1、- 1 -荆门市 2014-2015 学年度高三年级元月调研考试数 学（文）本试卷共 4 页，22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。祝考试顺利注意事项：1、答卷前，先将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、考试结束后，请将答题卡上交。一、选择题（本大题共 10 小题，每小题
2、 5 分，共 50 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1集合 ，则26,30AxNBxR ABIA B C D 3,4545,6x 36x2下列命题中，真命题是 A ，使得 B 0xR0xe 2sin(,)ikZC D 是 的充分不必要条件2,1,ab13若 ， 是两条不重合的空间直线， 是平面，则下列命题中正确的是mnA若 ， ，则 B若 ， ，则/m/mn/C若 ， ，则 D若 ， ，则m4要得到函数 的图象，只需将函数 的图象 si2yxsi(2)3yxA向右平移 个单位长度 B向左平移 个单位长度6 6C向右平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度35对于函数 若
3、 ，则函数 在区间 内 2(),fxmn()0,()fafb()fx(,)abA一定有零点 B一定没有零点 C可能有两个零点 D至多有一个零点6曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 12xye2(4,)A B C D2e24e29e7点 是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分(,)x且包括边界）的任意一点，若目标函数 取得最zxayC(4,2)B(5,1)A(2,0)Oy x第 7 题图- 2 -小值的最优解有无数个，则 的最大值是 yxaA B 2325C D 16148在平面直角坐标平面上， ，且 与 在直线 l 的方向向量上的(,)(3,1)OAurrOAurB投影的长度相等
4、，则直线 l 的斜率为A B C 或 D1425254529对于一个有限数列 ， 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为12(,)npp，其中 ，若一个 99 项的12()nSn 12(1,)kkSnkN 数列（ 的蔡查罗和为 1000，那么 100 项数列 的蔡查罗和9, 129,p为A991 B992 C993 D99910设双曲线 的右焦点为 ，过点 作与 轴垂直的直线 交两21(0)xyabb， Fxl渐近线于 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 ，设 为坐标原点，若, PO， ，则双曲线的离心率为(,)OPABRurur316A B C D235298二、填空题(本大题共 7 小题，
5、每小题 5 分，共 35 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)11若 ，若 ，则 |1|()(3xf ()2fxx12在ABC 中，若 ，则角 sinAiBsinC7813C13已知 克糖水中含有 克糖（ ） ，若再添加 克糖（ ） ，则糖水就变得更ba0bm0甜了试根据这一事实归纳推理得一个不等式 14由直线 上的点向圆 引切线，1yx22(3)()1xy则切线长的最小值为 15某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为 第 15 题图- 3 -16若函数 在其定义域内的一个子区间21()lnfxx内存在极值，则实数 的取值范围
6、(1,aa17已知函数 21()(2),(1,2)xxf g 若 ，使 成立，则实数 的取值范围为 ；0,0fm若 ， 使得 ，则实数 的取值范围为 12,x2,x12()fxga三、解答题(本大题共 5 小题，共 65 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18 （本小题满分 12 分）已知向量 ，设函数2(cos,1(3sin,co)2xxmrr ()fxmnA（ ） 求 在区间 上的零点；)fx0,（ ） 若角 是 中的最小内角，求 的取值范围BAC()fB19 （本小题满分 12 分）已知等比数列 na满足： ，且 是 的等差中项28432a342,a（）求数列 的通项公式；（）若
7、数列 an是单调递增的，令 ， ，求使nnb21lognbS21成立的正整数 的最小值5021nS20 （本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ， , SABCDABSABCD2SA点 是 的中点， ，且交 于点 MDNSN（）求证: 平面 ；/M（）求证：直线 平面 ；（）求直线 与平面 所成角的余弦值21 （本小题满分 14 分)第 20 题图- 4 -某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是（单位:万元） 现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 （单位:万元）随10, y投资收益 （单位:万元）的增加而增加，且奖金不超过 万元，同
8、时奖金不超过投资收益的x 520%（）若建立函数模型 制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励模型函数应满足的()yfx条件；（）现有两个奖励函数模型： ； 试分析这两个函数模型是1()20yx2()logyx否符合公司要求- 5 -22 （本小题满分 14 分）如图，已知圆 E: ，点 ， P 是圆 E 上任意一点线段 PF 的垂直2(3)16xy(3,0)F平分线和半径 PE 相交于 Q（）求动点 Q 的轨迹 的方程；（）设直线 l与()中轨迹 相交于 BA,两点，直线 OBlA,的斜率分别为 )0(,21kk其 中)0(,21kk其 中 的面积为 S，以 ,为直径的圆的面积分别为 S若O21
9、,恰好构成等比数列，求 21的取值范围第 22 题图- 6 -荆门市 2014-2015 学年度高三年级元月调研考试数学(文)参考答案及评分标准一、选择题：（每小题 5 分，10 小题共 50 分）1B 2D 3C 4B 5C 6A 7B 8C 9D 10A二、填空题：（每小题 5 分，5 小题共 25 分）11 ； 12 ； 13 （ 且 ） ； 1423mba0m； 15 16 ； 17 ； 1732 3 31,)23,(1,3三、解答题:(本大题共 6 小题，共 75 分)18因为向量 ，函数 (cos,1(sin,co)xxmrr ()fxnrg所以 2 分231s)3ini2f 4
10、分1sicosi()26xx（1）由 ，得 ()0f 1in2， 或 6 分=+6xk 5=+6xkZ， 或 ，又 ， 或 23 ， 0,x3x所以 在区间 上的零点是 、 8 分()fx0,3（2）由已知得 从而10 分(,B(6，12 分1sin(),62 1)sin)(,02fB19. （1）设等比数列 na的首项为 1，公比为 .q依题意，有 324()，代入 2348a， 可得 38， 2分 240a，2138,0,aq解之得 12,qa 或 1,3.4 分- 7 -当 12,qa时， ； 当 1,23.qa时， 2na612na数列 n的通项公式为 或 6 分n6n（2）等比数列
11、an是单调递增的， ， 12lognnb，22(1)nnS 8 分23 1(n 由，得12.nn 10 分150nS即 150，即 15n易知：当 时， ，当 时，4 23n 162452n故使 1n成立的正整数 的最小值为 5. 12分20. (选修 2 一 1 第 109 页例 4 改编)方法一：（）证明：连结 交 于 ，连结 BDACEM是正方形， 是 的中点 ABCDQ是 的中点， 是 的中位线MSS 2 分/E又 平面 ， 平面 ， 平面 4 分 （）证明：由条件有 ,SADC 平面 ， 6 分DC.M又 是 的中点， ,SA.S 平面 .S由已知 ， 平面 8 分NAN（）由()知
12、 面 ，则直线 在面 内的射影为 ，CNM 为所求的直线 与面 所成的角 10 分CM又 ，在 中 2SABRtDM2,6C又 3由 可得 SNC NS631cos3NM12 分直线 与平面 所成角的余弦值为 13 分MA1- 8 -21 (必修一第 127 页例 2 改编)（）设奖励函数模型为 ，则该函数模型满足的条件是：()yfx当 时， 是增函数；10,x当 时， 恒成立；,()5fx当 时， 恒成立 5 分10,xf（） （1）对于函数模型 ，它在 上是增函数，满足条件；1()20yx10,但当 时， ，因此，当 时， ，不满足条件；80x585y故该函数模型不符合公司要求 8 分（2
13、）对于函数模型 ，它在 上是增函数，满足条件2()logyx10,时 ，即 恒成立，满足条件10 分10xmax2l10l5()5fx设 ，则 ，又 2()log5h()ehx10,10x ，所以 在 上是递减的， 12 分010ex(),因此 ，即 恒成立满足条件2()log4h5xf故该函数模型符合公司要求； 综上所述，函数模型 符合公司要求 14 分2lyx22(选修 2 一 1 第 49 页习题第 7 题改编)（）连结 QF，根据题意，| QP| QF|，则| QE| QF| QE| QP|4 ，|23EF故动点 Q 的轨迹 是以 E， F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆 2 分设其方程
14、为 ，可知 ， ，则 ，3 分2(0)xab2a23cab1b所以点 Q 的轨迹 的方程为为 4 分214xy()设直线 l的方程为 mky， ),(A， ),(2yxB由 142xky可得 0)1(48)4(22kx，由韦达定理有：- 9 -2214)1(8kmx且 0)4(62mk 6 分 ,k构成等比数列， = 21)(xk，即：210)(21x由韦达定理代入化简得： 42k 0k， 8 分此时 )(62m，即 )2,(又由 三点不共线得AOB、 、 0m从而 ,0,故 dABS|12212|kmxk|4)(22121xx|10 分又 4y则 21S)(221yx )243(21x)(632x45为定值 12 分S2145|m当且仅当 时等号成立 1m综上： ),14分
