任意阿贝尔簇A，群A(K)是有限生成
27、 的后者是庞加莱提出的猜想，莫德尔48证明了维数A=1，K：Q的情形，韦伊66 证明了一般的情形这里，数域情形再次在函数域情形之前得到证叽 4整点，有理点和除点 1960年左右兰开始对与莫德尔猜想有关的问题感兴趣；这个猜想以及兰对它的洞察 的影响有很长的历史我们简要地勾画这方面思想的演化如下；我们的讨论先天不足， 354 目的只是对兰早期的一些思想在这个方向起的作用给出一个线索莫德尔【48】猜想数域 上亏格g 2的非奇异射影曲线 只有有限多个点在 中特别的，当，是3变元 Q系数的次数 4的非奇异齐次多项式时，在相差一个常数乘子的意义下，方程，=0 在Q中只有有限多个解利用丢番图逼近，西格尔58
28、】证明了如果 是数域 上亏格 g 1的仿射曲线，那么 只有有限个整点(即坐标在 的整数环的点)Mahler(马勒) 45猜想这些事实对s一整点也成立(S是有限素点 )集)，他证明了g=1，K=Q的情 形在30】中兰借鉴丢番图逼近(罗思定理)和阿贝尔簇(特别是兰一内龙的文章【29)的 新发展，重新审视西格尔和马勒的论证，证明了马勒猜想兰在30】中还给出了一个猜 想，随后他在31】中把这个猜想加强为后来著名的(关于半阿贝尔簇的子簇)兰猜想： (，Ic)设G是特征为0的代数闭域F上的半阿贝尔簇，设V C G是子簇，F C G是 有限秩子群那么 包含有限多个G的满足 )nF C uiXi(F)的代数子
29、群平移 这里r秩有限，是指dimQF0Q0使得不是 的极点的任意点PE(K)有 l西(P)I ( (P)+2)一。， 其中h是内龙一泰特高度，最近被David(戴维)和Hirata-Kohno11，10】(基于Ably的 工作以及Gaudron【16的推广)证实这个猜想的原始形式37事实上将常数c用EK 和 更为明显地表示出来这个精确的估计仍然是未解决问题关于兰这个猜想的研究 历史请参考11】截止2000年线性群的丢番图逼近的深入介绍，请参考65】_阿贝尔簇上 丢番图逼近的更多内容，参考4，43，49 在【38】中，兰证明了Cartier(卡吉耶)的一个猜想：如果G是数域 上的代数群， Ol(
30、LieG)( )使得t卜呻expG( )不是代数函数，那么exp(OL)在 上是超越的对于 线性群G，这转化为经典的指数函数的结果有新意的是非线性情形；当G是阿贝尔簇 时，兰的结论是关于 函数的一个超越性结果兰通过其超越性准则导出上述定理，该 准则推广了Gelfond(盖尔芳德)【17】和Schneider(施奈德)【57的方法他的准则是这样 的：设 是数域，91， 是C上的P阶亚纯函数，满足域K(g1，g )在 上的 356 超越度 2假定dldt将Kgl，g 映到自身设Wl，W c是满足g(wj)K 的不同的复数那么m lOpK： 利用施耐德的想法，兰在39，40】中将他的超越 性准则推广
31、到了多元亚纯函数特别的，在40中他导出了著名的“六指数定理 如果 1， C是Q一线性无关的，Z1，Z2，z3C是Q一线性无关的，那么e 这6个数不全 是代数的(显然西格尔已经知道这个结果，兰重新发现了它，他第一个发表证明)以同 样的思路，兰证明了：如果 是数域 上的阿贝尔簇，F c A(K)是 的1一参数子群 中秩 7的子群，则这个1一参数子群是代数的，即椭圆曲线后来，利用深刻的解析论 证，邦别里和兰5把这个结果推广到了s一参数子群至1997年的超越性理论的综合介 绍，参考15 参考文献 (略) 赛尔日兰对超越数理论的贡献(Michel Waldschmidt) 当赛尔日兰于1960年代早期开
32、始研究超越数理论时，这个方向并不时髦，它在短 短几年后就开始流行，这当然归功于赛尔日兰的工作，也归功于A贝克的贡献那 时，这个方向被看成是非常专门的，不属于主流的一部分，只有少数专家从事这方面的 研究证明多少有些神秘：为什么可以证明某些结果，而其它猜想仍然未被攻克? 由于出色的洞察力和非凡的教学天赋，兰参与进来并对这个课题的至少两个非常不 同的方面做出贡献：一方面，他简化了论证(有时有点过)，第一个给出非常清晰的易于教 学的证明；另一方面，他引入新的工具，比如群簇，使该方向更接近许多数学家的兴趣 六指数定理的证明是他在该方向引入简单性的一个很好例证他的论证很清晰；可 以理解，比如，为什么构造辅
33、助函数是很有用的工具至今很可能没有人知道为什么这 个方法没有导致四指数猜想的解决，但这事情稍后一定会弄清有几个数学家知道六指 数定理；兰是第一个发表其证明的人(不几年后，KRamachandra(拉马钱德拉)重新发 现了证明) 另一个漂亮的例子是所谓的施耐德一兰判别法施耐德在1949年就提出关于亚纯 函数代数值的一般陈述施耐德的这个陈述非常强大；它包含了数个超越理论的结果， 它也是第一个同时包含关于log(3i超越性的Hermite-Lindemann(埃尔米特一林德曼)定 理，希尔伯特第七问题 的超越性的盖尔芳德一施奈德解，以及六指数定理的结果然 而，旌耐德的判别法非常复杂；陈述的本身就包含
34、了很多技术假设后来，1957年(在他 的关于超越数理论的书中)施耐德提出一个处理满足微分方程的函数的简化版本(代价是 推论中没有了六指数定理，而施耐德没有清楚地陈述这个定理)兰发现了一些漂亮的假 设，使其能给出简单而优美的结果 兰还将施奈德一兰判别法推广到了多元情形，同样利用施奈德的思想(他于1941年 引入这个想法用于证明欧拉的Beta函数在有理点的值B(口，b)的超越性)兰的多元推广 用到了嘉当乘积MNagata(永田雅宜)提出了一个涉及代数超曲面情形的更强陈述 这个猜想由邦别里于1970年解决，他用了Schwarz(簏瓦茨)引理的多元推广这个推广 357 由邦别里和兰使用HSrmande
35、r(赫尔曼德尔)的一些深刻的 。估计获得可讽的是邦别 里的定理只需笛卡儿乘积的部分即足以给出贝克定理奇妙的证明贝克定理的这一证明 (及其在椭圆曲线的推广)由D贝特朗和DWMasser于1980年发现 在卡吉耶猜想提出之后，兰在超越数理论中引入群簇概念卡吉耶问兰是否有可能 将乘法群的埃尔米特一林德曼定理推广到代数数域上的交换代数群这正是兰1962年证 明的结果那时关于椭圆函数甚至阿贝尔函数的超越性只有少数的结果(由西格尔和施 奈德获得)而在这种情况下兰引入的代数群是该领域很多重要进展的开端 在兰对超越数理论(以及丢番图逼近和丢番图几何)的诸多贡献中，最少的不是他提 供新见解的许多猜想相反的，他有
36、一个习惯，思考情况应当是怎样的，这令人印象深 刻，事实上，他成功地摆脱了已有结果和方法的约束他在自己的预言上几乎不犯错误， 尤其与他提出的大量猜想相比他对这个方向的描述在长时间内都将是发展的向导 兰关于模单位和弗罗贝尼乌斯分布的工作(David ERohrlich) l972年兰加入耶鲁大学数学系，在那里直到退休兰转到耶鲁时恰逢他研究方向的 改变，这个转变反映了整个数论的一个拓广的趋势：尽管之前自守形式理论只是专家们 热衷的领域，到1970年代早期模形式和Langlands(朗兰兹)纲领在数论各领域专家们的 思想中起着中心作用就兰的情况，这些影响在他与Kubert合作的关于模单位以及与 Tro
37、tter(特罗特)合作的关于弗罗贝尼乌斯分布的工作中尤为明显 1模单位 关于模函数域的自守形式的两个简要注记(论文全集中【1971c和1973两篇文 章)标志着兰对模函数逐步地感兴趣，但他对这个领域的主要贡献是他与Kubert合作的 关于模单位的工作，这些工作分布在l9751979年很长的一系列文章中，后来收集在他 们1981年出版的书模单位中这些工作包含两个截然不同的部分：其一是模单位的 函数理论，其二是在椭圆单位中的应用 a函数论部分 Kubert和兰讨论的问题大体上可以对任意的紧黎曼曲面 和 上任意非空有限点 集 陈述设 是支集在 上的零次除子类构成的 的除子类群的子群如果愿意， 可以将
38、 看成是 的由S在阿尔巴内塞嵌入下的像生成的雅可比子群无论如何，问 题是确定 是否是有限的，以及当它有限时计算其阶 实际中，这个问题没什么意思：如果 的亏格 1，那么对S的大多数选择，可以 预期 是秩为 一l的自由阿贝尔群，没有更多可说的了然而，在Kubert和兰的工 作中， 是模曲线，s是其尖点集马宁18和Drinfeld(德林费尔德)9之前已证明了 这种情形下cs的有限性，但他们的证明依赖于对Hecke(赫克)算子的巧妙运用，而没 有给出cs阶的任何信息Kubert和兰发现了马宁德林费尔德定理的一个完全不同的 证明证明的关键在于列出一大族 上除子的支集在s上的函数(顺便提一下，这些 函数是
39、“模单位如果Rs是 的函数域的子环，由在s外全纯的函数构成，那么模单 位实际上就是 的单位群冗 的元素)在最佳的情形，特别当 是模曲线，通常记为 358 ()，N是素数P 5的幂次，Kubert和兰用某些与广义伯努利数b2， 非常接近的“伯 努利一嘉当数”导出cs的一个显式表达式广义伯努利数在Dirichlet(狄利克雷) 函 数 (s，X)在8=-1的值的公式中出现 这个工作立即被Mazur(马祖尔)和Wiles(怀尔斯)191应用到经典的1wasawa(岩 泽健吉)理论主猜想的证明，此后还有很多其它的应用与其有用性相去甚远的是这个工 作可以视为“马宁一芒福德猜想”的对应物，兰f1965b职
40、业生涯的早期为回应为猜想冠 名的作者们提出的问题，给出了对该猜想的说明该猜想断言亏格 2的曲线 在阿尔 巴内塞嵌入下的像与 的雅可比挠子群只有有限个交点这个猜想的强形式由Raynaud 于1983年证明23】，整个课题后来由Coleman的“挠率包(torsion packet)”5】理论丰富 完善 上的挠率包是指 中点的如下等价关系的一个等价类： P兰Q n(PQ)是首要的对某些几 1 与此尤为相关的是由贝克1】给出的Coleman，Kaskel和Riber的一个猜想的证明，由这 个证明可知对大多数的(特别包括N=P ，P在一个小的有限集外)，X(N)上的尖点挠 率包恰好由尖点构成因此，Ku
41、bert和兰的结果提供了一个相对罕见的曲线的例子对 这条曲线，其上的非平凡挠率包在阿尔巴内塞嵌入下的像生成的雅可比子群的阶可以显 式地计算出来 b椭圆单位 现在我们视模函数厂为复上半平面 上的函数而不是模曲线上的函数给定一个虚 二次域 ，我们可以将 嵌入到c并估计厂在7-K n 的值从Kronecker(克罗内 克)和Weber(韦伯)时代就已经知道对适当选取的，和丁，值厂(7_)生成 的射线类域 厶且若厂是模单元，那么厂(7-)是 的模单位概略地说， 的椭圆单位群是这样获 得的单位群，且这个理论的一个主题是椭圆单位群在 的所有单位群中的指标应与 的 类数密切相关获得这种类型的一个最好的描述已
42、被证明是一个渐进的过程Kubert和 兰的努力基于西格尔28，拉马钱德拉22】，尤其是Robert(罗伯特)24的工作，他们还 从Sinnott【29的工作中获得灵感Sinnott解决了当基域由K换成Q时产生的类似问题 (此时分圆单位起椭圆单位的作用)最终是兰的博士研究生Kersey获得了这个理论的一 些决定性的结果例如，他确定了 的希尔伯特类域日中椭圆单位的根构成的群，使 得这个群在日的所有单位构成的群中的指标恰好是日的类数事实上，在 模单位 的与类数公式相关的部分Kersey是第3作者 近几年，椭圆单位理论一定程度上被岩泽理论的更广阔的进展所包含，也显得黯然 失色特别是Rubin(鲁宾)【
43、25】关于虚二次域的岩泽理论主猜想一元和二元情形的证 明但对有限层次的显式公式的需要实际上没有停止最近ALozano Robledo【17】和 ALFolsom12的工作说明了14世纪前罗伯特和Kubert一兰所考虑问题的持久生命 力 2弗罗贝尼乌斯分布 “兰一特罗特猜想”的思想包含两部分不同的主题，分别在书 GL2一扩张中的弗罗 359 贝尼乌斯分布(Frobenius distribution in GL2一extension)(整体作为篇文章f1976d收 集在 论文全集中)和文章“椭圆曲线的本原点”1977b1中展开这两个工作的共同点 除了皆与特罗特合作外，都是关注椭圆曲线中出现的弗罗
44、贝尼乌斯分布这里“弗罗贝尼 乌斯分布”这一术语广泛地包含代数数论或丢番图几何中自然出现的任何从素数到整数 的任意函数Pa(p)因此E表示Q上的椭圆曲线，是其极小判别式 aGL2一扩张中的弗罗贝尼乌斯分布 这-d,节我们假定 没有复乘法对P十，令 口 )=1+PlE(Fp)f， 其中E是E模P的余给定整数t和虚二次域 ，兰和特罗特考虑映射Pa(p)的 相应于他们称之为“固定迹”与嘘二次”分布的计数函数 ( )和 )由定义， ( )是满足a(p)=t的素数Px(p f)的个数， ( )是使多项式 。一a(p)X+P 分解成K中线性因式的素数P x(p f)的个数当然，这个多项式只是作用于E的 一进
45、泰特模 P)的弗罗贝尼乌斯元 Gal(QQ)的特征多项式“固定迹分布” 的迹”意指a(p)的这个解释事实上，兰和特罗特对任意满足特定严格容许条件的 一 进表示族 ：Gal(QQ)一GL(2，z )定义了 ( )和 ( )这些条件是乘积表示到 GL(2，厄)的像是GL(2，z)的开子群，且pe(ap)的特征多项式形式为 0(p) +P，其 中a(p)Z，I。(p)l 2 作者顺便问到除来自椭圆曲线的表示族外是否还存在这样的 表示族就我所知，他们的问题还没有明确的文献给予回答无论如何，在这个框架下， 兰和特罗特定义某些常数Ct 0和CK0(不仅依赖于容许簇 )，也依赖于t，K)，并 猜想当 _时，
46、 Nt )一et zlog NK 。G cK zf log X 这里我们遵循兰一特罗特的约定，若C =0，那么关系式 ( )一at、 log 是指 ( ) 当 大时是常数(换句话说此时素数集是有限集合) 我们把这个猜想称为兰一特罗特第一猜想，下面讨论的关于本原点的猜想称为兰一 特罗特第二猜想第一猜想的一个重要方面是Ct和CK的精确定义，它基于一个概率模 型这一特色区别于早前Tuskina研究超奇异素数(t=0的情形)的渐近性【30的努力 后者没有用概率模型，也没有对CO的值做任何预测类似的评论也适合于VKMurty 的论文f21，当中对兰特罗特的猜想在其它方面做了很大的推广另一方面，Bayer
47、和 Gonzdlez2在研究阿贝尔簇的超奇异素数的渐近性时确实考虑了一个概率模型，将兰一 特罗特的模型做了推广 兰一特罗特第一猜想令人震惊的是它显然完全难以实现正如兰曾经指出的，猜想 包含在“黎曼假设的一个误差项里”然而，仍然有一些与猜想有关的结果(在很大程度上 都是关于椭圆曲线 的而非满足兰特罗特公理的抽象容许族 )_首先，至少Elkies 【10的定理Q上的椭圆曲线有无穷多超奇异素数与猜想一致，因为兰和特罗特 证明了此种情形C00与猜想一致的还有很多关于 ( )和 K( )的“小O”的结果 ) 360 最早的是塞尔的观察，即这些函数是o(xlogX)(也就是说所得到的素数集密度为0)，甚 至o(x(1og ) )(见26，27)，这里 1关于 ( )的界的进一步改进由Wan31 和VKMurty20】得到超奇异素数情形，界0( )：O(x0 )由Elkies，Kaneko和 MRMurty11证得还有一些结果是关于0 x)(FouvryMurty13)和更一般的 ( ) (戴维一Pappalardi8】)的“平均”增长率的猜测平均是在自然的一族双参数椭圆曲线上 取对于 ( )，目前最好的上界是最近Cocojaru，Fouvry
