1、由圆和圆柱的分割想到的球的体积一、问题提出体育课上，我在练习抛实心球。练着练着我突然想：我已经知道了圆柱与圆锥的体积公式，那么，球的体积怎么求呢？首先，我想到的方法就是把它放在盛满水的桶里量，但是如果球是浮在水面上的，那就很难测量。难道就没有其它办法了吗？这一时的兴趣促使我开始了研究。二、研究过程因为平时学习的物体都是有底面的，所以我打算先研究半个球的体积。圆的面积是 ，所以球的面积应该是 ，可是我转念一想，觉得不对，2r23r应该是底面面积是 ，高是 的圆柱的体积；那么会不会是22r呢？也不对，这应该是底面面积是 ，高是 的圆锥的体积，313rr 2r如下图所示：所以我想球的体积应该比 大，
2、比 小，那么它究竟应该是 的32r32r3r多少倍呢？我陷入了沉思突然，我眼前一亮：课本上圆的面积是通过把圆分割成很多个三角形得到的，而且圆柱的体积也是用这种分割的办法得到的，那么球的体积可不可以也用这种办法呢？那么究竟应该怎么分割呢？从圆和圆柱的求法可以看出它们有一个共同的特点，那就是它们都是从圆心开始分割的，并且都是分割成无限份，使它越来越接近并最终拼接成长方形（或长方体） ，也就是把弯曲的看成是笔直的。我想球是不是也应该从球心开始分割呢。球从结构上看是逐渐向外分散的，所以我认为球应当如下图分割：也就是说，把如图中的 变得越来越小，当它变得1S无限小时，这个类似三棱锥形状的立体图形底面的突
3、起就可以忽略不计了，也就是说椎体的底面可以看作是平整的，那么球就被切割成了无数个椎体，这无数个锥体的底面之和就等于球的表面积，高就是球半径 。因为三棱锥的体积公式和圆锥是一样的，所以，r。1231()3VSrSL球 球那么又有一个新的问题出现了，该怎么求球的表面积呢？首先，我想到的就是用一张大纸把球包起来，然后再展开，那么纸的面积就是球的表面积。于是我立即做起了试验，可是结果却令我大失所望。首先，纸是皱着的，没办法和球紧紧地贴在一起；其次，哪怕是我找来了很柔软的纸，虽然比起前面要贴的紧一点了，可是当我把包好的纸打开一看，居然是不规则图形！所以没办法算出它的面积。既然用纸不行，那么什么东西可以和
4、球紧密接触呢？只有液体，对，只有水！于是我把球的表面洒上水，再放到冰柜里冷冻一下。可是过了一个小时以后，当我满怀激动的心情打开冰柜的时候打击比上次还要惨烈只有球的底部结着一点点可怜的冰层。为什么会这样呢，我想，一定是因为水的凝固点太低，所以还没等凝固，球面上的水就流的差不多了。得找到一种凝固点高一点的，该找什么呢？我只好向妈妈求救，经验丰富的妈妈想到了蜡!蜡的凝固点大概是 ，在常温下就能很快凝固。506Co经过几天的准备，一切就绪。我们准备的实验器材有：3 个直径分别是5cm，10cm，20cm 的木球，1 把精确度是 0.01mm 的游标卡尺，2 个带刻度的量杯，若干公斤的固态蜡。开始实验了
5、，我把木球装上螺钉，并用绳子系好放进装满液体蜡的桶里，然后轻轻地取出木球并将其悬空冷却。不一会儿，球表面的蜡就凝固了，我和妈妈小心翼翼地把球表面上的蜡剥下来。先用游标卡尺测量出蜡的厚度，我们测量了好几块，然后求它们的平均值（因为我觉得这样会更加准确一点） 。测好了以后，把剥下来的蜡片放到量杯里，将量杯浸入正在沸腾的开水中，直到蜡OR全部融化后再将量杯取出使蜡凝固，测出凝固后蜡的体积。如此重复了很多次试验，经过我和妈妈的不懈努力，我们得到了下面的数据：表格 1球的半径 ()rcm2.5 2.5 2.5蜡的平均厚度 0.095 0.103 0.091蜡的体积 3()c7 9 7球的表面积 S蜡 的
6、 体 积 蜡 的 平 均 厚 度 73.68 87.38 76.9213Vr球 球61.4 72.82 64.13ar球1.2515 1.4840 1.3065表格 2球的半径 ()rcm5 5 5蜡的平均厚度 0.110 0.094 0.098蜡的体积 3()c38 27 32球的表面积 S蜡 的 体 积 蜡 的 平 均 厚 度 345.5 287.2 326.513Vr球 球575.8 487.7 544.23ar球1.467 1.220 1.386表格 3球的半径 ()rcm10 10 10蜡的平均厚度 ()cm0.063 0.070 0.058蜡的体积 381 91 68球的表面积 S
7、蜡 的 体 积 蜡 的 平 均 厚 度 1285.7 1300 1172.413Vr球 球4285.7 4333.3 39083ar球1.365 1.380 1.2415三、结论与反思将以上各表中的 9 个 取平均值，计算得 ，符合前面的a2=1.345()aa猜想。所以，我得出初步的结论：球的体积大约是 的 1.345 倍，即r。31.45Vr球当然，这只是一个初步的结论，在研究这个课题的过程中我通过查阅资料得知球的体积公式是 ， 我想导致误差的原因有很多：实验器材、实验操34=Vr球作、蜡的厚度等都可能引起误差，这可以通过改进器材和操作方法，以及大量重复的实验得以改进；此外，通过查阅资料我还学会了求球体积的另外一种方法：通过把球分割成无数个类似于圆台的几何体求解。看来，生活中有时候我们用数学的眼光来观察，灵活的使用学到的数学知识，多思考，多做实质性的研究，求证、探索未知的领域，收获一定不小。
