1、第 1 页 共 5 页“两点之间线段最短”的应用长沙县高桥中学 傅兴亮 饶勇在欧氏平面几何体系中，几何公理：“两点之间线段最短”的应用非常广泛。从该公理出发，能证明出耳熟能详的、应用十分广泛的三角形三边边长关系定理“三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之和小于第三边” ，同时该公理在几何求极值或者最大、最小值也有着举足轻重的地位。本文意在对该公理在初中数学中的应用和地位进行阐述和探讨。1、 从数学角度认识该公理：公理“两点之间线段最短”在数学中是不用证明的，因为这是人们从大量的实践中总结出来的“正确”的经验，而且本公理看上去十分“完美、正确” ，而且“就算是啊猫啊狗都是明白这个公理的” ，
2、但是公理本身是不太好证明。2、 从物理学角度认识该公理：物理学中费马原理（Fermats principle）：最小光程原理。光波在两点之间传递时，自动选取费时最少的路径。费马原理是几何光学中的一条重要原理，由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的直线传播定律、反射和折射定律，以及傍轴条件下透镜的等光程性等。根据费马原理：光在同一种物质中沿直线传播，而光在同一种物质中的传播速度是定值，而这样传播所化的时间最小，这就解释了，为什么两点之间线段是最短的。3、 该公理可以加强平面几何知识的严谨性：在初中平面几何教学中，考虑到学生的接受能力，往往把平面几何学中的定理当作公理，从而跳过定理的证明过程，而
3、让学生直接接受一些事实，这就导致了数学知识体系的逻辑性和严谨性遭到严重破坏，同时也失去了训练学生逻辑思维的题材。教师在教学中，也乐于这样去做，好像这样做，学生和老师第 2 页 共 5 页都“轻松、愉快”了。最典型的例子是：“垂线段最短”这个命题。很多老师会把这个命题当公理，学生也乐于接受。这样的做法，其实是缺乏思考，丧失了训练学生思维的好机会。其实这个命题的证明是十分容易的，证明如下：已知：点 P 是直线 AB 外一点，PMAB，垂直为 M，点 N 在直线 AB 上，连接 PN。求证：PMPN证明：延长 PM 到 C，连接 NC，利用对称性或者全等三角形知识，容易证明出： PN=CN ，由于
4、PC 是直线段，而 PNC 是折线段或者直线段，由公理“两点之间线段最短” ，就得出： PCPN+CN ，即 2PM2PN，所以：PMPN。原命题获证。有趣的是：这个命题的证明过程中，也顺带证明了命题“直角三角形中斜边最长”4、 该公理在欧氏几何中求极值的应用：（一）平面几何中的应用举例（解法略）：1.已知，A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点，使得 PA+PB 最小。 （如图所示） （物理学角度：“光沿直线传播” ）2：已知，A，B 在直线 L 的同一侧，在 L 上求一点，使得 PA+PB 最小。 （如图所示） （物理学角度：“光的反射”或者“平面镜成像” ）第 3 页 共 5 页3
5、：A 是锐角 MON 内部任意一点，在MON 的两边 OM，ON 上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小。(如图所示) （物理学角度：“光的反射”或者“双平面镜成像” ）4：在直角坐标系中，有四个点 A（-8，3） 、B（-4，5） 、C（0， n） 、D(m,o),当四边形 ABCD 的周长最短时，求 m/n 的值。 （物理学角度：“光的反射”或者“双平面镜成像” ）（2）该公理在立体几何求极值的应用举例（解法略）：1.已知：如图，一圆锥底 PAB 底面半径为2 ，母线长 PB 为6 ，D 为 PB 的中点，一只蚂蚁从点 A 出发，沿圆锥的侧面爬行到 D 点，则蚂蚁爬想的最短路程A
6、 DBCA第 4 页 共 5 页为多少？2.已知：如图，圆柱 ADBC 的底面半径为 6cm，高为 10cm，蚂蚁从 A 点爬到 B 点的最短路程是多少厘米（结果保留小数点后 1 位）？ （3）利用该公理“构造图形”求某些特定形式代数式的极值（解法略）：1. 已知，实数 m、n，且 m+n=2，求代数式： 的最小值。16422nm2. 已知，实数 x，求代数式： 的最小值。208122xx综上所述，公理“两点之间线段最短”不但应用广泛，同时也体现了数学知识和物理知识之间的联系，在教学中如果善用该公理，不但训练了学生的思维，让学生体会到数学公理化体系，而且也会加强不同学科知识之间的融会贯通，让学生从更深层次理解知识和掌握知识，为学生将来的学习或者研究打下坚实的基础，所以，这是一件非常有意义的事情。参考文献：“两点之间线段最短在立体图形中的应用 丁万永 邹平县孙镇中学”百度百科 “费马原理”第 5 页 共 5 页海南出版社 湖南名校 初升高入学试题 陈天辉 编著 2012 年 7 月第一版2013 年 5 月 28 日
