1、 单因素方差分析在数理统计中的应用摘 要:在详细阐述单因素方差分析原理的基础上,通过两个具体的数学建模案例,说明单因素方差分系的应用及与假设检验的关系,并利用 Matlab 实现了两个案例的求解。在数理统计的授课过程中,这种结合不仅能激发学生的学习兴趣,而且能培养学生自己动手、解决问题的能力。关键词:单因素方差分析;数理统计;数学建模;应用;假设检验0 引言方差分析又称“变异数分析”或“F 检验”,是由 R. A. Fisher 发明的,用于对两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。单因素方差分析是检验在一种因素影响下,两个以上总体的均值彼此是否相等的一种统计方法。由于单因素方差分析的原理抽象
2、、计算繁琐、导致教学枯燥无味。基于此,文中详细阐述了单因素方差分析的原理,通过两个具体的数学建模案例,说明单因素方差分系的应用及与假设检验的关系,并利用 Matlab 实现了两个案例的求解。在数理统计的授课过程中,这种从理论到应用,再从应用到上机实现的过程,让学生体会到“学以致用”的真正含义,激发了学生的学习兴趣,同时也提高了学生的动手能力。1 单因素方差分析原理设单因素 A 具有 r 个水平,分别记为 A1,A2,Ar ,在每个水平 Ai (i =1,2,r)下,要考察的指标可以看成一个总体 Xi (i =1,2,r)且 Xi N(i ,2 ),水平 Ai (i =1,2,r)下,进行 ni
3、 次独立试验,样本记为 Xij ,i =1,2,r,j =1,2,ni ,Xij N(i ,2)且相互独立。1. 1 建立假设假设检验为 H0:1 = 2 = = r . ,备择假设为 H1:1,2,r 不全相等。由于 Xij - i = ij ,记 = ni i ,n = ni . ,i = i - ,i =1,2,r,则1数学模型为:Xij = + i + ij ,i =1,2,r,j =1,2,nini i =0ij N(0,2),各个 ij 相互独立,i 和 2 未知故原假设改写为: H0:1 = 2 = = r =0 (1)1. 2 构造统计量为了构造检验假设(1)的统计量,首先,需
4、要找到引起 Xij波动的原因。从 Xij = + i + ij 中可以看出,若检验假设(1)为真,则 Xij的波动纯粹是随机性引起的;若检验假设(1)为假,则 Xij 的波动是由第 i 个水平和随机性共同引起的。因而,需要构造一个量来刻画 Xij 之间的波动,并把引起波动的上述两个原因用另外两个量表示,这就是方差分析中的平方和分解法。记 Xi. = Xij , = Xijn1xn1引入 ST = (Xij - )= (Xij -Xi) + (Xi - )= SE + SA又因为 SA = (X -i -X ) = (i + i - )SE = =(Xij -Xi. )= (ij - i)。若
5、H0 成立,SA 只反映随机波动,若 H0 不成立,SA 还反映了 A 的不同水平效应 i 。单从数值上看,当 H0成立时,SA / (r -1) SE / (n - r)1,而当 H0 不成立时,这个比值将远大于 1。可以证明:ST / 2 2 (n -1);SE / 2 2 (n- r);SA / 2 2(r -1),且 SE 与 SA 相互独立。故构造统计量 F = (n - r)SA/(r -1)SE F(r -1,n - r)。1. 3 对于给定的水平 ,确定拒绝域由于 H0 不真时,SA 值偏大,导致 F 值偏大。因此,1)若 F F1 - a (r -1,n - r)时,拒绝 H
6、0,表示因素 A 的各水平下的效应有显著差异;2)若 F 时接受 H02 数学建模案例在概率论与数理统计中的应用2. 1 案例 1让 4 名学生前后做 3 份测验卷,得到如表 2 的分数,推断 3 份测验卷测试的效果是否有显著性差异表 2 学生测试分数表序号 试卷 A 试卷 B 试卷 C学生 1 71.7 73.4 72.3学生 2 71.5 72.6 72.1学生 3 70.1 72.3 70.8学生 4 70.6 72.2 71.6解:编写程序如下:clc,clearx = 71. 773. 472. 371. 572. 672. 170. 172. 370. 870. 672. 271.
7、 6;p = anova1(x)x1 = x(:,1);x2 = x(:,2);x3 = x(:,3);h1,p1 = ttest2(x1,x2,0. 05,0)h2,p2 = ttest2(x1,x3,0. 05,0)h1,p3 = ttest2(x2,x3,0. 05,0)求得 0. 01 p =0. 0198 0. 05,所以拒绝原假设,说明 3 份测验卷至少有 2 份测试的效果有显著性差异。通过双正态总体假设检验的分析,得到 h1 =1,拒绝原假设,说明第 1 份测验卷与第 2 份测试卷测试的效果有显著性差异,h2 =0,h3 =0,接受原假设,说明第 1 份测验卷与第 3 份测试卷、
8、第 2 份测验卷与第 3 份测试卷测试的效果没有显著性差异,又因为 p2 =0. 2003, p3 =0. 0754, 说明第 1 份测验卷与第 3 份测试卷测试的效果更相似。这个案例为同一时间需要区分 A,B 卷的出题老师,提供了较好的选择。2. 2 案例 2从某学校同一年级中随机抽取 20 名学生,再将他们随机分成 4 组,在 2 周内 4 组学生都用120 分钟复习同一组概率公式,第一组每个星期一复习一次 60 分钟;第二组每个星期一和三两次各复习 30 分钟;第三组每个星期二、四、六三次各复习 20 分钟;第四组每天(星期天除外)复习 10 分钟。2 周复习之后,相隔 2 个月再进行统
9、一测验,其结果如表 3 所示。推断这 4 种复习方法的效果之间有没有显著性差异?表 3 测试成绩表序号 第一组 第二组 第三组 第四组1 24 29 30 272 26 25 28 313 20 21 32 324 28 27 30 335 22 28 266 30解:编写程序如下:clc,clearx = 2429302726252831202132322827303322282630;x = x(1:5),x(6:10),x(20),x(11:15),x(16:19);g = ones(1,5),2nes(1,6),3nes(1,5),4nes(1,4);p = anova1(x,g)x1
10、 = x(1:5);x2 = x(6:11);x3 = x(12:16);x4 = x(17:20);h1,p1 = ttest2(x1,x2,0. 05,0)h2,p2 = ttest2(x1,x3,0. 05,0)h3,p3 = ttest2(x1,x4,0. 05,0)h4,p4 = ttest2(x2,x3,0. 05,0)h5,p5 = ttest2(x2,x4,0. 05,0)h6,p6 = ttest2(x3,x4,0. 05,0)求得 0. 01 p =0. 0140 0. 05,所以拒绝原假设,说明这 4 种复习方法中至少有 2 种复习方法的效果之间有显著性差异。通过双正态总
11、体假设检验的分析,得到 h1 = h4 = h5 = h6 =0,接受原假设,说明第 1 种与第 2 种、第 2 种与第 3 种、第 2 种与第 4 种、第 3 种与第 4 种复习方法的效果之间没有显著性差异。而 h2 =h3 =1,拒绝原假设,说明第 1 种与第 3 种、第 1 种与第 4 种复习方法的效果之间有显著性差异。案例 2 说明,复习方法应该采用重复记忆的方式,一次的复习时间也不能太短。3 结语在实际授课过程中,将理论知识条理化,扩充一些理论与实际相结合的例子,对于较复杂的计算方法利用 matlab 实现,不仅可以促进学生对理论知识的理解,让学生深刻体会到理论在实际中的应用,而且可以加强学生的动手操作能力,从而激发学生学习兴趣,更有利于实现应用型人才的培养目标。参考文献:1 易昆南,程勋杰. “假设检验”决策的误区场由全国大学生数学建模竞赛引发的争论J. 重庆理工大学学报(自然科学版),20132 姜启源,谢金星,叶俊编. 数学模型M. 4 版. 北京:高等教育出版社,2012.3 魏宗舒,等. 概率论与数理统计教程M. 北京:高等教育出版社, 2001.4 吴赣昌. 概率论与数理统计M. 理工类 4 版. 北京:中国人民大学出版社,2011.
