1、第一章 绪论1-120 的水 2.5m3，当温度升至 80时，其体积增加多少？解 温度变化前后质量守恒，即 21V又 20时，水的密度 31/.98mkg80时，水的密度 27321569.V则增加的体积为 3120679.m1-2当空气温度从 0增加至 20时，运动粘度 增加 15%，重度 减少 10%，问此时动力粘度 增加多少（百分数）？解 原原 ).()5.1(原原原 0303. 5.原 原原原 原此时动力粘度 增加了 3.5%1-3有一矩形断面的宽渠道，其水流速度分布为 ，式中 、 分/)5.0(2.02yhgu别为水的密度和动力粘度， 为水深。试求 时渠底（y=0）处的切应力。hmh
2、5解 /)(02.ygdyu)(.h当 =0.5m， y=0 时h)05.(879102. Pa8791-4一底面积为 4550cm2，高为 1cm 的木块，质量为 5kg，沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动，木块运动速度 u=1m/s，油层厚 1cm，斜坡角 22.620 （见图示） ，求油的粘度。解 木块重量沿斜坡分力 F 与切力 T 平衡时，等速下滑u yuATmgdsin01.45.062sin89usPa171-5已知液体中流速沿 y 方向分布如图示三种情况，试根据牛顿内摩擦定律 ，定性yud绘出切应力沿 y 方向的分布图。解第二章 流体静力学2-1一密闭盛水容器如图所示，U 形测压计
3、液面高于容器内液面 h=1.5m，求容器液面的相对压强。解 ghpa0kPae 7.14580.912-2密闭水箱，压力表测得压强为 4900Pa。压力表中心比 A 点高 0.5m，A 点在液面下1.5m。求液面的绝对压强和相对压强。yuu uuyuuy = 0y y0=0y解 gpA5.0表 Pa4908.104910 表 Paa382-3多管水银测压计用来测水箱中的表面压强。图中高程的单位为 m。试求水面的绝对压强 pabs。解 )2.13()2.15()4.152()4.103(0 gpgggp a汞水汞水 pa汞水汞水 .3.6. kPaa 8.6.90.890639802 30 水汞
4、2-4 水管 A、B 两点高差 h1=0.2m，U 形压差计中水银液面高差 h2=0.2m。试求 A、B 两点的压强差。 （22.736Nm 2）解 221)(ghphgpBA水 银水 PaB 2736).0(8.9102.89106.3)( 31 水水 银2-5水车的水箱长 3m,高 1.8m，盛水深 1.2m，以等加速度向前平驶，为使水不溢出，加速度 a 的允许值是多少？解 坐标原点取在液面中心，则自由液面方程为：xgaz0当 时， ，此时水不溢出ml5.12mz6.0218.00/93.6sxza2-6矩形平板闸门 AB 一侧挡水。已知长 l=2m，宽 b=1m，形心点水深 hc=2m，
5、倾角=45 ，闸门上缘 A 处设有转轴，忽略闸门自重及门轴摩擦力。试求开启闸门所需拉力。解 作用在闸门上的总压力： NAghpPcc 392018.910作用点位置： myJcD 946.145sini3mlhycA 82.145sin2si)(oADyPlT kNlA 9.30cos2).96.(30cs)(2-7图示绕铰链 O 转动的倾角 =60的自动开启式矩形闸门，当闸门左侧水深 h1=2m，右侧水深 h2=0.4m 时，闸门自动开启，试求铰链至水闸下端的距离 x。解 左侧水作用于闸门的压力： bhgAhFcp 60sin2111右侧水作用于闸门的压力： cp i222 )60sin31
6、()60sin31( 22hxFhxp)60sin31()i(2 2 hxbgbg s)si( 2211 xhxh)60in4.31(4.06n32 mx795.02-8一扇形闸门如图所示，宽度 b=1.0m，圆心角 =45，闸门挡水深 h=3m，试求水对闸门的作用力及方向解 水平分力： kNbhgAhFxcpx 145.320.81902压力体体积： 3 221629. )45sin3(81)45sin(mV 铅垂分力： kNgVFpz 1.629.10合力： kNFpzxp 59.41.45.222方向： arctnarctpxz2-9如图所示容器，上层为空气，中层为 的石油，下层为3mN
7、8170石 油的甘油，试求：当测压管中的3mN1250甘 油甘油表面高程为 9.14m 时压力表的读数。 解 设甘油密度为 ，石油密度为 ，做等压面 1-1，则有12)6.3.7()6.34.9(1 gpgpGG28.5196.3784522kN/m7.32-10某处设置安全闸门如图所示，闸门宽 b=0.6m，高 h1= 1m，铰接装置于距离底 h2= 0.4m，闸门可绕 A 点转动，求闸门自动打开的水深 h 为多少米。解 当 时，闸门自动开启2hD612)2(1)(3hbhAJcC将 代入上述不等式Dh4.0612h.h得 m342-11有一盛水的开口容器以的加速度3.6m/s 2沿与水平面
8、成 30o夹角的斜面向上运动，试求容器中水面的倾角。解 由液体平衡微分方程 )dd(zfyxfp， ，03cosafxy )30sin(agzG BA 空 气 石 油 甘 油 7.623.61.529.14m11hh hA1 2在液面上为大气压， 0dp)3sin(30coszagxa269.0icotndz0152-12如图所示盛水U形管，静止时，两支管水面距离管口均为h，当U形管绕OZ轴以等角速度旋转时，求保持液体不溢出管口的最大角速度 max。解 由液体质量守恒知， 管液体上升高度与 管液体下降高度应相等，且两者液面同在一等压面上，满足等压面方程： Czgr2液体不溢出，要求 ，h2I以
9、 分别代入等压面方程得： bra21,2g2maxbh2-13如图， ，上部油深h 11.0m，下部水深h 22.0m，油的重度 =8.0kN/m3，求：06 平板ab单位宽度上的流体静压力及其作用点。解 合力 kN2.46 60sin60sin210sin1 212 油水油 hhhbP作用点：a bh zabI ImhkNhP69.262.40sin1 1油k7.09.3si202水mhkNP15.48.6sin302油hPhD03.26sin.B D1点 取 矩 ：对2-14平面闸门AB倾斜放置，已知45，门宽b1m，水深H 13m，H 22m，求闸门所受水静压力的大小及作用点。 4512
10、BA解 闸门左侧水压力： kNbhgP 41.625sin3807.912sin211 作用点： mh4.5i3i1 闸门右侧水压力： kNbhgP 74.215sin28.9102sin2 作用点： mh43.5i3i2总压力大小： kNP6721.621对B点取矩： D21hD67.349.074.6hm9D2-15如图所示，一个有盖的圆柱形容器，底半径R2m ，容器内充满水，顶盖上距中心为r0处开一个小孔通大气。容器绕其主轴作等角速度旋转。试问当r 0多少时，顶盖所受的水的总压力为零。解 液体作等加速度旋转时，压强 分布为Czgrp)2(积分常数 C 由边界条件确 定：设坐标原点放在顶盖
11、的中心，则当 时， （大气压） ，于是，0zr， ap)(220zrgpa在顶盖下表面， ，此时压强为z)(120ra顶盖下表面受到的液体压强是 p，上表面受到的是大气压强是 pa，总的压力为零，即 02)(2)(00 rdrdpRRa 积分上式，得，201rmr02-16 已 知 曲 面 AB 为 半 圆 柱 面 ， 宽 度 为 1m， D=3m， 试 求 AB 柱 面 所 受 静 水 压 力 的 水 平 分 力 Px 和 竖直 分 力 Pz 。 解 水平方向压强分布图和压力体如图所示： bggbDx 22281N30998032bggPz 22164173.398022-17图示一矩形闸门
12、，已知 及 ，求证 时，闸门可自动打开。ahHha154rRO0证明 形心坐标 2()510c hzhHaHa则压力中心的坐标为 321;2()01(/10)cDcDJzzAJBhhzHaa当 ，闸门自动打开，即Haz45第三章 流体动力学基础3-1检验 不可压缩流体运动是否存在？xyzzyuxu )(4u,2 ,2解（1）不可压缩流体连续方程0zyx（2）方程左面项； ； xu4y)(4yxzu（2）方程左面=方程右面，符合不可压缩流体连续方程，故运动存在。 3-2某速度场可表示为 ，试求：（1）加速度；（2）流线；0zyxtt；（3）t= 0 时通过 x=-1，y=1 点的流线；（4）该速
13、度场是否满足不可压缩流体的连续方程？ 解 （1） ta写成矢量即 y jia)1()(tytx0za（2）二维流动，由 ，积分得流线： yxud 1)ln()l(Ctytx即 2)(Ctyx（3） ，代入得流线中常数1,0t 12C流线方程： ，该流线为二次曲线 xy（4）不可压缩流体连续方程： 0zuyx已知： ，故方程满足。 0,1,zuyxu3-3已知流速场 ，试问：（1）点（1，1，2）的加速度是jyxi)3()24(3多少？（2）是几元流动？（3）是恒定流还是非恒定流？（4）是均匀流还是非均匀流？解 03zyxuzxy 0)2(3()12)(4(3 xzyxxyuutdaxzxyxx
14、x代入（1，1，2） 03)1()(xa同理： 9y因此 （1）点（1，1，2）处的加速度是 jia9103（2）运动要素是三个坐标的函数，属于三元流动（3） ，属于恒定流动0tu（4）由于迁移加速度不等于0，属于非均匀流。3-4以平均速度 v =0.15 m/s 流入直径为 D =2cm 的排孔管中的液体，全部经 8 个直径d=1mm 的排孔流出，假定每孔初六速度以次降低 2%，试求第一孔与第八孔的出流速度各为多少？解 由题意 sLsmDvqV /047./1047.2.415.032 ； ；1298.1398.v189.vnV Sdvvdq 12171211 4)9.0.0.(4 式中 S
15、n 为括号中的等比级数的 n 项和。由于首项 a1=1，公比 q=0.98，项数 n=8。于是462.798.0)(1qn smSdvnV /01.42321 /986980.7178 3-5在如图所示的管流中，过流断面上各点流速按抛物线方程： 对称分布，)(120maxru式中管道半径 r0=3cm，管轴上最大流速 umax=0.15m/s，试求总流量 Q 与断面平均流速 v。解 总流量： 020max)(1rArdudQsm/10.3.52 3420ax 断面平均流速： surv /75.2max20ax203-6利用皮托管原理测量输水管中的流量如图所示。已知输水管直径 d=200mm，测
16、得水银差压计读书 hp=60mm，若此时断面平均流速 v=0.84umax，这里 umax 为皮托管前管轴上未受扰动水流的流速，问输水管中的流量 Q 为多大？（3.85m/s ）解 gpuA2ppAA h6.12)(smhgupA /85.30.87.96.12vdQ/12534043-7图示管路由两根不同直径的管子与一渐变连接管组成。已知dA=200mm，d B=400mm，A 点相对压强 pA=68.6kPa，B 点相对压强 pB=39.2kPa，B 点的断面平均流速 vB=1m/s，A、B 两点高差z=1.2m 。试判断流动方向，并计算两断面间的水头损失 hw。解 BAvd224smvA
17、/41)0(22假定流动方向为 AB，则根据伯努利方程 wBA hgvpzgpz 22其中 ，取AB0.1BAzgvphw22.1807.9498073625.2m故假定正确。3-8有一渐变输水管段，与水平面的倾角为 45，如图所示。已知管径d1=200mm， d2=100mm，两断面的间距 l=2m。若 1-1 断面处的流速 v1=2m/s，水银差压计读数 hp=20cm，试判别流动方向，并计算两断面间的水头损失 hw和压强差 p1-p2。解 2124vdsmv/8)0(12假定流动方向为 12，则根据伯努利方程 whgvplgp45sin21其中 ，取ppl 6.1)(i21 0.1215
18、4.807.924.6.21 mgvhpw故假定不正确，流动方向为 21。由 pphlg6.)(45sin21 得 45sin6.21 lhppkPa58.3)i2.01(9873-9试证明变截面管道中的连续性微分方程为 ，这里 s 为沿程坐标。0)(1suAt证明 取一微段 ds，单位时间沿 s 方向流进、流出控制体的流体质量差m s 为)() )21)()(21()21(21(略 去 高 阶 项suA dsAsudsdsAsudms 因密度变化引起质量差为Adstm由于 s0)(1suAtdd3-10为了测量石油管道的流量，安装文丘里流量计，管道直径 d1=200mm，流量计喉管直径 d2
19、=100mm，石油密度 =850kg/m3，流量计流量系数 =0.95。现测得水银压差计读数hp=150mm。问此时管中流量 Q 多大？解 根据文丘里流量计公式得 036.87.19)1.02(.4.31)(242 dgKsLsmhqpV/3.51/0. 15.0)8.(6.9)(3 3-11离心式通风机用集流器 A 从大气中吸入空气。直径 d=200mm 处，接一根细玻璃管，管的下端插入水槽中。已知管中的水上升 H=150mm，求每秒钟吸入的空气量 Q。空气的密度 为 1.29kg/m3。解 ghpghpaa水水 22smhgvhgv gvhpppaa /75.429.1.0872200 2
20、2 气 水气水 气 水气气气 smdqV /5.4701343223-12已知图示水平管路中的流量 qV=2.5L/s，直径 d1=50mm，d 2=25mm， ，压力表读数为9807Pa，若水头损失忽略不计，试求连接于该管收缩断面上的水管可将水从容器内吸上的高度 h。解 smdqvdvqVV /093.52.143/743221212 OHgpgvp gvpa aa 222122 2121 398.07.0987.09.5)(00 OmHhaa 222 38.3-13水平方向射流，流量 Q=36L/s，流速 v=30m/s，受垂直于射流轴线方向的平板的阻挡，截去流量 Q1=12 L/s，并引
21、起射流其余部分偏转，不计射流在平板上的阻力，试求射流的偏转角及对平板的作用力。 （30；456.6kN）解 取射流分成三股的地方为控制体，取 x 轴向右为正向，取 y 轴向上为正向，列水平即 x方向的动量方程，可得： 02cosvqvqFVVy 方向的动量方程： 305.0241sinsini 122vqvqvV VV不计重力影响的伯努利方程： Cvp21控制体的过流截面的压强都等于当地大气压 pa，因此，v 0=v1=v2NF5.46 3610cos310 3-14如图（俯视图）所示，水自喷嘴射向一与其交角成60的光滑平板。若喷嘴出口直径d=25mm，喷射流量 Q=33.4L/s， ，试求射
22、流沿平板的分流流量 Q1、Q 2以及射流对平板的作用力F。假定水头损失可忽略不计。 解 v0=v1=v2 smdQ/076.825.143320 x 方向的动量方程： sLQvv/05.27./3825.0.6cosco)(1102y 方向的动量方程： NvF1.96sin)(03-15图示嵌入支座内的一段输水管，其直径从 d1=1500mm 变化到 d2=1000mm。若管道通过流量 qV=1.8m3/s 时，支座前截面形心处的相对压强为 392kPa，试求渐变段支座所受的轴向力 F。不计水头损失。解 由连续性方程： smdqvsmdqvvVV /29.0.1438/02.154.38221
23、212 ；伯努利方程： kPavpgg 89.32.0.139202032121 动量方程： kNFFvqdpdpFVV21.3828617.065697 )02.19(8.104.309.34.)()( 223 122112 3-16在水平放置的输水管道中，有一个转角 的变直径弯头如图所示，已知上游管04道直径 ，下游管道直径 ，流量 m3/s，压强 ，求md601md32 .25VqkPap140水流对这段弯头的作用力，不计损失。解 （1）用连续性方程计算 和AvBm/s； m/s12240516Vqvd2240563Qvd（2）用能量方程式计算 2pm； m210.5vg21.849vg
24、kN/m2212101.5.8491.p.()（3）将流段 1-2 做为隔离体取出，建立图示坐标系，弯管对流体的作用力 的分力为R，列出 两个坐标方向的动量方程式，得YXR和 yx和22cos45(cos450)ypdFQv21 21xv将本题中的数据代入：=32.27kN221 21cos45(cos45)4x VFpdqv=7.95 kN22y33.23kN xy10tan3.8xF水流对弯管的作用力 大小与 相等，方向与 F 相反。3-17带胸墙的闸孔泄流如图所示。已知孔宽B=3m，孔高h=2m，闸前水深H =4.5m，泄流量qV=45m3/s，闸前水平，试求水流作用在闸孔胸墙上的水平推
25、力F，并与按静压分布计算的结果进行比较。解 由连续性方程： smvsmBHqvhvV /5.7234/3.5412 ；动量方程：)(4.51 )3.57(410)5.42380792(1)(22211221kNFvqBghHvFqVVpp 按静压强分布计算 kNFkBhHg 4.5194.13)25.4(807.92)(2 3-18如图所示，在河道上修筑一大坝。已知坝址河段断面近似为矩形，单宽流量qV=14m3/s，上游水深h 1=5m，试验求下游水深h 2及水流作用在单宽坝上的水平力F。假定摩擦阻力与水头损失可忽略不计。解 由连续性方程： 21214/8.54hvsmBhqvvV；由伯努利方
26、程： mhhvgvg63.18.2)5(807.92)4( )(211221由动量方程：4-2 用式kNFhgvqvqFhgvFVVVp5.28 )63.15(807.912)8.6314(0)(2)( 2211112（4-3）证明压强差p、管径 d、重力加速度 g 三个物理量是互相独立的。解： = = = 将 、 、 的量纲幂指数代入幂指数行列式得= -2 0因为量纲幂指数行列式不为零，故 、 、 三者独立。4-4 用量纲分析法，证明离心力公式为 F= kWv2 / r。式中，F 为离心力；M 为作圆周运动物体的质量； 为该物体的速度；d 为半径；k 为由实验确定的常数。解：设 据量纲一致性
27、原则求指数 、 、 ：M： 1 = L ： 1 = T： -2 = - 解得 = 1 = 2 = -1 故 4-6 有压管道流动的管壁面切应力 ，与流动速度 、管径 D、动力粘度 和流体密度 有关，试用量纲分析法推导切应力 的表达式。解：解 由已知 选择 为基本量，m=3，n=5，则组成 n-m=2 个 项将 数方程写成量纲形式 解上述三元一次方程组，得 解上述三元一次方程组，得 代入 后，可表达成 即 4-7 一直径为 d、密度为 的固体颗粒，在密度为 、动力粘度为 的流体中静止自由沉降，其沉降速度 ，其中 为重力加速度， - 为颗粒与流体密度之差。试用量纲分析法，证明固体颗粒沉降速度由下式
28、表示：解：选 、 、 为基本量，故可组成 3 个 数，即 其中， 求解各 数， 即 对于 ，即 对于 ， 即 故 =0 化简整理，解出 又 与 成正比，将 提出，则 4-8 设螺旋浆推进器的牵引力 取决于它的直径 D、前进速度 、流体密度 、粘度 和螺旋浆转速度 。证明牵引力可用下式表示： 解：由题意知， 选 为基本量，故可组成 3 个 数，即 其中， 即 对于 即 对于 即 故 就 F 解出得 4-10 溢水堰模型设计比例 =20，当在模型上测得流量为 时，水流对堰体的推力为 ，求实际流量和推力。解：堰坎溢流受重力控制，由弗劳德准则，有 ，由 = = 而 所以， 即 4-13 将高 ，最大速
29、度 的汽车，用模型在风洞中实验（如图所示）以确定空气阻力。风洞中最大吹风速度为 45 。（1）为了保证粘性相似，模型尺寸应为多大？（2）在最大吹风速度时，模型所受到的阻力为 求汽车在最大运动速度时所受的空气阻力（假设空气对原型、模型的物理特性一致） 。解：（1）因原型与模型介质相同，即 故由 准则有 所以， （2） ，又 ，所以 即 4-14 某一飞行物以 36 的速度在空气中作匀速直线运动，为了研究飞行物的运动阻力，用一个尺寸缩小一半的模型在温度为 的水中实验，模型的运动速度应为多少？若测得模型的运动阻力为 1450 N，原型受到的阻力是多少？已知空气的动力粘度 ，空气密度为 。解：由 准则
30、有 即 所以 （2） 5-2 有一矩形断面小排水沟，水深 ，底宽 流速 水温为 15，试判别其流态。解： ， ，属于紊流5-3 温度为 的水，以 的流量通过直径为 的水管，试判别其流态。如果保持管内液体为层流运动，流量应受怎样的限制？解：由式（1-7）算得 时， （1）判别流态 因为 所以 ，属于紊流（2）要使管内液体作层流运动，则需 即 5-4 有一均匀流管路，长 ，直径 ，水流的水力坡度 求管壁处和 处的切应力及水头损失。解：因为 所以在管壁处： 处： 水头损失： 5-5 输油管管径 输送油量 ，求油管管轴上的流速 和 1 长的沿程水头损失。已知 ， 。解：（1）判别流态 将油量 Q 换成
31、体积流量 Q ，层流（2）由层流的性质可知 （3） 5-6 油以流量 通过直径 的细管，在 长的管段两端接水银差压计，差压计读数 ，水银的容重 ，油的容重 。求油的运动粘度。解：列 1-2 断面能量方程 取 （均匀流） ，则假定管中流态为层流，则有 因为 属于层流所以， 5-7 在管内通过运动粘度 的水，实测其流量 ，长 管段上水头损失 H2O，求该圆管的内径。解：设管中流态为层流，则 而 代入上式得验算： ， 属于层流 故假设正确。5-9 半径 的输水管在水温 下进行实验，所得数据为 ， ， 。（1）求管壁处、 处、 处的切应力。（2）如流速分布曲线在 处的速度梯度为 4.34 ，求该点的粘
32、性切应力与紊流附加切应力。（3）求 处的混合长度及无量纲常数 如果令 ，则 ？解：（1） （2） （3） 所以 = 又 若采用 ， 则 5-10 圆管直径 ，通过该管道的水的速度 ，水温 。若已知 ，试求粘性底层厚度 。如果水的流速提高至 ，如何变化？如水的流速不变，管径增大到 ， 又如何变化？解： 时， （1） （2） （3） 5-12 铸铁输水管长 =1000 ，内径 ，通过流量 ，试按公式计算水温为10、15两种情况下的 及水头损失 。又如水管水平放置，水管始末端压强降落为多少？解： (1)t=10 时，符合舍维列夫公式条件，因 ，故由式（5-39）有(2)t=15时，由式（1-7）得由
33、表 5-1 查得当量粗糙高度 则由式（5-41）得，5-13 城市给水干管某处的水压 ，从此处引出一根水平输水管，直径 ，当量粗糙高度 = 。如果要保证通过流量 ，问能送到多远？（水温 ）解： t=25时， 由式（5-41）得， 又 由达西公式 得 5-14 一输水管长 ，内径 管壁当量粗糙高度 ，运动粘度 ，试求当水头损失 时所通过的流量。解：t=10时，由式（1-6）计算得 ，假定管中流态为紊流过渡区因为 代入柯列勃洛克公式（5-35）得 = -2( )所以 = 检验： 因为 ,属于过渡区，故假定正确，计算有效。5-16 混凝土排水管的水力半径 。水均匀流动 1km 的水头损失为 1 m,
34、粗糙系数 ，试计算管中流速。解：水力坡度 谢才系数 代入谢才公式得 5-20 流速由 变为 的突然扩大管，如分为二次扩大，中间流取何值时局部水头损失最小，此时水头损失为多少？并与一次扩大时的水头损失比较。解：一次扩大时的局部水头损失为： 分两次扩大的总局部水头损失为： 在 、 已确定的条件下，求产生最小 的 值:即当 时，局部水头损失最小，此时水头损失为由此可见，分两次扩大可减小一半的局部水头损失。5-21 水从封闭容器 沿直径 ，长度 的管道流入容器 。若容器 水面的相对压强 为 2 个工程大气压， ，局部阻力系数 沿程阻力系数 ，求流量 。解：取 基准面，列 断面能量方程所以 = = Q=
35、 = 5-22 自水池中引出一根具有三段不同直径的水管如图所示。已知 ， ， ，局部阻力系数 求管中通过的流量并绘出总水头线与测压管水头线。解：取 基准面，则 断面方程得 其中， 5-23 图中 ， ，计算水银差压计的水银面高差 ，并表示出水银面高差方向。解：以 为基准面，据 又 = =7.65 5-25 计算图中逐渐扩大管的局部阻力系数。已知 ， 工程大气压， ， 工程大气压， ，流过的水量 。解：以 断面为基准面，据 又， 第六章 理想流体动力学6-1 平面不可压缩流体速度分布为Vx=4x+1；Vy=-4y.(1)该流动满足连续性方程否? (2) 势函数 、流函数 存在否?（3）求 、 解
36、：（1）由于 ，故该流动满足连续性方程04yVx（2）由 z= ( )= 0, 故流动有势，势函数 存在，由于该流动满足连续1)(21性方程， 流函数 存在，.（3）因 Vx =4x+1yxVy= =- =-4yd= dx+ dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dyxy= d= dx+ dy= Vxdx+Vydy= (4x+1)dx+(-4y)dy=2x2-2y2+xd= dx+ dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dyxy= d= dx+ dy= -Vydx+Vxdy= 4ydx+(4x+1)dy=4xy+y6-2 平面不可压缩流体速度分布:Vx=x2-y2+
37、x; Vy=-(2xy+y).(1) 流动满足连续性方程否? (2) 势函数 、流函数 存在否? (3)求 、 .解：（1）由于 + =2x1（2x1）0，故该流动满足连续性方程，流动存在.xVy(2）由 z= ( )= 0, 故流动有势，势函数 存在，由于该流动满足2x)2(y连续性方程，流函数 也存在.（3）因 Vx= = = x2-y2+x, Vy= =- =-(2xy+y).yyxd= dx+ dy=Vxdx+Vydy=(x2-y2+x )dx+(-(2xy+y).)dyx= d= dx+ dy= Vxdx+Vydy = (x2-y2+x )dx+(- (2xy+y)dy = -xy2
38、+(x2-y2)/2y3xd= dx+ dy=-Vydx+Vxdyx= d= dx+ dy= -Vydx+Vxdy = (2xy+y)dx+ (x2-y2+x)dy =x2y+xy-y3/3y6-3 平面不可压缩流体速度势函数 =x 2-y2-x,求流场上 A(-1,-1),及 B(2,2)点处的速度值及流函数值解: 因 Vx= = =2x-1，V y ，由于 + 0，该流动满足连续性方程，xyxxVy流函数 存在d= dx+ dy=-Vydx+Vxdyxy= d= dx+ dy= -Vydx+Vxdy= 2ydx+(2x-1)dy=2xy-yxy在点(-1,-1)处 Vx=-3; Vy=2;
39、 =3在点(2,2)处 Vx=3; Vy=-4; =66-4 已知平面流动速度势函数 =- lnr,写出速度分量 Vr,V ,q 为常数。2q解: Vr= =- , V = =0rq2r6-5 已知平面流动速度势函数 =-m+C ,写出速度分量 Vr、V , m 为常数解: Vr= =0, V = =-rrm6-6 已知平面流动流函数 =x+y,计算其速度、加速度、线变形率 xx, yy, 求出速度势函数 .解： 因 Vx= = = 1 xyVy= =- =-1d= dx+ dy=Vxdx+Vydyxy= d= dx+ dy= Vxdx+Vydy= dx+(-1)dy=x-yyvx,ax= ；
40、0yVxxtVday= ty6-7 已知平面流动流函数 =x 2-y2,计算其速度、加速度,求出速度势函数 .解： 因 Vx= = = -2y xyVy= =- =-2xd= dx+ dy=Vxdx+Vydyxy= d= dx+ dy= Vxdx+Vydy= -2ydx+(-2x)dy=-2xyax= x4yVxtVxay= y; tyd6-8 一平面定常流动的流函数为(,)3xyy试求速度分布，写出通过 A（1，0），和 B（2， ）两点的流线方程.3解： , xvyyvx平面上任一点处的速度矢量大小都为 ，与 x 和正向夹角都是 。22()0arctn(3/1)6A 点处流函数值为 ，通过
41、 A 点的流线方程为 。同样可以求解出3013xy通过 B 点的流线方程也是 。3xy6-9 已知流函数 =V(ycos-xsin),计算其速度,加速度 ,角变形率( = = ( + ),并xy21xvy求速度势函数 .解： 因 Vx= = = Vcos xyVy= =- = Vsisd= dx+ dy=Vxdx+Vydyxy= d= dx+ dy= Vxdx+Vydy= V cosdx+ sisdy= V( cosx+ sisy) ax= 0yVxxtVday= ; ty= = ( + )=0xy21xvy6-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。解: 不可压缩三维流动的连续性方程为
42、将关系 代入上式得到0xyzvxyzvv， ， ()()()0xyz或 22可见不可压缩有势流动的势函数是一调和函数。6-11 什么样的平面流动有流函数?答: 不可压缩平面流动在满足连续性方程 0xyv或 xy（ -）的情况下平面流动有流函数. 6-12 什么样的空间流动有势函数?答: 在一空间流动中，如果每点处的旋转角速度矢量 = i+ j+ k 都是零矢量，即xyz，或关系 成立, 这样的空间流动有势函数. 0xyz vzvyyzxyz ,6-13 已知流函数 =- ,计算流场速度.2q解: Vr= =-rV =- =06-14 平面不可压缩流体速度势函数 =ax(x 2-3y2),a0,
43、试确定流速及流函数,并求通过连接 A(0,0)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量.解： 因 Vx= =a(3x2-3y2)xyVy= =- =-6axyd= dx+ dy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x2-3y2)dyxy= d= dx+ dy= -Vydx+Vxdy= 6axydx+ (3x2-3y2)dy =3 x2y-ay3aa在 A(0,0)点 A=0； B（ 1,1）点 B=2a，q= A- B=-2a.6-15 平面不可压缩流体流函数 =ln(x 2 +y2), 试确定该流动的势函数 .解：因 Vx= = =xy2Vy= =- =- 2xd= dx+ dy=V
44、xdx+Vydy= dx- dyxy2yx2xVxdx+Vydy= dx- dy=-222)arctn(xy6-16 两个平面势流叠加后所得新的平面势流的势函数及流函数如何求解?解: 设想两个平面上各有一平面势流，它们的势函数分别为 ， , 流函数分别为 。现将两个1212，平面重合在一起，由此将得到一个新的平面流动，这一新的流动与原有两个平面流动都不相同。合成流动仍然是一有势流动，其势函数 可由下式求出：21同样，合成流动的流函数 等于6-17 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数 和流函数 与速度分量 有什么关系?yxv,解: 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数 和流函数 与速度分量 有如下关系.,xvyyvx6-18 什么是平面定常有势流动的等势线? 它们与平面流线有什么关系?解:在平面定常有势流动中，势函数 只是 x,y 的二元函数，令其等于一常数后，所得方程代表一平面曲线，称为二维有势流动的等势线。平面流动中，平面上的等势线与流线正交。6-19 试写出沿 y 方向流动的均匀流(V=Vy=C=V)的速度势函数 ，流函数 .解：因 Vx= = =0xVy= =- =Vyd= dx+ dy=Vxdx+Vydy=0dx+ Vdy = Vyxd= dx+ dy=-Vydx+Vxdy=- Vdx - Vxy 6-20 平面不可压缩
