1、1苏 北 四 市 数 学 试 题数学 必做题部分（本部分满分 160 分，时间 120 分钟）参考公式：锥体的体积公式： 13VSh，其中 是锥体的底面面积， h是高一、填空题：本题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡上1设复数 12i,izm(R， i为虚数单位 ),若 12z为实数,则 m的值为 2已知集合 Aa， 1,B，且 AB，则实数 a的值是 3某林场有树苗 3000 棵，其中松树苗 400 棵为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本，则样本中松树苗的棵数为 4在 BC的边 上随机取一点 P, 记 CP和 的面积分别为 1
2、S和 2，则12S的概率是 5已知双曲线21xyab的一条渐近线方程为 20xy，则该双曲线的离心率为 6右图是一个算法流程图，则输出 S的值是 7函数 ()lg23)xf的定义域为 8若正三棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 1，则此三棱锥的体积为 9在 ABC中，已知 ， o0A，且 BC的面积为 1534，则 边长为 10已知函数 ()2fx，则不等式 (2)(1fxf 的解集为 11已知函数 ()sin()(04fxx的最大值与最小正周期相同，则函数 ()fx在1，上的单调增区间为 12设等比数列 na的前 项和为 nS，若 435a， ， 成等差数列，且 3kS， 163k，其中 kN，
3、则 2kS的值为 13在平面四边形 ABCD中，已知 AB， 2DC，点 ,EF分别在边 ,ADBC上，且3E， 3F若向量 与 的夹角为 60，则 的值为 开始结束输出 S10n2YN0,n（第 6 题图）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题，共 20 题） 。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，
4、在其它位置作答一律无效。4如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。214在平面直角坐标系 xOy中，若动点 (,)Pab到两直线 1l： yx和 2l： yx的距离之和为 2，则 2ab的最大值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分 14 分)已知向量 (cos,in)a， (2,1)b(1)若 b，求 的值；(2)若 2， (0,)，求 sin()4的值16(本小题满分 14 分)如图，在三棱锥 PABC中，点 ,EF分别是棱 ,PCA的中点(1)求证： /平面 ；(2)若平
5、面 平面 ， ，求证： B17(本小题满分 14 分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点 O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点 O的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆的半径为 10 米设小圆弧所在圆的半径为 x米，圆心角为 （弧度）（1）求 关于 x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的装饰费用为 9 元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为 y，求 关于 x的函数关系式，并求出 为何值时， y取得最大值？PA BCFE（第 16 题图）O(第 17 题图)318(本小题满分
6、 16 分)已知 ABC的三个顶点 (1,0)A， (,)B， (3,2)C，其外接圆为 HA(1)若直线 l过点 ，且被 H截得的弦长为 2，求直线 l的方程；(2)对于线段 上的任意一点 P，若在以 为圆心的圆上都存在不同的两点 ,MN，使得点 M是线段 N的中点，求 A的半径 r的取值范围19(本小题满分 16 分)已知函数 325(fxaxb（ ,为常数） ，其图象是曲线 C（1）当 a时，求函数 ()f的单调减区间；（2）设函数 ()f的导函数为 ，若存在唯一的实数 0x，使得 0()fx与0fx同时成立，求实数 b的取值范围；（3）已知点 A为曲线 C上的动点，在点 A处作曲线 的
7、切线 1l与曲线 交于另一点 B，在点 B处作曲线 的切线 2l，设切线 12,l的斜率分别为 2,k问：是否存在常数，使得 21k？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由4FEDCBA(第 21(A)图)20 （本小题满分 16 分）已知数列 na满足 1x， 23a， 2*113(,)nnSnN ， nS是数列n的前 项和(1)若数列 n为等差数列（）求数列的通项 n；（）若数列 b满足 2na，数列 nc满足 21nntbt，试比较数列n前 项和 B与 c前 项和 C的大小；(2)若对任意 *N， 1n恒成立，求实数 x的取值范围数 学 试 题 数学 附加题部分注意事项1 本试卷共 2
8、 页，均为非选择题（第 21 题第 23 题，共 4 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2 作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A(选修 41：几何证明选讲)（本小题满分 10 分）如图，点 为锐角 的内切圆圆心，过点 A作直线的垂线，垂足为 F，圆 与边 A相切于点 E若 50C，求 DE的度数B(选修 42：矩阵与变
9、换)（本小题满分 10 分）设矩阵 0abM（其中 0ab ， ） ，若曲线 C： 21xy+=在矩阵 M所对应的变5换作用下得到曲线214xCy：，求 ab+的值C(选修 44：坐标系与参数方程)（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知直线 l的参数方程是24xty，（ t为参数） ；以O为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C的极坐标方程为 2cos()4由直线 l上的点向圆 C引切线，求切线长的最小值D(选修 45：不等式证明选讲)（本小题满分 10 分）已知 ,abc均为正数,证明： 2221()63abcabc 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10
10、分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）某品牌汽车 4S店经销 ,ABC三种排量的汽车，其中 ,ABC三种排量的汽车依次有，4，3 款不同车型某单位计划购买 3 辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能(1)求该单位购买的 3 辆汽车均为 种排量汽车的概率；(2)记该单位购买的 3 辆汽车的排量种数为 X，求 的分布列及数学期望23 （本小题满分 10 分）已知点 (1,0)A， (,)F，动点 P满足 2|AFP(1)求动点 P的轨迹 C的方程；(2)在直线 l： 2yx上取一点 Q，过点 作轨迹 C的两条切线，切点分别
11、为 ,MN问：是否存在点 ，使得直线 MN/l？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由6参考答案数学部分一、填空题：1 2 2 1 3 20 4 13 5 6 25 7(,0)8 6 9 7 10 1,11 ,12 129 13 141二、解答题：15 （1）由 ab可知， 2cosin0a，所以 sin2cos，2 分所以 sinc1o2sco3 6 分（2）由 (cs,in1)ab可得，22o(si64cos2in，即 12csin0， 10 分又 22cosi1，且 (,)2 ，由可解得，3sin54co，12 分7所以 223472sin()(sinco)()4510 14 分
12、16 （1）在 PAC中， E、 F分别是 PC、 A的中点，所以 /PAEF，又 平面 B， 平面 BE，所以 /平面 6 分（2）在平面 内过点 作 D，垂足为 因为平面 PAB平面 C，平面 PAB平面 CAB，D平面 ，所以 平面 ,8 分又 C平面 ，所以 ，10 分又 PB， PB， D平面 PAB，平面 A，所以 C平面 ，12 分又 平面 ，所以 BCP 14 分17(1)设扇环的圆心角为 ，则 3012(0)x，所以 102x，4 分(2) 花坛的面积为 2 21(0)(5)1050,(1)xxx 7 分装饰总费用为 98()7x， 9 分所以花坛的面积与装饰总费用的比225
13、050=11(7)xy， 11 分令 17tx，则 39143()00yt ，当且仅当 t=18 时取等号，此时2,x答：当 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大14 分(注：对 y也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)18(1)线段 AB的垂直平分线方程为 0x，线段 BC的垂直平分线方程为 30xy，PA BCFED8所以 ABC外接圆圆心 (0,3)H，半径 2130，圆 H的方程为 22xy 4 分设圆心 到直线 l的距离为 d，因为直线 l被圆 H截得的弦长为 2，所以2(10)3d当直线 l垂直于 x轴时，显然符合题意，即 3x为所求；6 分当直线 l不垂直于 轴时，设直线方程
14、为 2()yk，则231k，解得 43k，综上，直线 l的方程为 x或 60y 8 分(2)直线 BH的方程为 30y，设 (,)1),(PmnNxy ，因为点 M是线段 PN的中点，所以 ,2xyM，又 ,M都在半径为 r的圆C上，所以 222(3)(),.xyrmn即222(3)(),64.xyrmn10 分因为该关于 ,xy的方程组有解，即以 (,)为圆心， r为半径的圆与以(6,4)n为圆心，2r为半径的圆有公共点，所以 2222()(36)(4)()rmnr ,12 分又 30mn，所以 222109rmr， 对 01，成立而 21f，在0，1上的值域为 ，10，所以325235r且
15、 r0 915 分又线段 BH与圆 C无公共点，所以 22(3)()mr对 01m，成立，即9235r.故圆 C的半径 r的取值范围为 104,)35 16 分19(1)当 2a时， 2()35(31)2fxx. 2 分令 f (x)0，解得 12x，所以 f(x)的单调减区间为 (,) 4 分(2) 2()35fxa，由题意知203005axxb消去 a，得 3200b有唯一解6 分令 325()gxx，则 2()651()31gxxx，所以 在区间 1(,， ,3上是增函数，在 ,2上是减函数，8 分又 1()28g， 7()54g，故实数 b的取值范围是 1,)(,)8 10 分(3)设
16、 0(,)Axf，则点 A处切线方程为 00()(yfxfx，与曲线 C： (yx联立方程组，得 0)，即2005()()x，所以 B点的横坐标 05(2)Bx 12 分由题意知， 2100()3kfxa， 2200055()14kfxxa，若存在常数 ，使得 21k，则 2000(3)4a，即存在常数 ，使得 25(4)35)(1)x，所以40,25(1).a解得 ， a 15 分10故 251a时，存在常数 4，使 21k； 25a时，不存在常数 ，使 2k16 分20(1)（）因为 2*113(,)nnSnN ，所以 3214S，即 324a，又 2,ax，所以 3149ax， 2 分又
17、因为数列 n成等差数列，所以 213，即 6149xx，解得 1，所以 *11nadnnN； 4 分（）因为 *2nN，所以 210nab，其前 n项和 0nB，又因为 22164n nctbtt，5 分所以其前 项和 2nnCtB，所以 281n nCtB，7 分当 14t或 2t时， n；当 14t或 2t时， n；当 t时，nCB9 分（2）由 2*113(,)nnSnN 知 2*213()nnSnN，两式作差，得 *2163(,)na ，10 分所以 *321()nnN,作差得 *36(2,)nanN ， 11 分所以，当 时， 1nax；当 31nk时， 32636234k xknx；当 时， 14998nka ；
