1、 课件作业题解分析与答案第一部分 集合论第一章 集合的基本概念和运算 1-1 设集合 A =1，2，a，4，3，下面命题为真是 B A2 A； B1 A； C5 A； D2 A。题解与分析：A 是集合，2，5 不是他的元素。所以，（A）,(C)无可争议的是错误。然而，某集合若是另一集合子集，则子集也可以成为集合的元素，二者从而产生隶属关系,例如，本题的集合A与集合2。而说2是A的子集而不是元素,就是错误的了所以，只有（B）为正确。1-2 A,B 为任意集合，则他们的共同子集是 D AA； BB； CAB； D 。题解与分析： 1-3 设 S = N，Z，Q，R，判断下列命题是否成立 ？（1）
2、N Q，Q S，则 N S， 错 （2）-1 Z，Z S， 则 -1 S 。 错 题解与分析：S 实际上是实数集合 R ，自然数集合 ，有理数集合 的集合，诸如“N S”，“Q S”，“2 S”，“-1 S” 之类的命题都是错误的。所以，(1）,(2)都错。1-4 设集合 A =3，4，B = 4，3 ， C = 4，3 ，D = 3，4， ，E = xx R 并且 x 2 - 7x + 12 = 0，F = 4， ，3，3，试问哪两个集合之间可用等号表示 ？题解与分析：根据题意，A = E；B = C；D = F 。 1-5 用列元法表示下列集合（1）A = xx N 且 x 2 9 （2）
3、A = xx N 且 3x 3 题解与分析：本题以谓词给出集合的表达式。要求把解析表达式所含的元素列出；当然，有的集合的元素需要通过计算才能得到。所以结果为：（1）A = 0，1，2，3 ； （2）A = 1，2，3，4， = Z +；第二章 二元关系 2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下：R = x，yx，y X 且 x y 求：(1)domR =?; (2)ranR =?; (3)R 的性质。题解与分析：所谓谓词表达法，即是将集合中所有元素的共同性质用一个谓词概括起来，如本题几例所示。有的书上称其为抽象原则。反过来，列元法则是遵照元素的性质和要求，逐
4、一将他们列出来，以备下用,结果如下：R = ，；DomR=R中所有有序对的x=2,1,1=2,1;RanR=R中所有有序对的y=3,2,3=3,2；R 的性质:反自反,反对称,传递性质.2-2 设 R 是正整数集合上的关系，由方程 x + 3y = 12 决定，即R = x，yx，y Z+ 且 x + 3y = 12，试求：（1）R 的列元表达式； （2）给出 dom（R 。R）。 题解与分析：在求解关系的诸问题时，较好的办法是列出关系的每个有序对，以及解决其他问题。根据方程式有：y=4-x/3，x 只能取 3，6,9。 结果如下：（1）R = 3，3,6，2,9，1；至于(2),望大家认真完
5、成合成运算 R 。R=.然后,给出 R 。R 的定义域,即（2）dom（R 。R）= 3。2-3 判断下列映射 f 是否是 A 到 B 的函数；并对其中的 f：AB 指出他的性质，即是否单射、满射和双射，并说明为什么。 （1）A = 1，2，3，B = 4，5， f = 1，42，43，5。（2）A = 1，2，3 = B， f = 1，12，23，3。（3）A = B = R， f = x 。（4）A = B = N， f = x 2 。（5）A = B = N， f = x + 1 。分析与题解：判断映射的性质，要分三步考虑：第一，是否函数 ？第二，是否 A 到 B 的函数？第三，是否单射
6、、满射。结论如下：（1） 是 A 到 B 的函数，是满射而不是单射；（2） 是双射；（3）是双射；（4）是单射，而不是满射；（5）是单射而不是满射。2-4 设 A =1，2，3，4，A 上的二元关系 R =x，y（x-y）能被 3 整除 ，则自然映射 g：AA/R 使 g(1) = C A 1,2 ； B 1,3 ； C 1,4 ； D 1 。分析与题解：大家明白，在本题条件下，只有 0和 3才能被 3整除，这样一来，在关系中，必有,两个有序对出现，就是说，自然映射 g：A A/R使 g(1) =1 1,42-5 设 A =1，2，3 ，则商集 A/IA = D A 3 ； B 2 ； C 1
7、 ； D 1 ， 2 ， 3 。分析与题解：记住商集的元素是等价类而各元素的等价类分别为11，22，33所以有 A/IA2-6设 (x)x+1，(x)x-1 都是从实数集合到的函数，则 。 C Ax+1； Bx-1； Cx； Dx 2。分析与题解：函数的合成运算很简单即将g(x)做为一个整体代入到f(x)的x处即可本题为：f(g(x)=(x-1)+1)=x.第三章 结构代数(群论初步)3-1 给出集合及二元运算，判断是否代数系统，何种代数系统 ？（1）S1 = 1，1/4,1/3,1/2,2，3，4，二元运算 * 是普通乘法。（2）S2 = a1，a2，an，ai R，i = 1，2，n ；二
8、元运算 。定义如下：对于所有 ai，aj S2，都有 ai 。aj = ai 。（3）S3 = 0，1，二元运算 * 是普通乘法。分析与题解：一个代数系统，通常由三个条件构成。第一，要有一个集合；第二，要有若干个 n 元运算；第三，n 元运算在集合内自我封闭。所以，我们的结论应是：（1）二元运算*在S1上不封闭所以，S1，*不能构成代数系统。（2）由二元运算的定义不难知道，。在 S2 内是封闭的，所以，S2， 。构成代数系统；然后看该代数系统的类型：该代数系统只是半群。（3）很明显，0，1，*构成代数系统；满足结合律，为半群；1是幺元，为独异点；而 0 为零元；结论：仅为独异点，而不是群。3-
9、2 在自然数集合上，下列那种运算是可结合的 A Ax*y = max(x,y) ； Bx*y = 2x+y ；Cx*y = x2+y2 ； Dx*y =x-y分析与题解：结合律的验证很简单然而，没有窍门只有在（x*y）*z=x*(y*z)时，才可以得出满足结合律的结论3-3 设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算 。，对于所有 x，y Z 都有x 。y = x + y 5，试问Z，。能否构成群，为什麽 ？分析与题解：判别一个代数系统是否是群，当然要满足群的定义条件。然而，判别过程要分步走。因为题中以代数系统形式给出，第一步封闭性问题判断可省去.之所以说该步骤可以略去,是在题中已经告知代数系
10、统成立的前提下.否则要进行讨论:此二元运算中,只有加减法,在集合 Z 中必然满足封闭性；第二步，二元运算满足结合律，以决定半群；第三步，有幺元为 5，为独异点.必须记住,求特殊元素时,都要解联立方程.假设代数系统的幺元是集合中的元素 e,则一个方程来自于二元运算定义, 即e 。x = e + x 5，一个方程来自该特殊元素的定义的性质,即e 。x = x.由此而来的两个方程联立结果就有: e+x5=x 成立.削去 x,e=5 的结果不是就有了吗!；第四步，每个元素都有逆.求每个元素的逆元素,也要解联方程,如同求幺元一样的道理；第五步，结论是：代数系统 Z，。构成群。第二部分 图论方法第四章 图
11、 4-1 10 个顶点的简单图 G 中有 4 个奇度顶点，问 G 的补图中有几个奇度顶点 ？题解分析：提到图的补图，必须首先想到完全图.因为10阶完全图的每个顶点的度数都是n-1=9为奇数。这样一来，一个无向简单图 G 的某顶点的度数是奇数，其补图的相应顶点必偶数，因为一个偶数与一个奇数之和才是奇数所以，的补图中应有 10-46 个奇数度顶点。4-2 是非判断：无向图 G中有 10条边,4 个 3度顶点,其余顶点度数全是 2,共有 8 个顶点. 是分析与题解：握手定理告诉我们：204x32，所以，4，即4个2度顶点，共8个顶点4-3 填空补缺：1 条边的图 G 中，所有顶点的度数之和为 分析与
12、题解：握手定理是普适定理任何无向图中，所有顶点的度数之和都是边的两倍第五章 树5-1 握手定理的应用（指无向树）（1）在一棵树中有 7 片树叶，3 个 3 度顶点，其余都是 4 度顶点，问有几个？（2）一棵树有两个 4 度顶点，3 个 3 度顶点，其余都是树叶，问有几片？题解分析：对于图论中树的有关问题的解决，无非是利用握手定理以及利用树是连续而无回路的性质，即 d（Vi）= 2m 定理和利用 n1= m 定理。所以有如下结果：（1）有 1 个 4 度顶点； （2） 9 个 1 度顶点。 5-2 一棵树中有 i 个顶点的度数为 i（=2，k），其余顶点都是树叶，问树叶多少片？题解分析：假设有
13、x 片树叶，根据握手定理和树的顶点与边数的关系，有关于树叶的方程，解方程得到树叶数 x = i（i2） i + 2，（i = 2，3，k）。5-3 求最优 2 元树：用 Huffman 算法求带权为 1，2，3，5，7，8 的最优 2 元树 T。试问：（1） T 的权 W（T）？ （2）树高几层 ？ 题解分析：用 Huffman 算法，以 1，2，3，5，7，8 为权，最优 2 元树 T ；然后，计算并回答所求问题：（1）T 的权 W（T）= 61；（2）树高几层：4 层树高。5-4 以下给出的符号串集合中，那些是前缀码？B1 = 0，10，110，1111；B2 = 1，01，001，000
14、；B3 = a，b，c，aa，ac，aba，abb，abcB4 = 1，11，101，001，0011题解分析：根据前缀码的定义，判断 B1，B2 是前缀码，而 B3，B4 不是。5-5 11 阶无向连通图 G 中有 17 条边，其任一棵生成树 T 中必有 6条树枝 非 题解分析：阶无向连通图 G 的任一棵生成树 T 中必有条树枝，而与边数无关所对 应的基本回路数才与边数有关系务必注意此点！ 5-6 二元正则树有奇数个顶点。 对 题解分析：在书中第页，正则条件是：s=(t-1)/(r-1)当时，分母消失，便有（）！，得到2-1，由此可判断顶点数为奇数5-7 奥运年欢送外国朋友时,在网上传输 G
15、OODBYE 的最佳前缀码,共用多少位二进制码。 求：1、最优二元树 T； 2. 30位； 3、每个字母的码字；题解分析：每个字母出现频率分别为：G、D、B、E、Y：14%，O：28%；(也可以不归一,某符号出现次数即为权，如右下图).。100（近似） 7.42。 。56 3. .428。 。 28。 。28 2. . 2. .2。 。 14 。 。 . . 1 . .14 14 14 14 1 1 1 1所以，得到编码如下：G（000），D（001），B（100），E（101），Y（01），O（11）。第三部分 逻辑推理理论第六章 命题逻辑 6-1 判断下列语句是否命题，简单命题或复合命题。
16、（1）2月 17 号新学期开始。（2）离散数学很重要。（3）离散数学难学吗 ？（4）C 语言具有高级语言的简洁性和汇编语言的灵活性。（5）x + 5 大于 2 。（6）今天没有下雨，也没有太阳，是阴天。题解与分析：该习题要求了解命题的概念。命题必须是具有确切结果的陈述句。若一个陈述句不能拆成两个以上的陈述句，则这个陈述句所构成的命题叫做简单命题或原子命题。自然，原子命题是一切复杂命题的组成单元。根据此原理判断：（1），（2），（4），（6）是命题且是真命题；其中（4），（6）是复合命题。6-2 将下列命题符号化.（1）2 是偶素数。（2）小李不是不聪明，而是不好学。（3）明天考试英语或考数学。
17、（兼容或）（4）你明天不去上海，就去北京。（排斥或）题解与分析：命题的符号化必须把握住一个概念：一个符号不能对一个复合命题符号化，而只能对一个简单命题符号化。而复合命题的符号化要借助于联结词的帮助。 小王不好学，自然 q 的真值为 0，而q 为 1。总结果如下：（1）符号化为： p q。（2）符号化为：p q。（3）符号化为：p q。（4）符号化为：（p q）（p q）。6-3 用等值演算法求下列命题公式的主析取范式（1）（pq） q； （2）（pq） p）q； （3）（pq） q。题解与分析：（1） 0； （2）（0，1，2，3）； （3）（1，3）。6-4 令 p：经一堑；q：长一智。命题
18、只有经一堑，才能长一智符号化为 BA pq； B qp； C pq； D qp题解与分析：只有后面的论述为必要条件，所以为后件，不要管用甚么符号表示6-5 p：天气好；q：我去游玩命题 ”除非天气好，否则我不去游玩” 符号化为A pq； B qp； C pq； D qp题解与分析：除非与否则不配对，分别为后件与前件，也不要管用何符号表示6-6 将下列推理命题符号化，然后用不同方法判断推理结果是否正确。如果今天下雨，则明天不上体育课。今天下雨了。所以，明天没有上体育课。题解与分析：首先将原子命题符号化，然后，按题意将原子命题组织成公式。再用不同方法，例如用等值演算法判断推理的正确与否。公式是重言
19、式，所以，推理正确。方法 1：（pq）p）q 1；方法 2：将公式分成前提及结论。前提：（pq），p；结论：q；证明： （1）（pq） 前提引入（2） p 前提引入（3）（pq）p （1）（2）假言推理（4）q 扣题：要证明的结论与证明结果一致，所以推理正确。第七章 谓词逻辑 7-1 在谓词逻辑中用 0 元谓词将下列命题符号化（1）这台机器不能用。（2）如果 2 3，则 2 5。题解与分析：在谓词逻辑中，用 0 元谓词将命题符号化的步骤如下：第一，用一元谓词表明命题变项的性质；第二，用个体常项代替个体变项。如下：（1）F（a）。 （2）L（a，b） H（a，z）。7-2 在谓词逻辑中将下列命题
20、符号化（1）有的马比有的牛跑得慢。（2）所有的火车比所有的汽车跑得快。题解与分析：1元谓词表示主语的性质,例如特性谓词;2 元谓词用于两个个体词性质的比较，本题需引入两个特性谓词。如下：（1）符号化为：彐x（F（x） 彐y（G（y） H（x，y）。（2）与（1）相仿，要注意量词、联结词间的搭配：x（F（x） y（G（y） H（x，y）。7-3 填空补缺题：设域为正整数集合 + ，命题 x 彐y（xy）的真值为 （ 0 ）题解与分析：本题应特别注意域因为在正整数范围内，取，则无可取附录习题符号集 空集, 并, 交, 对称差, 绝对补, 累加或主析取范式表达式缩写 , 普通减法, 普通除法, 自然对数, 对数， 非， 量词 ”所有” ，”每个” ， 析取联结词， 合取联结词，彐 量词”存在”，”有的”。09年2月10号
