1、53 平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式要点透视：1要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2遇到共线向量与平行有关问题，一般应考虑运用向量平行的充要条件3线段的定比分点公式，要注意求定比分点 A 的值，以便顺利求出分点坐标活题解析：例 1(2002 年天津卷)平面直角坐标系中， O 是坐标原点，已知两点A(3， 1)，B(1， 3)，若点 C 满足 ，其中 ，R，且B+=1，则点 C 的轨迹方程是( )A3x 2y 110 B(x1) 2(y 2) 2=25C2xy 0 Dx 2 y50要点精析：I 设 =(x，y)， (3，1) ， =(1，
2、3)，OA =(3， )， =( ，3) ，又 + =(3，+3)， OB (x，y) (3 ，3)， ，3y又 1，因此得 x2y5，所以选 D思维延伸：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法例 2(2003 年江苏卷)已知常数 a0，向量 =(0，a)， (1，0)，经过原ci点 O 以 + 为方向向量的直线与经过定点 A(0，a)以 2 为方向向量的直ci c线相交于点 P，其中 R，试问是否存在两个定点 E，F，使得|PE| |PF|为定值？若存在，求出 E，F 的坐标；若不存在，说明理由要点精析：本题考查平面向量的概念和计算、求轨迹的方法、椭圆的方程和性质、利用方程判定曲线的
3、性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力解：根据题没条件，首先求出点 P 满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得 P 到两定点的距离之和为定值因为 =(1，0)， (0，a)，ic所以 + =(，a)， 2 (1，2 a)ci因此直线 OP 和 AP 的方程分别为 y=ax 和 ya=2ax，消去参数 ，得点 P(x，y)的坐标满足 y(ya)=2a 2x2，整理得 2211()8xa因为 a0，所以得（1）当 a= 时，方程表示圆，故不存在合乎题意的定点 E 和 F；2（2）当 0 时，方程表示椭圆，焦点 E(0, )和 F(0, 21(a)为合乎题意的两个定点。21(例
4、 3如图所示，平行四边形 ABCD 顶点 A 的坐标为( 2， 1)，一组对边 AB，CD 的中点分别是M(3，0) ，N (1，2)，求其余顶点坐标要点精析：抓住平行四边形是中心对称图形，用中点坐标即可求解解法 1：设其余三个顶点 B，C，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，因为 M 是 AB 的中点，, 解得 , 所以 B(8，1)1230xy18xyMN 的中点为 P(1， 1)，且 P 是 AC 中点，可得 C(4，3)再由 N 为 CD 中点，可得 D(6，1)所求顶点坐标为 B(8，1)，C(4，3) ，D( 6，1)解法 2：设 B 点坐标
5、(x ，y)，则 ，即(5，1)(x3，y )，AMB解得 ，所以 B(8，1)351xy81同理，由 AM=DN=NC，求得 C(4，3)，D(6，1)思维延伸：本题的两种解法体现了线段的定比分点坐标公式与向量坐标运算的统一性同时，还体现了向量坐标运算的优越性练 习 题一、选择题1已知平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(3，0)，(1，5)，则第四点的坐标为（ ）A(1，5)或(5，5) B(1，5)或(3， 5)C(5，5)或( 3，5) D(1 ，5)或(3，5)或(5，5)2在梯形 ABCD 中，AB/CD，且| |=| |(0)若 = ， = ，ACABaDb则 等于（ ）A B
6、 + C D +abab1ab13已知 (2，5) ，| |= 2| |若 与 反向，则 等于（ ）A(4 ，10) B (4，10) C(1， ) D(1 )25254设点 P( 2，3)分有向线段 所成之比为 ，点 P1 的坐标为(1，2)，则 P2 的12P坐标是（ ）A(2 ， 3) B (5，4) C(4，5) D(5，6)5已知ABC 的三个顶点 A(0，3)，B(3 ，3)，C(2，0)若直线 x=a 将ABC分割成面积相等的两部分，则实数 a 的值为（ ）A B1+ C1 D32326在ABC 中，A( 0，7)，B(4，5)，重心 G(0， )，则ABC 为（ ）31A锐角三
7、角形 B等边三角形 C钝角三角形 D直角三角形二、填空题：7已知两个向量 =(3，4) ， =(2，1)，若 +x 与 平行，则 x .abab8已知 A( 3，2)， =( 8，0)，则线段 AB 中点的坐标为 .9设 ， 是不共线的两个向量，已知 =2 +k ， = ， = 2bABabCa，若 A，B ，D 三点共线，则 k 的值为 .10已知三点 A(1，1)，B(2，4)，C(x，9)共线，则 x 的值是 .三、解答题：11已知向量 =(8，2)， =(3，3)， =(6，12)， =(6，4)问：是否存在实abcp数 x，y，z，同时满足下列两个条件： =x +y +z ， xy
8、z 1？如果abc存在，请求出 x，y ，z 的值；如果不存在，请说明理由12如图所示，已知三点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x3，y 3)，D 点分 的比是 ，E 在 BC 上，且使3BDE 的面积是 ABC 的一半，求向量 DE 的坐标13如图所示，已知四边形 ABCD 是正方形，AC=CE，EC 的延长线交 BA 的延长线于/BEACF 点，求证 AFAE 。14运用向量的观点求 的值。246coscos7715已知点 O( 0，0) ，A( 1，2)，B( 4，5)及 t ，试问：OPAB（1）t 为何值时，P 在 x 轴上？在 y 轴上？在第二象限？（2）四边形 OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 t 的值；若不能，请说明理由。
