1、1,概 率 论,2,第三章 多维随机变量及其分布,关键词：二维随机变量分布函数 分布律 概率密度边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度条件分布函数 条件分布律 条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度M=max(X,Y)的概率密度N=min(X,Y)的概率密度,3,1 二维随机变量,问题的提出例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需 要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身 高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一 样本空间的两个随机变量。例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的 弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而 它们是定
2、义在同一样本空间的两个随机变量。,4,定义：设E是一个随机试验，样本空间S=e；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。,定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。,5,分布函数 的性质,6,7,二维离散型随机变量,定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限对或可列无限对，则称(X,Y)是离散型随机变量。,离散型随机变量的联合概率分布：为二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布。 可以用如右表格表示：,8,分布律的性质,例1：设随机变量X在1、2、3、
3、4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1X中等可能地取一 整数值，试求(X,Y)的联合概率分布。,解：(X=i,Y=j)的取值情况为：i=1,2,3,4；j取不大于i的正整数。,即(X,Y)的联合概率分布为：,9,10,二维连续型随机变量,11,12,例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：,13,14,例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度(1) 求常数k；(2) 求概率解：,15,2 边缘分布,二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数记为： 称为边缘分布函数。,事实上，,16,对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为,X,Y的边缘
4、分布律为：,注意：,17,对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为,事实上，,同理：,X,Y的边缘概率密度为：,18,19,例2：(X,Y)的联合分布律为求：(1)a,b的值；(2)X,Y的边缘分布律；(3),(2),解：(1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4,20,例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机 变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布。现设(X,Y)在有界区域 上均匀分布，其概 率密度为 求边缘概率密度解：,21,22,23,3 条件分布,正如对两事件A,B，若 可以考虑条件概率 一样，对二维离散型随机变量(X,Y)，其分布律为
5、：我们也可以考虑条件概率,由条件概率公式可得：,24,定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的yj，,同样，对于固定的xi，,25,例1：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球，在其中任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取到红球的只数。求（1）X，Y的联合分布率；（2）X=1时Y的条件分布率；(3) Y=0时X的条件分布率。,解：X, Y的联合分布率为,26,故在X=1的条件下，Y的分布律为：,同理P(Y=0)=1/5，故在Y=0的条件下，X的分布律为：,27,例2：一射手进行射击，击中目标的概率为 射击直至击 中目标两次为止，设以X表示首次击中目标所进行的射击次 数，以Y表示总
6、共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律和 条件分布律。解：,28,29,定义：条件分布函数,30,定义：条件概率密度,31,由定义：,事实上，,32,例3：设二维随机变量(X,Y)在区域(x,y): y x1内均匀分布，求条件概率密度,二维均匀分布的条件分布仍为均匀分布,解： 根据题意，(X,Y) 的概率密度为：,Y的边缘概率密度为：,于是给定y(-1y1)，X的条件概率密度为：,33,34,4 相互独立的随机变量,35,例1：1例2中X和Y 是否相互独立？(X,Y)具有概率密度,连续型随机变量X,Y相互独立，其密度函数有何特征？,X和Y的边缘概率密度分别为：,36,37,38,39,40,
7、41,一般n维随机变量的一些概念和结果,42,边缘分布如：,43,相互独立,44,定理1：定理2：,45,5 两个随机变量的函数的分布,46,例1：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求的概率密度。,解：由卷积公式：,一般：设X,Y相互独立，,47,例2：X,Y相互独立，同时服从0,1上的均匀分布，求的概率密度。,解：根据卷积公式：,易知仅当,参考图得：,48,例3：设X,Y相互独立、服从相同的指数分布，概率密度 为： 求 的概率密度。,解：根据卷积公式：,49,一般的，可以证明： 若X,Y相互独立，且分别服从参数为 X,Y的概率密度分别为证明：这是例3的推广，由卷积公式,由此可知：,50,
8、51,推广到n个相互独立的随机变量的情况设X1,X2,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为： 则：,52,53,例5：设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联结而成，联 结的方式分别为：(1)串联；(2)并联；(3)备用(当系统L1损坏时，系统L2开始工作)。如图，设L1,L2的寿命分别为X,Y，已知它们的概率 密度分别为：试分别就以上三种联结方式写出L的寿命Z的概率密度。,54,串联的情况由于当L1,L2中由一个损坏时，系统L就停止工作，所以L的寿命为Z=min(X,Y)；而X,Y的分布函数分别为：故Z的分布函数为：于是Z的概率密度为：,即Z仍服从指数分布,55,并联的情况由
9、于当且仅当L1,L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z=max(X,Y)，Z的分布函数为：于是Z的概率密度为：,56,备用的情况由于这时当系统L1损坏时，系统L2才开始工作，因此整个系统L的寿命Z是L1,L2寿命之和，即Z=X+Y； 因此：,57,复习思考题 3,1.设(X,Y)为二维向量，则Px1Xx2,y1Yy2=F(x2,y2)-F(x1, y1),对吗？2.设(X,Y)为二维连续量，则PX+Y =1=0,对吗？3.(X,Y)为二维连续型向量，f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，fX(x)和fY(y)分别为关于X和Y的边缘概率密度，若有一点(x0,y0)使f(x0,y0
10、) fX(x0)fY(y0)则X和Y不独立，对吗？,58,关键词：数学期望方差协方差相关系数,第四章 随机变量的数字特征,59,问题的提出：在一些实际问题中，我们需要了解随机变量 的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度；考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度；,60,1 数学期望,例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下：评定他们的成绩好坏。,解：计算甲的平均成绩：,计算乙的平均
11、成绩：,所以甲的成绩好于乙的成绩。,61,定义：定义：,数学期望简称期望，又称均值。,62,例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。解：,问题：将2个电子装置并联联接组成整机，整机的平均寿命又该如何计算？,只要求出一般指数分布的期望（即E(X1)，就可得到E(N).,63,例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。,解：X的分布律为：,64,例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0
12、.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内期望利润是多少？,解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，,设Y表示一周内所获利润，则,65,例5：,66,例6：,67,68,69,例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截面的直径X进行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截面面积S的数学期望。,70,例8：,71,例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为：,72,73,数学期望的特性：,这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况,74,证明：,下面仅对连续型随机变量给予证明：,
13、75,例11：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就 不停车，以X表示停车的次数，求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立),本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和 的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望， 这种处理方法具有一定的普遍意义。,解：引入随机变量：,76,例12：,77,2 方差,设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时平均寿命为1000小时； 另一批灯泡寿命为： 一半约1300小时，另一半约700小时平均寿命为1000小时；问题：哪批灯泡的质量更好？,单从
14、平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。方差正是体现这种意义的数学特征。,78,定义：,79,对于离散型随机变量X，,对于连续型随机变量X，,此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式：,80,例1：设随机变量X具有数学期望,81,例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为：解：,82,例3：解：,83,例4：,解：X的概率密度为：,84,例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度 为：,即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数,85,方差的性质：,86,证明：,87,例6：,例7：解：,90,例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y
15、相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。,91,表1 几种常见分布的均值与方差,数学期望 方差,分布率或 密度函数,分布,92,3 协方差及相关系数,对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容。定义：,93,协方差的性质：,94,相关系数的性质：,续,95,96,97,例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为：X -1 0 1P 1/4 1/2 1/4 已知P(X = Y )=0,判断X和Y是否不相关？是否不独立？,98,99,续,100,续,101,102,例3：设X,Y相互独立服从同一分布
16、，记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与V是否一定不相关，是否一定独立？,103,4 矩、协方差矩阵,104,利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到n维正态变量的概率密度。,107,n维正态变量具有以下四条重要性质：,108,复习思考题 4,1.叙述E(X)和D(X)的定义。,109,4.试述计算随机变量X的函数g(X)的数学期望Eg(X)的两种方法。5.设XN(,2),用如下两种方法求E(X2)：(1)E(X2)=D(X)+E(X)2=2+2；(2) E(X2)=E(X.X)=E(X). E(X)=2；两种结果不一样，哪一种错？为什么？6.设X和Y为两随机变量，且已知D(X)
17、=6, D(Y)=7,则D(XY)=D(X)D(Y)=67=10,这与任意一个随机变量的方差都不小于零相矛盾，为什么？,110,7.考虑100包水泥的总重量Y用以下两种方式表示：(1)设第i袋水泥的重量为Xi , i=1,2,100, 由题意知, Xi N(50,2.52),Y=Xi , 则YN(100*50,100*2.52)；(2)设一包水泥的重量为X, 由题意知 XN(50,2.52)。若将100包水泥的总重量看成是1包水泥的100倍，即Y=100X, Y是X的线性函数，则：E(Y)=100E(X)=100*50, D(Y)=1002D(X)=1002*2.52YN(100*50,1002*2.52)这两种方法得到的总重量的分布不一样(因为方差不同，后者方差是前者的100倍)，试问哪一种正确？8.试问D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)对吗？,2019/4/4,课件结束!,
