1、变分法的发展与应用应用数学 11XX 班 XXX 104972110XXXX摘要：变分法是研究泛函卡及值的数学分支，其基本问题是求泛函(函数的雨数)的极值及相应的极值函数。变分法是重要的数学分支，与诸如微分方程、数学物理、极小曲面用论、微分几何、黎曼几何、积分力程、拓扑学等许多数学分支或部门均有密切联系。变分法有着广泛的应用：变分法构成了物理学中的种种变分原理，成为物理学理论不可缺少的组成部分，是研究力学、弹性理论、电磁学、相对论、量子力学等许多物理学分支的重要工具；变分法通过“直接方法”而成为近似计算的有效于段，为微分方程边值问题的数值解法开辟了一条途径，形成了有限元方法的基础之一。近年来，
2、变分法又在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。关键词：起源；发展；应用1. 引言变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。变分法起源于一些具体的物理问题学问题，最终由数学家研究解决。变分法在科学与技术的各个领域尤其是在物理学中有着十分重要的作用，它提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。它们在材料学中研究材料平衡中大量使用。微分几何中的测地线的研究也是显
3、然的变分性质的领域。近年来，变分法在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。2. 变分法的起源物 理 学 中 泛 函 极 值 问 题 的 提 出 促 进 了 变 分 学 的 建 立 和 发 展 ，而 变 分 学 的 理 论 成 果 则 不 断 渗 透 到 物 理 学 中 。费 马 从 欧 几 里 得 确 立 的 光 的 反 射 定 律 出 发 提 出 了 光 的 最 小 时间 原 理 ： 光 线 永 远 沿 用 时 最 短 的 路 径 传 播 。 他 原 先 怀 疑 光 的 折 射定 律
4、， 但 在 1661 年 费 马 发 现 从 他 的 光 的 最 小 时 间 原 理 能 够 推 导 出折 射 定 律 ， 不 仅 消 除 了 早 先 的 怀 疑 ， 而 且 更 加 坚 信 他 的 原 理 。受 费 尔 马 的 影 响 ， 约 翰 伯 努 利 研 究 了 “最 速 降 线 ”问 题 ：A给 定 空 间 中 的 两 个 点 ,其 中 比 高 ， 求 一 条 连 接 两 点 的 曲 线 使abb得 一 个 质 点 从 沿 曲 线 下 降 到 用 时 最 少 。变分法对于几何的应用在早期主要是对曲面上的测地线和欧氏空间中给定边界的极小曲面（Plateau 问题）的研究。但在很长时间
5、内仅限于一些特殊情形，没有重要进展。3. 变 分 法 的 发 展18 世 纪 是 变 分 法 的 草 创 时 期 ， 建 立 了 极 值 应 满 足 的 欧 拉 方 程并 据 此 解 决 了 大 量 具 体 问 题 。 19 世 纪 人 们 把 变 分 法 广 泛 应 用 到 数学 物 理 中 去 ， 建 立 了 极 值 函 数 的 充 分 条 件 。 20 世 纪 伊 始 ， 希 尔 伯特 在 巴 黎 国 际 数 学 家 大 会 讲 演 中 提 到 的 23 个 著 名 数 学 问 题 中 就有 三 个 与 变 分 法 有 关 ， 变 分 法 的 思 想 贯 穿 了 R.库 朗 和 希 尔
6、伯 特 所著 的 数 学 物 理 方 法 一 书 。 而 H.M.莫 尔 斯 的 大 范 围 变 分 法 则 是20 世 纪 变 分 法 发 展 的 标 志 (见 莫 尔 斯 理 论 )。1744 年 ， 欧 拉 在 “发 现 具 有 某 种 极 大 或 极 小 性 质 的 平 面 曲 线的 方 法 ”一 文 中 研 究 了 使 得 积 分10,()xJyfyxd达 到 极 大 或 极 小 的 函 数 的 求 解 方 法 。 也 就 把 “最 速 降 线 ”问 题 化 为 求 积 分 的 极 小 问 题 。假 定 给 定 的 两 个 点 是 和 ， 其 中 ;连 接 两0,1a0,bx0x点
7、的 曲 线 是 ,满 足 ;初 始 时 ,质 点 的 速 度 为 0,高yxy度 为 1,根 据 能 量 守 恒 定 律 有 :2/Emghv211()0gyxtv即 而 又 有 222222 ,1dxdxyxdvy ytttttA将 其 带 入 式 得 2,1gt gt2dxt2,y,12dtdxgy对 两 边 进 行 积 分 可 得 到 质 点 的 时 间 为b02,1()xyTydxg于 是 问 题 就 转 化 为 求 上 式 积 分 达 到 极 小 值 。4. 变 分 法 的 应 用 变 分 法 的 关 键 定 理 是 欧 拉 拉 格 朗 日 方 程 。 它 对 应 于 泛 函 的临
8、界 点 。 在 寻 找 函 数 的 极 大 和 极 小 值 时 ， 在 一 个 解 附 近 的 微 小 变化 的 分 析 给 出 一 阶 的 一 个 近 似 。 它 不 能 分 辨 是 找 到 了 最 大 值 或 者最 小 值 （ 或 者 都 不 是 ） 。 变 分 法 在 理 论 物 理 中 非 常 重 要 ： 在 拉 格 朗 日 力 学 中 ， 以 及 在最 小 作 用 原 理 在 量 子 力 学 的 应 用 中 。 变 分 法 提 供 了 有 限 元 方 法 的数 学 基 础 ， 它 是 求 解 边 界 值 问 题 的 强 有 力 工 具 。 它 们 也 在 材 料 学中 研 究 材 料
9、 平 衡 中 大 量 使 用 。 而 在 纯 数 学 中 的 例 子 有 ， 黎 曼 在 调和 函 数 中 使 用 狄 利 克 雷 原 理 。 同 样 的 材 料 可 以 出 现 在 不 同 的 标 题 中 ， 例 如 希 尔 伯 特 空 间 技术 ， 莫 尔 斯 理 论 ， 或 者 辛 几 何 。 变 分 一 词 用 于 所 有 极 值 泛 函 问 题 。微 分 几 何 中 的 测 地 线 的 研 究 是 很 显 然 的 变 分 性 质 的 领 域 。 例 ： 推 导 弦 的 自 由 振 动 方 程 （ 设 弦 两 端 点 固 定 ）取 坐 标 系 如 图 ， 用 函 数 表 ， 在 时 刻
10、 t 点 x 的 横 向 位 移 。(,)uxt取 弦 段 ， 此 段 的 伸 长 量 是,x22221111xxxxudududu在 此 段 中 ， 弹 性 位 能 与 伸 长 量 成 正 比 ， 即 2xk于 是 位 能 为 20txkud又 动 能 为 （ 是 质 量 线 密 度 ）201ttTxud()x作 用 量 为 212201,t xxStkutd这 是 多 元 函 数 的 泛 函 ， 它 的 尤 拉 方 程 是(,)uxt22,0tktxu所 以 txu参 考 文 献 ：1H伊夫斯著，欧阳绛，张理京译，数学史概论M太原：山西人民出版社，1986217R 柯朗，希尔伯特著，钱敏，郭敦仁译，数学物理方法(第一卷)M北京：科学出版社，1958 3 老大巾编著，变分法基础M北京：国防工业出版社，2004 4陈传森,外推法及其分析M,湘潭大学数学系讲义,1984.
