1、 Go the distance 第 1 页 共 32 页 2015广东高考数学三轮冲刺 排列与组合的 八大典型错误 、 24种解题技巧 和三大模型 总论： 一、知识点归纳 二、常见题型分析 三、 排列组合解题备忘录 1 分类讨论的思想 2.等价转化的思想 3.容斥原理与计数 4.模型构造思想 四 、 排列组合中的 8 大典型错误 1 没有理解两个基本原理出错 2.判断不出是排列还是组合出错 3.重复计算出错 4.遗漏计算出错 5.忽视题设条件出错 6. 未考虑特殊情况出错 7 题意的理解偏差出错 87.解题策略的选择不当出错 五 、 排列组合 24种 解题 技巧 1排序问题 相邻问题捆绑法
2、相离问题插空排 定序问题缩倍法（插空法） 定位问题优先法 多排问题单排法 圆排问题单排法 可重复的排列求幂法 全错位排列问题公式法 2分组分配问题 平均分堆问题 去 除重 复 法 （平均分配问题） 相同物品分配的隔板法 全员分配问题分组法 有序分配问题逐分法 3排列组合中的解题技巧 至多至少间接法 染色问题合并单元格法 交叉问题容斥原理法 构造递推数列法 六 排列组合中的基本模型 分组模型（分堆模型） 错排模型 染色问题 Go the distance 第 2 页 共 32 页 一 知识点归纳新疆王新敞特级教师 源头学子小屋htp:/w.xjktygcom/wxckt126.omwxckt12
3、6.omhtp:/w.xjktygcom/源头学子小屋特级教师 王新敞新疆1排列的概念： 从 n 个不同元素中，任取 m （ mn ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照 一定的顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列 奎屯王新敞 新疆 2排列数的定义： 从 n 个不同元素中，任取 m （ mn ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m元素的 排列数 ，用符号 mnA 表示 奎屯王新敞 新疆 3排列数公式： ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )mnA n n n n m （ ,m n N m） 4 奎屯王新敞 新疆阶乘： !n 表示正整数 1 到 n 的连
4、乘积，叫做 n 的阶乘 奎屯王新敞 新疆规定 0!1 5排列数的另一个计算公式： mnA = !( )!nnm奎屯王新敞 新疆 奎屯王新敞 新疆 6 奎屯王新敞 新疆组合的概念： 一般地，从 n 个不同元素中取出 m mn 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个 组合 奎屯王新敞 新疆 7组合数的概念： 从 n 个不同元素中取出 m mn 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 组合数 用符号 mnC 表示 8组合数公式： ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )!mm nn mmA n n n n mC Am 或)!(! ! mnm nC mn )
5、,( nmNmn 且奎屯王新敞 新疆 奎屯王新敞 新疆 9 奎屯王新敞 新疆 组合数的性质 1： mnnmn CC 规定： 10nC ； 10 组合数的性质 2： mnC1 mnC + 1mnC 奎屯王新敞 新疆 0 2 4 1 3 5 12 nn n n n n nC C C C C C ; 01 2nnn nC C C 11.“ 16 字方针”是解决排列组合问题的基本规律，即 ： 分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合 ， 。 12.“ 1个技巧”是迅速解决排列组合的捷径 二 基本 题型讲解新疆王新敞特级教师 源头学子小屋htp:/w.xjktygcom/wxckt126.omwxckt1
6、26.omhtp:/w.xjktygcom/源头学子小屋特级教师 王新敞新疆例 1 分别求出符合 下列要求的不同排法的种数 （ 1） 6 名学生排 3 排，前排 1 人，中排 2 人，后排 3 人； （ 2） 6 名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾； （ 3）从 6 名运动员中选出 4 人参加 4 100 米接力赛，甲不跑第一棒， 乙不跑第四棒； （ 4） 6 人排成一排，甲、乙必须相邻； （ 5） 6 人排成一排，甲、乙不相邻； （ 6） 6 人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、 乙、丙可以不相邻）新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/
7、wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆Go the distance 第 3 页 共 32 页 解：（ 1）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为 72066 A （ 2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有 14A 种选法，然后其他 5 人选，有 55A 种选法，故排法种数为 4805514 AA （ 3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类： 乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为 35A ； 乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有 14A 种选法， 第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有 14A 种选法，其余两
8、棒次不受限制，故有 221414 AAA 种排法， 由分类计数原理，共有 25224141435 AAAA 种排法 （ 4）将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他 4 人一起作全排列共有 2405522 AA 种排法 （ 5）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余 4 人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的 4 人的左、右及之间的空挡插位，共有 2544AA （或用 6 人的排列数减去问题（ 2）后排列数为 48024066 A ） （ 6）三人的顺序定，实质是从 6 个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余 3 人在 3个位置上全排列，故有排法 1203336 AC 种 点评 ：排队问题是
9、一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆例 2 假设在 100 件产品中有 3 件是次品，从中任意抽取 5 件，求 下列抽取方法各多少种？ （ 1）没有次品 ； （ 2）恰有两件是次品 ； （ 3）至少有两件是次品新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头
10、学子小屋 新疆解：（ 1）没有次品的抽法就是从 97 件正品中抽取 5 件的抽法，共有 64446024597 C 种 （ 2）恰有 2 件是次品的抽法就是从 97 件正品中抽取 3 件，并从 3 件次品中抽 2 件的抽法，共有44232023397 CC 种 （ 3）至少有 2 件次品的抽法，按次品件数来分有二类： 第一类，从 97 件正品中抽取 3 件 ，并从 3 件次品中抽取 2 件 ， 有 3297 3CC种新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子
11、小屋 新疆第二类从 97 件正品中抽取 2 件，并将 3 件次品全部抽取，有 2397 3CC种新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆按分类计数原理有 4 4 6 9 7 63329723397 CCCC 种新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆点评 ：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问
12、题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第（ 3）题采用先从 3 件次品抽取 2 件（以保证至少有 2 件是次品），再从余下的 98 件产品中任意抽取 3件的抽法，那么所得结果是 46628839823 CC 种，其结论是错误的，错在“重复”：假设 3 件次品是 A、 B、 C，第一步先抽 A、 B 第二步再抽 C 和其余 2 件正品，与第一步先抽 A、 C（或 B、 C），第二步再抽 B（或 A）和其余 2 件正品是同一种抽法，但在算式 39823CC 中 算作 3 种不同抽法新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxc
13、kt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆Go the distance 第 4 页 共 32 页 例 3 求证： mnmnmn AmAA 111 ； 1211 2 mnmnmnmn CCCC 证明： 利用排列数公式 左 1 ! 1 !1 ! !n m nn m n m 1 ! 1 !n m n m nnm mnAmnn !右 另一种证法 ：（ 利用排列的定义理解 ） 从 n 个元素中取 m 个元素排列可以分成两类： 第一类不含某 特殊元素 a 的排列有 mnA1 第二类含元素 a 的排列则先从 1n 个元素中取出 1m 个元素排列有 11mnA
14、种，然后将 a 插入，共有 m个空档，故有 11 mnAm 种， 因此 mnmnmn AAmA 111 利用组合数公式 左 !2!11 !1!1 ! mnm nmnm nmnm n 11211!1!1 ! mnmmmmnmnmnm n 12!1!1 !212!1!1 ! mnCmnm nnnmnm n 右 另法： 利用公式 111 mnmnmn CCC 推得 左 1211111 mnnnmnmnmnmnmn CCCCCCC 右 点评 ：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omw
15、xckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆例 4 已知 f 是集合 dcbaA , 到集合 2,1,0B 的映射 （ 1）不同的映射 f 有多少个？ （ 2）若要求 4 dfcfbfaf 则不同的映射 有多少个？ 分析：（ 1）确定一个映射 f ，需要确定 dcba , 的像 （ 2） dcba , 的 象元之和为 4，则加数可能出现多种情况，即 4 有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计算新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygco
16、m/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆Go the distance 第 5 页 共 32 页 解：（ 1） A 中每个元都可选 0,1,2 三者之一为像，由分步计数原理，共有 433333 个不同映射新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆（ 2）根据 dcba , 对应的像为 2 的个数来分类，可分为三类： 第一类：没有元素 的像为 2，其和又为 4，必然其像均为 1，这样的映射只有一个； 第二类：一个元素的像是 2，其余三个元素的像必为 0
17、,1,1，这样的映射有 121314 PC 个； 第三类：二个元素的像是 2，另两个元素的像必为 0，这样的映射有 624 C 个新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆由分类计数原理共有 1+12+6=19（个）新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆点评 ：问题（ 1）可套用投信模型： n 封不
18、同的信投入 m 个不同的信箱，有 nm 种方法 ； 问题（ 2）的关键结合映射概念恰当确定分类标准，做到不重、不漏新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆例 5 四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点 （ 1）设一个顶点为 A，从其他 9 点中取 3 个点，使它们和点 A 在同一平面上，不同的取法有多少种？ （ 2）在这 10 点中取 4 个不共面的点，不同 的取法有多少种？ 解：（ 1）如图，含顶点 A 的四面体的三个面 上，除点 A 外都有
19、5 个点，从中取出 3 点必与点 A 共面，共有 353C 种取法新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆含顶点 A 的棱有三条，每条棱上有 3 个点， 它们与所对棱的中点共面，共有3 种取法新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆根据分类计数原理和点 A 共面三点取法共有 3333 35 C 种新
20、疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆（ 2）取出的 4 点不共面比取出的 4 点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取 4 点（ 410C 种取法）减去 4 点共面的取法新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆取出的 4 点共面有三类： 第一类：从四面体的同一个面上的 6 点取出 4 点共
21、面，有 464C 种取法 第二类：每条棱上的 3 个点与所对棱的中点共面，有 6 种取法 第三类：从 6 条棱的中点取 4 个点共面，有 3 种取法 根据分类计数原理 4 点共面取法共有 69364 46 C 故取 4 个点不共面的不同取法有 141364 46410 CC （种） 点评 ：由点构成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，附加的条件是点共线与不共线，点共面与不共面，线共面与不共面等新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆三、
22、排列组合解题备忘录 ： 个不同的元素必须相邻，有 mmP种“捆绑”方法 奎屯王新敞 新疆 个不同元素互 不相邻，分别“插入”到个“间隙”中的个位置有 mnP种不同的“插入”方法奎屯王新敞 新疆 个相同的元素互不相邻，分别“插入”到个“间隙”中的个位置，有 mnC种不同的“插入”方法 奎屯王新敞 新疆 若干个不同的元素“等分”为 个组 ,要将选取出每一个组的组合数的乘积除以 mmP 奎屯王新敞 新疆 AB CDE FGMNPGo the distance 第 6 页 共 32 页 四排列组合问题中的数学思想方法 （一）分类讨论的思想：许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分
23、 析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小问题，分而治之，各种击破。 例 .已知集合 A和集合 B各含有 12 个元素， AB含有 4个元素，求同时满足下列条件的集合 C的个数： 1） C A B且 C中含有 3 个元素， 2） CA 解：如图，因为 A， B各含有 12个元素， AB含有 4个元素，所以 AB中的元素有 12+12-4=20个，其中属于 A的有 12 个，属于 A而不属于 B 的有 8个，要使 CA ，则 C 中的元素至少含在 A 中，集合 C 的个数是： 1）只含 A 中 1 个元素的有 1212 8CC； 2）含A 中 2 个元素的有 2112 8CC
24、； 3）含 A 中 3 个元素的有 3012 8CC，故所求的集合 C 的个数共有1212 8CC+ 2112 8CC+ 3012 8CC=1084个 （二）等价转化的思想：很多“数数”问题的解决，如果能跳出题没有限定的“圈子”，根据题目的特征构思设计出一个等价转化的途径，可使问题的解决呈现出“要柳暗花明”的格局。 1.具体与抽象的转化 例 .某人射击 7枪，击中 5枪，问击中和末击中的不同顺序情况有多少种？ 分析：没击中用“ 1”表示，击中的用“ 0”表示，可将问题转化不下列问题：数列 1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,a a a a a a a有两项为 0， 5项是 1，不同
25、的数列个数有多少个？ 解： 1）两个 0不相邻的情况有 26C 种， 2）两个 0相邻的情况有 16C 种，所以击中和末击中的不同顺序情况有26C + 16C =21种。 2）不同的数学概念之间的转化 例 .连结正方体 8个顶点的直线中，为异面直线有多少对？ 分析：正面求解或反面求解（利用补集，虽可行，但容易 遗漏或重复，注意这样一个事实，每一个三棱锥对应着三对异面直线，因而转化为计算以正方体顶点，可以构成多少个三棱锥） 解：从正文体珠 8 个顶点中任取 4 个，有 48C 种，其中 4 点共面的有 12 种，（ 6 个表面和 6 个对角面）将不共面的 4点可构一个三棱锥，共有 48C -12
26、个三棱锥，因而共有 3（ 48C -12） =174对异面直线。 综上所述，有以上几种解排列组合的方法，此外，当然也还有 其他的方法要靠我们去发现和积累，我们要掌握好这些方法，并且能够灵活运用，这样，在日常生活中，我们们能轻易解决很多问题。 教师点评：对排列组合问题的处理方法总结得很细、很全面，而且挖掘出其中所蕴藏的数学思想方法，对学习排列组合有一定的指导性。 （三）容斥原理与计数 1、文氏图： 在文氏图中 ,以下图形的含义如下： 矩形：其内部的点表示全集的所有元素； 8 4 8 Go the distance 第 7 页 共 32 页 矩形内的圆（或其它闭曲线）：表示不同的集合； 圆（或闭曲
27、线）内部的点：表示相应集合的元素。 2、三交集公式： A+B+C=A B C+AB+BC+AC-ABC （ A B C 指的是 E， ABC指的是 D） （四）模型构造 例 1. 4 名同学各 写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式共有 种 . 例 2. 将编号为 1， 2， 3， 4 的四个小球分别放入编号为 1， 2， 3， 4 的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能相同，则共有 种不同的放法 . 这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做 全错位排列问题 . 例 3
28、.五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种 . 解析：可以 分类解决： 第一类，所有同学都不坐自己原来的位置； 第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置； 第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置 . 对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为 部分错位排列问题 . 设 n 个元素全错位排列的排列数为 Tn，则对于 例 3，第一类排列数为 T5，第二类先确定一个排原来位置的同学有 5 种可能，其余四个同学全错位排列，所以第二类的排列数为 5T4，第三类先确定两
29、个排原位的同学，有25C =10 种，所以第三类的排列数为 10T3，因此 例 3 的答案为： T5+5T4+10T3. 五排列组合中的 易错题 1 没有理解两个基本原理出错 排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提 . Go the distance 第 8 页 共 32 页 例 1（ 1995 年上海高考题） 从 6 台 原装计算机 和 5 台 组装计算 机中任 意选 取 5 台 ,其中至少有 原装 与 组装计算 机各 两 台 ,则不同的取法 有 种 . 误解：因为可以取 2 台原装 与 3 台组装计算 机 或是 3 台原
30、装 与 2 台组装计算 机 ，所以只有 2 种取法 . 错因分析：误解 的原因在于没有意识到“选取 2 台原装 与 3 台组装计算 机 或是 3 台原装 与 2 台组装计算 机 ”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法 . 正解： 由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取 2 台，有 26C 种方法；第二步是在组装计算机任意选取 3 台，有 35C 种方法，据乘法原理共有 3526 CC 种方法 .同理，完成第二类办法中有2536 CC 种方法 .据加法 原理完成全部的选取过程共有 3526 CC 3502536 CC 种方法 . 例 2 在一次运动会上
31、有四项比赛的冠军在 甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ） 种 . （ A） 34A （ B） 34 （ C） 43 （ D） 34C 误解：把四个冠军，排 在 甲、乙、丙三个位置上， 选 A. 错因 分析： 误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式 . 正解： 四项比赛的冠军依次在 甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有 3 种选取方法，由 乘法原理共有433333 种 . 说明：本题还有同学这样误解， 甲乙丙夺冠均有四种情况，由 乘法原理得 34 .这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有 4 种夺冠可能 . 2 判断不出是排列还是组合出错 在判断一个问题是排
32、列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性 ，有顺序的是排列，无顺序的是组合 . 例 3 有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？ 误解：因为是 8 个小球的全排列，所以共有 88A 种方法 . 错因分析：误解中没有考虑 3 个红色小球是完全相同的， 5 个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法 . 正解： 8 个小球排好后对应着 8 个位置，题中的排法相当于在 8 个位置中选出 3 个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这 3 个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题 .这样共有： 5638C 排法 . 3 重复计算出错 在排
33、列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。 例 4（ 2002 年北京文科高考题） 5 本不同的书全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） （ A） 480 种 （ B） 240 种 （ C） 120 种 （ D） 96 种 Go the distance 第 9 页 共 32 页 误解：先从 5 本书中取 4 本分给 4 个人，有 45A 种方法，剩下的 1 本书可以给任意一个人有 4 种分法，共有4804 45 A 种不同的分法，选 A. 错因分析：设 5 本书为 a 、 b 、 c 、 d 、 e ，四个 人为甲、乙、丙、丁
34、 .按照上述分法可能如下的表 1 和表 2： 表 1 是 甲首先分得 a 、乙分得 b 、丙分得 c 、丁分得 d ，最后一本书 e 给甲的情况；表 2 是甲首先分得 e 、乙分得 b 、丙分得 c 、丁分得 d ，最后一本书 a 给甲的情况 .这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次 . 正解： 首先把 5 本书转化成 4 本书，然后分给 4 个人 .第一步：从 5 本书中任意取出 2 本捆绑成一本书，有 25C种方法；第二步：再把 4 本书分给 4 个学生，有 44A 种方法 .由 乘法原理，共有 25C 24044 A 种方法，故选 B. 例 5 某交通岗共有
35、 3 人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值 2 天，其不同的排法共有（ ）种 . （ A） 5040 （ B） 1260 （ C） 210 （ D） 630 误解：第一个人先挑选 2 天，第二个人再挑选 2 天，剩下的 3 天给第三个人，这三个人再进行全排列 .共有：1260332527 ACC ，选 B. 错因分析：这里是均匀分组问题 .比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的 是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了 . 正解： 6302 332527 ACC 种 . 4 遗漏计算出错 在排列组合问题
36、中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。 例 6 用数字 0， 1， 2， 3， 4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有（ ） （ A） 36 个 （ B） 48 个 （ C） 66 个 （ D） 72 个 误解：如右图，最后一位只能是 1 或 3 有两种取法， 又 因为第 1 位不能是 0，在最后一位 取定后只有 3 种取 法，剩下 3 个数排中间两个位置有 23A 种排法，共有 3632 23 A 个 . 错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比 1000 大的奇数还可能是五位数 . 正解： 任一个五位的奇数都符合要求，共有 3632 33 A 个，再由前面分析四
37、位数个数和五位数个数之和共有 72 个，选 D. 5 忽视题设条件出错 在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解 . 例 7 (2003 全 国高考题 )如图，一个 1 3 2 5 4 乙 丙 丁 a 甲 e d c b 表 1 乙 丙 丁 a 甲 e d c b 表 2 0 1， 3 Go the distance 第 10 页 共 32 页 地区分为 5 个行政区域，现给地图着色， 要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种 .（以数字作答） 误解：先着色第一区域，有 4 种方法，剩下 3 种颜色涂四个区
38、域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有122 2213 AC 种，由乘法原理共有： 48124 种 . 错因分析：据报导，在高考中有很多考生填了 48 种 .这主要是没有看清题设“ 有 4 种颜色可供 选择 ”，不一定需要 4 种颜色全部使用，用 3 种也可 以完成任务 . 正解： 当使用四种颜色时，由前面的误解知有 48 种着色方法；当仅使用三种颜色时：从 4 种颜色中选取 3种有 34C 种方法，先着色第一区域，有 3 种方法，剩下 2 种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第 2、 4 区域，另一种颜色涂第 3、 5 区域，有 2 种着色方法，由乘法原理有 242334 C 种 .综上共有：
39、722448 种 . 例 8 已知 02 bax 是关于 x 的一元二次方程，其中 a 、 4,3,2,1b ，求解集不同的一元二次方程的个数 . 误解：从集合 4,3,2,1 中任意取两个元素作为 a 、 b ，方程有 24A 个，当 a 、 b 取同一个数时方程有 1 个，共 有13124 A 个 . 错因分析：误解中没有注意 到题设中：“求 解集不同 的”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于 4221 baba 和同解、 2412 baba 和同解，故要减去 2 个。 正解： 由分析，共有 11213 个解集不同的一元二次方程 . 6 未考虑特殊情况出错 在排列组合中要特别注意一些特殊情
40、况，一有疏漏就会出错 . 例 9 现有 1角、 2角、 5角、 1元、 2元、 5元、 10元、 20元、 50元人民币各一 张， 100元人民币 2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ） (A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种 误解：因为共有人民币 11张，每张人民币都有取和不取 2种情况，减去全不取的 1种情况，共有 10231210 种 . 错因分析：这里 100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成 4 种情况，实际上只有不取、取一张和取二张 3种情况 . 正解： 除 100元人民币以外每张均有取和不取 2种情况， 100元人民币的取法有 3
41、种情况，再减去全不取的 1种情况，所 以共有 15351329 种 . 7 题意的理解偏差出错 例 10 现有 8 个人排成一排照相，其中有 甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种 . （ A） 5536 AA （ B） 336688 AAA （ C） 3335 AA （ D） 4688 AA 误解：除了 甲、乙、丙三人以外的 5人先排，有 55A 种排法， 5 人排好后产生 6 个空档，插入 甲、乙、丙三人Go the distance 第 11 页 共 32 页 有 36A 种方法，这样共有 5536 AA 种排法，选 A. 错因分析：误解中没有理解“ 甲、乙、丙三人不能相邻 ”的含义，得
42、到的结果是“ 甲、乙、丙三人 互不相邻 ”的情况 .“ 甲、乙、丙三人不能相邻 ”是指 甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻 . 正解：在 8 个人全排列的方法数中减去 甲、乙、丙全相邻的 方法数 ，就得到甲、乙、丙三人不相邻的 方法 数，即 336688 AAA ，故选 B. 8 解题策略的选择 不当出错 有些排列组合问题用直接法或分类讨论比较困难，要采取适当的解决策略，如间接法、插入法、捆绑法、概率法等，有助于问题的解决 . 例 10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ） . （ A） 1
43、6种 （ B） 18种 （ C） 37种 （ D） 48种 误解：甲工厂先派一个班去，有 3 种选派方法，剩下的 2 个班均有 4 种选择，这样共有 48443 种 方案 . 错因分析：显然 这里有重复计算 .如： a 班先派去了 甲工厂， b 班选择时也去 了 甲工厂，这与 b 班先派去了 甲工厂， a 班选择时也去 了 甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作了不一样的情况，并且这种重复很难排除 . 正解： 用间接法 .先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：37333444 种 方案 . 排列组合问题虽然 种类繁多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即：“分步
44、用乘、分类用加、有序排列、无序组合”，留心容易出错的地方就能够以不变应万变，把排列组合学好 . 六 学生练习新疆王新敞特级教师 源头学子小屋htp:/w.xjktygcom/wxckt126.omwxckt126.omhtp:/w.xjktygcom/源头学子小屋特级教师 王新敞新疆1新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建 1项， 其中甲工程队不能承建 1 号子项目 ，则不同的承建方案共有
45、 (B) A新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆1444CC 种 B新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆1444CA种 C新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教
46、师源头学子小屋 新疆44C 种 D新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆44A 种 2新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆在由数字 0， 1， 2， 3， 4， 5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5整除的数共有 192 个新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktyg
47、com/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆3新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆有 12个座位，现安排 2人就座并且这 2人 不 左右相邻，那么不同排法的种数是 _110_ 4新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygco/王新敞特级教师源头学子小屋 新疆某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛，其中一班有 3位，二班有 2位，其它班有 5位，若采
