1、一、知识提要,1、同角三角比八个基本关系式,倒数关系：,SinCsc=1 CosSec=1 tgCtg=1,商数关系：,Sin =tg Cos,Cos =Ctg Sin,1、同角三角比八个基本关系式,平方关系：,Sin2+ Cos2=1,tg2+1 =Sec2,Ctg2+1 =Csc2,1、同角三角比八个基本关系式,附：图示分析,平方关系： 三个阴影三角形上面顶点平方和等于下顶点之平方,倒数关系： 对角线两顶点之积为1,1、同角三角比八个基本关系式,商数关系： 相邻的三顶点中间一个是两旁顶点的乘积。,1、同角三角比八个基本关系式,一般的，如果已知角三角比，并已知终边所在象限，角可唯一确定。若未
2、知范围，可根据终边象限讨论，并相应求出三角比。,证明三角恒等式时，如果式中含有正 余切割，同时又含有正余弦，一般化 弦，若仅含切割则不必了。,证明三角恒等式按由繁至简原则，或 左至右，右至左，或左右归一，总 之两端异化同。,2、两角和与差的余弦、正弦,本节从证明两角差的余弦公式出发，,通过不同的变换，再逐步推导出两角和的余弦及两角和与差的正弦，说明公式间有密切的内在联系。从这个角度准确理解，掌握好公式，才能提高运用公式解决问题的技巧。,由本节公式推导而得到的诱导公式尽管有不少组，但本质上只要掌握两个特点。即三角比是否变化、符号如何确定，有这样的普遍规律：对2k及(2k1)的三角比；诱导公式中三
3、角比保持不变，对2k(/2)及2k(3/2)的三角比，诱导公式中三角比发生改变，其次将公式中的理解为锐角，判断诱导的角在哪个象限，再根据三角比在该象限的符号判别其诱导后三角比前取“”或“”符号，归纳为：“奇变偶不变，符号看象限”。,2、两角和与差的余弦、正弦,对于aSinbCos这样的式子，总 可以化为一个角的三角比形式。,2、两角和与差的余弦、正弦,即aSinbCos= a2+b2 Sin(+)。其中由,a b Cos= Sin= a2+b2 a2+b2,02来确定。,3、两角和与差的正切、余切,两角和的正切公式：,两角差的正切公式：,这两式成立的条件是：正切符号“tg”后面的角、+、 都不
4、等于,tg+ tg tg(+)= 1 tgtg,tg tg tg( )= 1+tgtg, k+ ( kZ ) 2,4、二倍角公式,正弦公式：Sin2=2SinCos,余弦公式：,Cos 2=Cos2 Sin2 =2Cos2 1 =1 2Sin2,正切公式：,2tg tg2= 1- tg2, 1 (K+ 且 K+ , KZ ) 2 2 4,运用公式变形： 在解题过程中运用以上公式的变形十分重要，这是提高综合能力、提高数学思维素质的有效手段和途径。,4、二倍角公式,例如：,tg+tg=tg(+).(1 tgtg),tg tg=tg( ).(1 + tgtg),Sin2 Sin= 2Cos,Sin2
5、 Cos= 2Sin,Cos2 Sin2=1,1+Cos2 Cos2= 2,1 Cos2 Sin2= 2,4、二倍角公式,从本质上理解二倍角公式的含义。 2是的二倍，是/2的二倍， 4是2的二倍，等等。,有的特殊关系式也要记住：,1 tg =tg 1+tg 4,1+tg =tg + 1 tg 4,5、半角公式, 1 Cos Sin = 2 2, 1+Cos Cos = 2 2, 1 Cos tg = 2 1+Cos,5、半角公式,变形公式：, Sin 1 Cos tg = = 2 1+Cos Sin ,二、例题分析,例1：已知大于零度小于180度，且,1 Sin+Cos= ，求Sin和 5,C
6、os的值。,例1：已知大于零度小于180度，且,1 Sin+Cos= ，求Sin和 5,Cos的值。,分析：若求出sin cos值，,1 Sin+Cos= 联立， 5,可以求出Sin和Cos的值。,将之与,例1：已知大于零度小于180度，且,1 Sin+Cos= ，求Sin和 5,Cos的值。,解：,1 Sin+Cos= 代入 5,把,( Sin+Cos)2=1+2SinCos,得,12 SinCos= 25, 0 180，且,12 SinCos= 0 25,900，Cos0,知：Sin Cos0,而( Sin Cos)2=1 2SinCos,12 25,49 25,=1,Sin Cos=,7
7、 5,联立：,Sin Cos=,7 5,Sin+ Cos=,1 3,得：,Cos=,3 5,Sin=,4 5,2,=,注意：对于任意角，总有,( Sin+ Cos)2=1+2SinCos,( Sin Cos)2=1 2SinCos,这两个等式联系着 Sin和Cos， Sin+ Cos， Sin Cos， SinCos关系。,本例解法多种：可以利用,Sin2+ Cos2=1,Sin+ Cos=,1 5,求Sin,由于0180可知 Sin=,4 5,又如：,Sin+ Cos=,1 5,12 SinCos= 25,得：,1 12 x2 x =0 则Sin和Cos是方程的解。 5 25,由本题可得启示
8、：,Sin+ Cos值小于1时， 不在第一象限。 Sin+ Cos0时， 不在第三象限。,例2：已知tg=3， 求Sin2+ SinCos+ 2Cos2的值。,例2：已知tg=3， 求Sin2+ SinCos+ 2Cos2的值。,分析：由已知条件tg=3， 如果将已知式子变为只含式子， 就可以求得所需值。,例2：已知tg=3， 求Sin2+ SinCos+ 2Cos2的值。,解：Sin2 + 2Cos2 + SinCos,Sin2 + 2Cos2 + SinCos = Sin2 + Cos2,tg2 + 2 + tg = tg2 + 1,32 + 3 + 2 = 32 + 1,7 5,=,注：
9、此题注意了 Sin2 + Cos2=1的主动灵活应用，三角函数中1的作用是灵活巧妙的。 如：Sin4 + Cos4 =(Sin2 + Cos2)2 2Sin2Cos2,例3：求证： ( 1+Ctg Csc)( 1+tg+Sec)=2,例3：求证： ( 1+Ctg Csc)( 1+tg+Sec)=2,证:原式=,Cos 1 Sin 1 1+ 1+ + Sin Sin Cos Cos,Sin + Cos 1 Cos+Sin+1 = . Sin Cos,2SinCos = =2 CosSin,例3：求证： ( 1+Ctg Csc)( 1+tg+Sec)=2,解：证,Cos 1 Sin 1 1+ 1+
10、 + Sin Sin Cos Cos,Sin + Cos 1 Cos+Sin+1 = . Sin Cos,2SinCos = =2 CosSin,注：此例题体现了化弦。,例4：(1)求Sin33Sin12 Cos33 Cos12,7 2 2 (2)求Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9,例4：(1)求Sin33Sin12 Cos33 Cos12,7 2 2 (2)求Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9,解：(1) 原式= Cos( 33+12 )= Cos45=,2 2,例4：(1)求Sin33 Cos33 Cos12,7 2 2 (2)求Sin Cos Sin Sin
11、 18 9 9 9,解：(1) 原式= Cos( 33+12 )= Cos45=,2 2,7 2 2 Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9,(2)原式=,7 2 1 =Sin =Sin = 18 9 6 2,例4：(1)求Sin33 Cos33 Cos12,7 2 2 (2)求Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9,解：(1) 原式= Cos( 33+12 )= Cos45=,2 2,7 2 2 Sin Cos Sin Sin 18 9 9 9,(2)原式=,7 2 1 =Sin =Sin = 18 9 6 2,说明 本题旨在加深学生对公式的正，逆用。,例5：已知, 3
12、， 2 4,Cos( )= ，,12 13,Sin(+ )= ，,3 5,求Sin2。,例5：已知, 3 ， 2 4,Cos( )= ，,12 13,Sin(+ )= ，,3 5,求Sin2。,解：, 3 ， 2 4, 0 ， 4,3 + 2,又 Cos( )=,12 13,Sin( )=,5 13,Sin(+ )=,3 5,Cos(+ )=,4 5,Sin2=Sin (+ )+ ( ),=Sin(+),Cos( )+,Cos(+),Sin( ),3 5,= . + . =,12 13,4 5,5 13,56 65,Sin2=Sin (+ )+ ( ),说明 使学生树立相对观点，不但知道+，
13、分别是与两角的和、差。而 且会把2看作两角()与() 的和，把2看()与()的差。,=Sin(+),Cos( )+,Cos(+),Sin( ),3 5,= . + . =,12 13,4 5,5 13,56 65,例6：已知ABC中，SinASinBCosACosB， 试判断ABC的形状，并说明理由。,例6：已知ABC中，SinASinBCosACosB， 试判断ABC的形状，并说明理由。,解：CosACosB SinASinB0,Cos(A+B)0,ABC,ABC ，而Cos(A+B)0,CosC0,CosC0 又0C, C ABC钝角三角形,例7：已知,Sin+ Sin=a (1) Cos
14、+Cos=b (2),求Cos()的值,例7：已知,Sin+ Sin=a (1) Cos+Cos=b (2),求Cos()的值,解：(1) 式平方： 即Sin2+Sin2+2SinSina2 (3),(2)式平方： 即Cos2+Cos2+2CosCos=b2 (4),(3)(4) 即 2+2Cos()a2b2,Cos( )=,a2b2 2 2,说明 进行三角恒等变形常要用到代数 技巧，要熟悉所学三角公式的各 种形式，这样就可以有机地把代 数技巧结合到三角变换中去。,例8：当x取什么值时，y=1-(Sinx+Cosx)2+ Cos2x取得最大值与最小值，最大值 与最小值各是多少？,例8：当x取什
15、么值时， y=1 (Sinx+Cosx)2+ Cos2x取得最大值与最小值，最大值与最 小值各是多少？,解法一： y1(Sin2x2Sinx Cosx+Cos2x Cos2x),3,1 1 Sin2x+ Cos2x,3,2 Cos2x Sin2x,3 2,1 2, 6,=2Cos 2x,当 2x+ 2k kZ, 6, 12,即 xk kZ时 y最大2,当 2x+ 2k+ kZ, 6,5 12,即 xk+ kZ时 y最小 2,例8：当x取什么值时，y=1 (Sinx+Cosx)2+ Cos2x取得最大值与最小值，最大值与最 小值各是多少？,解法二：,3,y1 Sin(x+ ) 2+ Cos2x,
16、2, 4,3,1 2Sin2(x+ )+ Cos2x, 4,3,Cos( 2x)+ Cos2x, 2,3, Sin2x+ Cos2x (以下同法一),3,例9：已知Sin(2+)+2Sin=0,求证：tg=3tg(+),例9：已知Sin(2+)+2Sin=0,求证：tg=3tg(+),分析：欲证tg=3tg(+),Sin Sin(+) =3 Cos Cos(+),3 Sin(+)Cos=SinCos(+),Sin(+) +2Sin(+)Cos=0,2Sin+Sin(2+)=0,例9：已知Sin(2+)+2Sin=0,求证：tg=3tg(+),证明:,Sin(2+)+2Sin=0,Sin(+)+
17、2Sin(+ )0,Sin(+)Cos+Cos(+)Sin+2Sin(+)Cos Cos(+)Sin=0, 3Sin(+)Cos Cos(+)Sin=0,tg=3tg(+),说明 2+=(+)+， =(+) 角变换，再 变形（不化简而化繁）得到证明。,例10：已知2tg=3tg，,求证：tg( )=,Sin2 5 Cos2,例10：已知2tg=3tg，,求证：tg( )=,Sin2 5 Cos2,证明 :由已知得tg= tg，,3 2,tg tg tg 左边= = = 1+tgtg 2+3tg2,3 tg tg 2,1+ tg2,3 2,Sin2 右边= 5(Cos2+Sin2) (Cos2+
18、Sin2),2SinCos = 4Cos2+6Sin2,1 2Cos2,=,1 2Cos2,2SinCos,(4Cos2+6Sin2),tg = 2+3tg2, 左边右边,分析：要证A=B，一般有三种方法： A B； B A ； A C，B C ，从而 A=B。本例用的是第三种方法，把“1” 化为“Sin2+Cos2”是有时解题用的 方法，先化简为繁，反而能较快地达到 目的。,例10：已知2tg=3tg，,求证：tg( )=,Sin2 5 Cos2,例11：已知 4CosCos= ，,6,4SinSin=,2,求(1 Cos4)(1 Cos4)的值。,例11：已知 4CosCos= ，,6,4
19、SinSin=,2,求(1 Cos4)(1 Cos4)的值。,解：将已知的两式相乘，得,4.2SinCos2SinCos=2,3,Sin2Sin2=,3 2, (1 Cos4)(1 Cos4),=2Sin222Sin22,=4(Sin2Sin2)2=4 =3,3 4,例11：已知 4CosCos= ，,6,4SinSin=,2,求(1 Cos4)(1 Cos4)的值。,说明：将已知两式相乘，是对所要求值的式子,(1 Cos4)(1 Cos4)进行分析而思考 出来的方法。4是2的二倍。,例12：已知A、B、C是ABC的三个内角，,求证：,A B B C C A tg tg +tg tg + tg
20、 tg =1 2 2 2 2 2 2,例12：已知A、B、C是ABC的三个内角，,求证：,A B B C C A tg tg +tg tg + tg tg =1 2 2 2 2 2 2,证明： 由,B C tg + = 2 2,B 2,C 2,tg tg,B 2,C 2,tg + tg,1,可得,B 2,C 2,tg + tg =,B C tg + 2 2, A tg 2 2,=,A tg 2,=C,左边=,A tg 2,B 2,C 2,tg + tg,+,B 2,C 2,tg tg,A tg 2,=,A tg 2,C,B 2,C 2,tg tg,1,+,B 2,C 2,tg tg,=,B 2
21、,C 2,tg tg,1,+,B 2,C 2,tg tg,=1=右边,例12：已知A、B、C是ABC的三个内角，,求证：,A B B C C A tg tg +tg tg + tg tg =1 2 2 2 2 2 2,说明：要掌握有关三角形内角的恒等式。由,A+B+C=得A+B= C，,A+B C = 2 2 2 。,于是Sin(A+B)=SinC，Cos(A+B)= CosC，,tg(A+B)= tgC，Sin = ，,A+B 2,C os 2,C,Cos,A+B 2,C Sin 2,=,tg,，,A+B 2,C tg 2,C,=,例13：已知函数,f(x)=2aSin2x 2 aSinxC
22、osx+a+b (a0),3,定义域为0, ，值域为 5,1。求常数a、b。, 2,例13：已知函数,f(x)=2aSin2x 2 aSinxCosx+a+b (a0),3,定义域为0, ，值域为 5,1。求常数a、b。, 2,解：利用二倍角公式可得,f(x)=a(1 Cos2x) aSin2x+a+b,3,= a(Cos2x+ Sin2x)+2a+b,3,= 2aSin 2x+ +2a+b, 6,x0, , 2, 2x+ 在此区间, 6, 6,7 6,Sin(2x+ )最大值为1，最小值为 。, 6,1 2,(1)当a0时，f(x)的最小值是 2a+2a+b= 5，,即 b= 5，f(x)最
23、大值是,1 2,2a +2a+b=1,即 a=2 。,(2)当a0时， f(x)的最小值是,1 2,2a +2a+b=3a+b= 5,而f(x)最大值是,2a+2a+b=1,b=1，a= 2,a=2，b= 5 或a= 2，b=1,例13：已知函数,f(x)=2aSin2x 2 aSinxCosx+a+b (a0),3,定义域为0, ，值域为 5,1。求常数a、b。, 2,说明：分类讨论是数学解题中的一种重要的也 是常用的思维方法。,例14：已知SinCos= ，,60 169,且( , ),求tg的值。, 4, 2,例14：已知SinCos= ，,60 169,且( , ),求tg的值。, 4
24、, 2,解法一：由已知,Sin2=,120 169, ，, 4, 2,2, 2, Cos2= 1 2,120 169,=,119 169, tg=,1 Cos2 Sin2,1+,119 169,120 169,=,12 5,=,例14：已知SinCos= ，,60 169,且( , ),求tg的值。, 4, 2,解法二：同解法一到cos2= 止。,119 169,( , ), 4, 2, tg0,tg=,1 Cos2 1+Cos2,1+,119 169,119 169,=,1,=,12 5,例14：已知SinCos= ，,60 169,且( , ),求tg的值。, 4, 2,解法三：由已知1+
25、2SinCos=,289 169,又SinCos0，,(Sin+cos)2=,289 169,Sin+Cos=,17 13,(1),，,同样 (Sin cos)2=,，,49 169,，,Sin Cos=,7 13,(2),由(1)、(2)式得,Sin=,12 13,Cos=,5 13, tg=,12 5,说明：,的符号，故用半角公式,tg=,1 Cos2 Sin2,；,采用解法二须注意cos2本身是负值，而tg是正值，采用解法三要注意由于的取值范围可确定sin+cos、sin-cos的符号。,解法一是根据题设可确定sin2、cos2,例15：已知tgA=,，求证：acos2A+bsin2A=
26、a,例15：已知tgA=,，求证：acos2A+bsin2A=a,解：证法一 利用万能置换公式有：,左边=,aCos2A+bSin2A,=a .,1,1+,+ b .,2 .,1+,=a .,a2 b2,a2 + b2,+ b .,2ab,a2 + b2,=,a3 ab2+2ab2,a2 + b2,a(a2+b2),a2 + b2,=,=a=右边。,例16：已知tgA=,，求证：acos2A+bsin2A=a,解：证法二, tgA= =,SinA,CosA, aSinA=bCosA,2aSin2A=2bCosASinA,2aSin2A=bSin2A,a(1 Cos2A)=bSin2A, aco
27、s2A+bsin2A=a,分析：题设中隐含了条件Ak+ 。看到题,例15：已知tgA=,，求证：acos2A+bsin2A=a,设中的tgA和求证式中的cos2A，sin2A自然想到用万能置换公式。, 2,例16：已知tg+Sin=m ， tg Sin=n,求证：m2 n2= 4 mn,例17：已知tg+Sin=m ， tg Sin=n,求证：m2 n2= 4 mn,证明:,m2 n2,(tg+Sin)2 (tg Sin)2,=,=4tgSin,4 mn =4 tg2 Sin2,=4 (Sec2 1)Sin2,=4 tg2Sin2,=4tgSin,左右两边都等于4tgsin故相等。,例17：已
28、知tg+Sin=m ， tg Sin=n,求证：m2 n2= 4 mn,解：证明,m2 n2,(tg+Sin)2 (tg Sin)2,=,=4tgSin,4 mn =4 tg2 Sin2,=4 (Sec2 1)Sin2,=4 tg2Sin2,=4tgSin,左右两边都等于4tgsin故相等。,注：此题体现了知识提要中左右归一的证题思路,三、小结,本节重点、难点：,1、掌握同角八个三角恒等关系式。,2、在两角和与差的公式中，以Cos(+)CosCosSinSin最为基本，应当掌握这一公式的推导过程，其它的一系列公式都可以通过诱导公式，同角关系式或式的变形运算得到，建议同学们在理解、掌握公式的来龙去脉的基础上去认识，记忆公式，而不要死记硬背。,3、公式的应用讲究一个“活”字，体现在 以下两个方面。 (1) 即要熟练地顺着用公式，也要善于 逆着用公式。 (2) 能够创造条件应用公式。如角的变 换：可表示为(+)， “2”可表示为(+)( )等。,4、掌握和熟练运用两角的和与差的正 切公式、二倍角的正弦、余弦和正 切公式。 5、灵活地选择各有关公式及其变形， 进行三角式的化简、求值和证明。,
