1、数学竞赛辅导,三角形的五心,Preview one,一、外心的性质,三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等 都等于三角形的外接圆半径 BOC=2BAC 三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心) 欧拉线,Example one,斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点所以把这样的四个点称为一个“垂心组” 锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。,二、垂心的性质,等价于证明,三、内心的性质,三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心 三角形的
2、内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径 设三角形面积为S， 设I为ABC的内心，则BIC = 90 +A/2,类似地还有两式。,四、重心的性质,三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心 三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1 2 空间直角坐标系：横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3,五、旁心的性质,三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心) 三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的旁心与内心。,六、三角形的五心的综合性质,（1
3、）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心； （2）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心； （3）三角形的外心是它的中点三角形的垂心； （4）三角形的重心也是它的中点三角形的重心； （5）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心 （6）鸡爪定理 （7）鸭爪定理,Example six,ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是ACD的重心.证明OE丄CD.,Example seven,Proof one,Proof one,五点共圆,Second try,Example eight,Example eight,Example nine,Exercise one,Exercise ten,
