1、1平 面 动 点 的 轨 迹杜重成 福州第三中学一、教学目标（一）知识与技能、进一步熟练掌握求动点轨迹方程的基本方法。、体会数学实验的直观性、有效性，提高几何画板的操作能力。（二）过程与方法、培养学生观察能力、抽象概括能力及创新能力。、体会感性到理性、形象到抽象的思维过程。、强化类比、联想的方法，领会方程、数形结合等思想。（三）情感态度价值观、感受动点轨迹的动态美、和谐美、对称美 、树立竞争意识与合作精神，感受合作交流带来的成功感，树立自信心，激发提出问题和解决问题的勇气二、教学重点与难点教学重点：运用类比、联想的方法探究不同条件下的轨迹教学难点：图形、文字、符号三种语言之间的过渡三、 、教学
2、方法和手段【教学方法】观察发现、启发引导、合作探究相结合的教学方法。启发引导学生积极思考并对学生的思维进行调控，帮助学生优化思维过程，在此基础上，提供给学生交流的机会，帮助学生对自己的思维进行组织和澄清，并能清楚地、准确地表达自己的数学思维。【教学手段】利用网络教室，四人一机，多媒体教学手段。通过上述教学手段，一方面：再现知识产生的过程，通过多媒体动态演示，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍（静态到动态） ；另一方面：节省了时间，提高了课堂教学的效率，激发了学生学习的兴趣。【教学模式】重点中学实施素质教育的课堂模式“创设情境、激发情感、主动发现、主动发展” 。四、教学过程 1、创设情景，引入
3、课题生活中我们四处可见轨迹曲线的影子【演示】这是美丽的城市夜景图【演示】许多人认为天体运行的轨迹都是圆锥曲线，研究表明，天体数目越多，轨迹种类也越多【演示】建筑中也有许多美丽的轨迹曲线设计意图：让学生感受数学就在我们身边，感受轨迹曲线的动态美、和谐美、对称美，激发学习兴趣。 2、激发情感，引导探索靠在墙角的梯子滑落了，如果梯子上站着一个人，我们不禁会想，这个人是直直的摔下去呢？还是划了一条优美的曲线飞出去呢？我们把这个问题转化为数学问题就是新教材高二上册 88 页 20 题，也就是这里的例题 1；2例 1、线段 长为 ，两个端点 和 分别在 轴和 轴上滑动，求线段ABa2BAxy的中点 的轨迹
4、方程。M第一步：让学生借助画板动手验证轨迹第二步：要求学生求出轨迹方程法一：设 ，则),(yx)0,2(,xy由 得 ，aAB2|a42化简得法二：设 ，由 得),(yxMO| ayx2化简得 22法三：设 ， 由点 到定点 的距离等于定长 ，,根据圆的定义得 ；22ayx第三步：复习求轨迹方程的一般步骤（1）建立适当的坐标系（2）设动点的坐标 M(x,y)（3）列出动点相关的约束条件 p(M)（4）将其坐标化并化简，f(x,y)=0（5）证明其中，最关键的一步是根据题意寻求等量关系，并把等量关系坐标化设计意图：在这里我借助几何画板的动画功能，先让学生直观地、形象地、动态地感受动点的轨迹是圆，
5、接着要求学生求出轨迹方程，最后师生共同回顾求轨迹方程的一般步骤，达到熟练掌握直译法、定义法，体会从感性到理性、从形象到抽象的思维过程。3、主动发现、主动发展由上述例 1 可知，如果人站在梯子中间，则他会划了一段优美的圆弧飞出去。学生很自然就会想，如果人不是站在中间，而是随意站，结果会怎样呢？让学生动手探究 M 不是中点时的轨迹。 第一步：利用网络平台展示学生得到的轨迹（教师有意识的整合在一起）设计意图：借助数学实验，把原本属于教师行为的设疑激趣还原于学生，让学生自己在实践过程中发现疑问，更容易激发学生学习的热情，促使他们主动学习。第二步：分解动作，向学生提出 3 个问题：问题 1：当 M 位置
6、不同时，线段 BM 与 MA 的大小关系如何？问题 2、体现 BM 与 MA 大小关系还有什么常见的形式？问题 3、你能类比例 1 把这种数量关系表达出来吗？第三步：展示学生归纳、概括出来的数学问题1、线段 AB 的长为 2a，两个端点 B 和 A 分别在 X 轴和 Y 轴上滑动，点 M 为 ABBMAyxO3上的点，满足 ，求点 M 的轨迹方程。21AB2、线段 AB 的长为 2a，两个端点 B 和 A 分别在 X 轴和 Y 轴上滑动，点 M 为 AB上的点，满足 ，求点 M 的轨迹方程。33、线段 AB 的长为 2a，两个端点 B 和 A 分别在 X 轴和 Y 轴上滑动，点 M 为 AB上
7、的点，满足 ，求点 M 的轨迹方程。 （说明是什么轨迹）kAB第四步：课堂完成学生归纳出来的问题 1，问题 2 和 3 课后完成4、合作探究、实现创新改变 A、 点的运动方式，同样考虑中点 的轨迹，教师进行适当的指导（这里固定 A 点，运动 B 点）学生主要列出了以下几种运动方式：圆、椭圆、双曲线、抛物线，并且得出了一些相应的轨迹。5、布置作业、实现拓展1、把上述同学们探究得到的轨迹图形用文字、符号描述出来， （仿造例 1）,并求出轨迹方程。2、已知 A（4，0） ，点 B 是圆 上一动点，AB 中垂线与直线 OB42yx相交于点 P，求点 P 的轨迹方程。3、已知 A（2，0） ，点 B 是
8、圆 上一动点，AB 中垂线与直线 OB92相交于点 P，求点 P 的轨迹方程。4 若把上述问题中垂线改为一般的垂线与直线 OB 相交于点 P，请同学们利用画板验证点 P 的轨迹。以下是学生课后探究得到的一些轨迹图形4课后有学生问，如果 X 轴和 Y 轴不垂直会有什么结果？定长的线段在上面滑动怎么做出来？可以说，学生的这些问题我之前并没有想过，给了我很大的触动，同时也促使我更进一步去研究几何画板，提高自己的能力。在这里，我体会到了教师不再只是一根根蜡烛，更像是一盏盏明灯，在照亮别人的同时也照亮自己。以下是 X 轴和 Y 轴不垂直时的轨迹图形5五、教学设计说明：（一） 、教材平面动点的轨迹是高二一
9、节探究课，轨迹问题具有深厚的生活背景，求平面动点的轨迹方程涉及集合、方程、三角、平面几何等基础知识，其中渗透着运动与变化、方程的思想、数形结合的思想等，是中学数学的重要内容，也是历年高考数学考查的重点之一。（二） 、校情、学情校情：我校是一所省一级达标校，省级示范性高中，学校的硬件设施比较完善，每间教室都具备多媒体教学的功能，另外有两间网络教室和一个学生电子阅室，并且能随时上网。 学情：大部分学生家里都有电脑，而且能随时上网。对学生进行了几何画板基本操作的培训，学生能较快的画出圆、椭圆、双曲线、抛物线等基本的圆锥曲线。学生对求轨迹方程的基本方法有了一定的掌握，但是对文字、图形、符号三种语言之间
10、的转换还存在很大的差异，在合作交流意识方面，发展不均衡，有待加强。（三）学法观察、实验、交流、合作、类比、联想、归纳、总结（四） 、教学过程1、创设情景，引入课题2、激发情感，引导探索由梯子滑落问题抽象、概括出数学问题第一步：让学生借助画板动手验证轨迹第二步：要求学生求出轨迹方程第三步：复习求轨迹方程的一般步骤3、主动发现、主动发展探究 M 不是中点时的轨迹第一步：利用网络平台展示学生得到的轨迹第二步：分解动作，向学生提出 3 个问题：第三步：展示学生归纳、概括出来的数学问题4、合作探究、实现创新改变 A、 点的运动方式，同样考虑中点 的轨迹，教师进行适当的指导（这BM里固定 A 点，运动 B
11、 点）学生主要列出了以下几种运动方式：圆、椭圆、双曲线、抛物线，并且得出了一些相应的轨迹。5、布置作业、实现拓展（五） 、教学特色：借助网络、多媒体教学平台，让学生自己动手实验，发现问题并解决问题，6同时把学生的学习情况及时的展现出来，做到大家一起学习，一起评价的效果。同时节省了时间，提高了课堂效率。整个教学过程，体现了四个统一：既学习书本知识与投身实践的统一、书本学习与现代信息技术学习的统一、书本知识与资源拓展的统一、课堂学习与课外实践的统一。本节课学生精神饱满、兴趣浓厚、合作积极，与我保持良好的互动，还不时产生一些争执，给我提出了一些新的问题，折射出我不足的方面，促进了我的进步与提高,师生间的教与学就像一面镜子，互相折射,共同进步。
