材料力学常用计算公式.pdf

1、 第 1 章 常用资料、数据和一般标准 G1 常用几何体的体积、面积及重心位置（ 表 G1-1） 表 G1-1 常用几何体的体积、面积及重心位置 图 形 体积 V、底面积 A、侧面积 A0、全面积 An、重心位置 G 的计算公式 图 形 体积 V、底面积 A、侧面积 A0、全面积 An、重心位置 G 的计算公式 2)(364G2n2023aZdadaAaAaAaV=为对角线)3(4 )4()2(p)2(p)(pp2p)3(3p)3(6pG222n2202222hrhrhZaharhAharhAaAhrhhahV=+=+=+=+=2)()(2)(2G222n0hZdhbadbhahabAbahA

2、abAabhV=+=+=+=为对角线在椭球中心重心 GabcV p34= 与球心重合重心 GrArV2n3p4p34=在圆环中心重心 GDdRrADdRrV22n2222pp44pp2=rZrArArArV83p3p2pp32G2n2023=V=pir2h A0=2pirh An=2pir(r+h) ZG= 2h 2 (续 ) 图 形 体积 V、底面积 A、侧面积 A0、全面积An、重心位置 G 的计算公式 图 形 体积 V、底面积 A、侧面积 A0、全面积An、重心位置 G 的计算公式 2)(p2)(p2)(p)(pGn02222hZhrRrRArRhArRArRhV=+=+=)22(2)3

3、()(4)()(4)(21)22(611111111G01n2121212101111111babaababbabaababhZAAAAbbhaaaahbbAabAbaAbabaababhV+=+=+=+=)(4)32()()(p)(p)(3p2222G22022n022rRrRrRrRhZhrRlArRArRlARrrRhV+=+=+=+=+=44232332331G0n22022hZAAAalaAaAhaAhV=+=4)(pppp31G22n022hZhrllrrArlArAhrV=+=+=)()(4)32()(3233233131212212G01n10221211111为斜高为顶面积

4、,gAaaaaaaaahZAAAAaagAaAaAaaaahAV+=+=+=+=4)44(21)44(2131G2222n22220hZbhaahbabAbhaahbAabAabhV=+=+=2)(46336233233G222n022hZdahdahaAahAaAhaV=+=+=为对角线3 G2 常用力学公式G2.1 常用截面的力学特性 (表 G1-2、 表 G1-3) 表 G1-2 常用截面的几何及力学特性 截面形状 面积 A 惯性矩 I 截面系数 eIW = 回转半径 AIi = 形心距离 e 2a 124a3x12x1179.06aWaW= aa 289.012= aeae7071.0

5、2x1x=22 ba 1244 ba abaWabaW44x144x1179.06=22289.0 ba + aeae7071.02x1x=ab 123ab62abbb 289.012= 2b )( hHb 12)(12)(3y33xhHbIhHbI=6)(6)(2y33xhHbWHhHbW=bihHhHi289.012y22x=+=22yxbeHe=)(2 baH + 32)(3642 Hbaabba+)2(12)4()2(12)4(222xb222xabababaHWbababaHW+=+=24)(322 bababaH+)(3 )2( ba baH + 2bH 363bH12242xb2

6、xabHWbHW=HH 236.023= 3H 4 (续 ) 截面形状 面积 A 惯性矩 I 截面系数 eIW = 回转半径 AIi = 形心距离 e RCCA= 2598.2xyxIIRI= 45413.0 3y3x5413.0625.0RWRW= Ri 4566.0x = ReRe=yx 866.0 4p 2d 64p 4d 32p 3d 4d 2d )(4p 22 dD )(64p 44 dD DdD 4432p 444 dD +2D 4p 22 da 16p3121 44 da 16p361 44 daa )p4(48p3162244dada 2a 8p 2d 128p00686.04

7、y4xdIdI=64p0239.03y4xdWdW=41319.0yxdidi=dy de 2122.0 2878.0sx= 8)(p 22 dD 128)(p)(00686.044y44xdDIdDI= =443y 164pDddW 22yx41 dDFIiAIiyx+=)(p3)(2 22sdDdDdDy+=sxx24y2s1xx431x22222sinsin32sin1808cossin884218 4296.57)2(201745.0)(21yrJWrIAyJJrlrIcrrhh hcrrlhrhclhrcrlA= =+=；aaaapaaaaAIi xx = Acy123s = 5 (

8、续 ) 截面形状 面积 A 惯性矩 I 截面系数 eIW = 回转半径 AIi = 形心距离 e abp 4p4p3y3xbaIabI=4p4p2y2xbaWabW=22yxaibi=ae be =yx )(p 11baab )(4p)(4p1313y3113xbabaIbaabI=ababaWbbaabW4)p(4)(p1313y3113x=AIiAIiyyxx=ae be =yx )( 2 hebBH+ 333231x bhaeBeI +=2x2x1x1xeIWeIW=)(3233231hebHBbhaeBe+ 12221 )(2eHebtaHbtaHe=+=6 (续 ) 截面形状 面积

9、A 惯性矩 I 截面系数 eIW = 回转半径 AIi = 形心距离 e bhBH + 1233xbhBHI += HbhBHW633x+= )(1233bhBHbhBH+ 2H bhBH 1233xbhBHI = HbhBHW633x= )(1233x bhBHbhBHi= 2H 7 表 G1-3 主要组合截面的回转半径 截面形状 回转半径 截面形状 回转半径 hihiYX215.030.0= bihiYX21.021.0= bihiYX20.032.0= bihiYX43.043.0= bihiYX24.028.0= bihiYX22.042.0= bihiYX17.030.0= bihi

10、YX20.039.0= bihiYX21.026.0= bihiYX56.035.0= hibihiZYX185.021.021.0=bihiYX60.038.0= 8 (续 ) 截面形状 回转半径 截面形状 回转半径 bihiYX44.038.0= bihiYX24.045.0= 235.0dDddicpcpX+=bihiYX21.040.0= bihiYX38.044.0= bihiYX235.045.0= bihiYX54.037.0= bihiYX32.044.0= bihiYX45.037.0= 9 G2.2 受静载荷梁的支点反力、弯矩和变形计算公式（ 表 G1-4、 表 G1-5）

11、 表 G1-4 常用静定梁的支点反力、弯矩和变形计算公式 序号 载荷情况及剪力图弯矩图 支点反力 弯矩方程 挠度曲线方程 最大挠度 梁端转角 1 2FFFBA = 2)(:2/ 0FxxMlx= =333 4348:2/ 0lxlxEIFlylxEIFlylx48:2/3max= 处在EIFl162BA= qq 2 lFaFlFbFBA=)(1)(:11)(:0axFFbxxMxaFbxxMax= +=baxxxblEIlFbylxbxlEIlFbxyax332222)()(6:0)(6:02EIblFbylxEIlblFbyblxba48)43(:2/39)(:3,222/322max22=

12、处在处在若EIlalFabEIlblFab6)(6)(BA+=+=qq3 FFF BA = FaMalxaFxxMax=:)(:0)(36:0)(36: 022axlxEIFayalxxalaEIFxylx=)43(24:2/22max alEIFaylx= 处在)(2 2BAalEIFa = qq9 10 (续 ) 序号 载荷情况及剪力图弯矩图 支点反力 弯矩方程 挠度曲线方程 最大挠度 梁端转角 4 lMFFBA = =lxMxM 1)( +=33222 326 lxlxlxEIMly EIMlylxEIMlylx16:2/39:31122max= =处在处在EIMlEIMl63BA=qq

13、5 lMFFBA = lMxxM =)( =3326 lxlxEIMly EIMlylxEIMlyx16:2/39:3122max=处在处在EIMlEIMl36BA=qq6 lMFFBA = =lxMxMlxalMxxMax1)(:)(:0)(36 )(:)3(6:0222222xlalEIl xlMylxaxblEIlMxyax=EIlalMyalxEIlblMyblx39)3(:3/)3(39)3(:3/)3(2/322max2222/322max122=处在处在)33(66)3(6)3(222C22B22AlbaEIlMEIlalMEIlblM+=qqq10 11 (续 ) 序号 载荷情

14、况及剪力图弯矩图 支点反力 弯矩方程 挠度曲线方程 最大挠度 梁端转角 7 2qlFFBA = )(2)( xlqxxM = )2(24323 xlxlEIqxy += EIqlylx3845:2/4max= 处在EIql243BA= qq 8 3600lqFlqFBA= =22016)(lxlxqxM +=5533403107360lxlxlxEIlqyEIlqylx30max 00652.0:519.0= 处在EIlqEIlq45360730B30A=qq11 12 (续 ) 序号 载荷情况及剪力图弯矩图 支点反力 弯矩方程 挠度曲线方程 最大挠度 梁端转角 9 += +=cblqbFcb

15、lqbFBA22 + += += +=+ +=cblbacblqbMcblbaxaxqxcblqbxMbaxaxcblqbxMax222:2)(22)(:2)(:0max2处在 +=+ + +=+ + +=2222422222222)(42)(6)(44226:4226:0xlbbalxlbaEIlqbylxbaaxblxbcblxcbEIlqbybaxaxbcblcbEIlqbxyaxmax,0=:+yyxybaxa方程即得代入的数值解求出令处在 += + +=42)(64226222B222AbbalbaEIlqbbcblcbEIlqbqq10 40lqFF BA = =220 4312)

16、(:2/0lxlxqxMlx +=553340 164025960:2/0lxlxlxEIlqylxEIlqylx120:2/40max = 处在EIlq1925 0BA = qq 12 13 (续 ) 序号 载荷情况及剪力图弯矩图 支点反力 弯矩方程 挠度曲线方程 最大挠度 梁端转角 11 llaFFlFaFBA)( +=)()(:)(:0xalFxMalxllFaxxMlx+=+=)()(6:6:0332332lxlaaxxalEIlFyalxllxlxEIFalylx+=+ =EIFalylxalEIFayalx16:2/)(3:22max=+=+=处在处在)32(636DBAalEIF

17、aEIFalEIFal+=qqq12 +=laqaFlqaFBA212222)(2)(:2)(:0xalqxMalxlxlqaxMlx+=+=+=+ =4233223322)(2)(2(12:12:0lxala lxlaxxlEIlqayalxllxlxEIlqaylx)43(24:32:2/3max22laEIqayalxEIlqaylx+=+=处在处在)(66122D2B2AalEIqaEIlqaEIlqa+=qqq13 FFF BA = FaMalxaFxxMax=+=:)(:0)()32()(36:)(3)32(6:033222axxlaaxlaaEIFyalxaxxlaalaaEIF

18、yax+=+=EIFalylaxEIlaFayyCED8:2/6)32(22=+=+=处在 EIalFaEIFal2)(2DEBA+=qqqq13 14 (续 ) 序号 载荷情况及剪力图弯矩图 支点反力 弯矩方程 挠度曲线方程 最大挠度 梁端转角 14 lMFFBA = MMalxlxlMxMlx=+=max:)(:0)(3(6:6:0332xlxlEIMyalxllxlxEIMlylx=+ =( )2D232616:2/alaEIMyEIMlylx+= 处在)3(336DBAalEIMEIMlEIMl+=qqq15 FlMFFAA=)()( lxFxM = =33223 36 lxlxEIF

19、ly EIFlylx33max=在EIFl22B=q 16 MM A = MxM =)( EIMxy22= EIMlylx2:2max= 处在EIMl=Bq 17 22qlMqlFAA= +=2)(22 xllxqxM +=4433224 4624 lxlxlxEIqly EIqlylx8:4max= 处在EIql63B=q 14 15 (续 ) 序号 载荷情况及剪力图弯矩图 支点反力 弯矩方程 挠度曲线方程 最大挠度 梁端转角 18 62200lqMlqFAA=+=1336)(33220lxlxlxlqxM+=554433224051010120lxlxlxlxEIlqyEIlqylx30:

20、40max = 处在EIlq2430B =q 注 :式中 x 为从梁左端起量的坐标 (参见序号 1.15 图 )， E 为材料弹性模量， I 为惯性矩 ,下同。 表 G1-5 静不定梁的支点反力、弯矩和变形计算公式 载荷、挠曲线和弯矩图 支 点反力、弯矩 挠度曲线方程 挠 度 梁端转角 D FlMFlMFFFFFBBA3251631611,165=3233311996)(:2/05396)(:2/0lxlxEIFlxylxlxlxEIFlxylxEIFlylxEIFlylx7687:2/548:447.033max=处在处在EIFl322A =q 15 16 (续 ) 载荷、挠曲线和弯矩图 支

21、点反力、弯矩 挠度曲线方程 挠 度 梁端转角 += = += +=lalabFMlblabFMablblaFFlalbFFFBBA21212321212222 +=laEIlbFayaxEIFlyClb314:0098.0:586.02323max处在截面处在时当EIlFab42A =q lxqlMqlMqlFqlFFBBA8312898185,83022=在+=4342348)( lxlxlxEIqlxy EIqlylx185:4215.04max= 处在EIql483A =q lxlqMlqMlqFlqFFBBA447.00298.0151104,1010222222=在+=5342 21

22、20)( lxlxlxEIlqxy EIlqylx419:447.042max = 处在EIlq12032A =q 16 17 (续 ) 载荷、挠曲线和弯矩图 支点反力、弯矩 挠度曲线方程 挠 度 梁端转角 FlMFlMMFFFFBABA818121= 323 4348)(:2/0lxlxEIFlxylxEIFlylx192:2/3max= 处在 22222222121= += +=lblaFlMlaFbMlbFaMlblaFFlalbFFFBABA += +=3223222136)(:02136)(:0lxlblxlbEIFlaxybxlxlalxlaEIFlbxybx333223max3:

23、)3(32:32,EIlbFayaxbabaEIFybaalxba=+=+=处在处在若 2224112121qlMqlMMqlFFFBABA=+= 4324 224)( lxlxlxEIqlxy EIqlylx384:2/4max= 处在 17 18 (续 ) 载荷、挠曲线和弯矩图 支点反力、弯矩 挠度曲线方程 挠 度 梁端转角 lxlqMlqMlqMlqFlqFFBABA548.00214.0201301207203022222222=+= 53242 32120)( lxlxlxEIlqxy EIlqylx764:525.042max = 处在 G2.3 常用零件的接触应力和接触变形计算公

24、式（ 表 G1-6、 表 G1-7） 表 G1-6 常用零件接触应力和接触变形计算公式 接触情况 接触面积尺寸 最大接触应力 maxs 接触物体靠近位移值 时当 3.02121 = mm,EEE 球与球 18 19 (续 ) 接触情况 接触面积尺寸 最大接触应力 maxs 接触物体靠近位移值 时当 3.02121 = mmE,EE 球与球形凹面 球与圆柱 时当 3.02121 = mm,EEE 19 20 (续 ) 接触情况 接触面积尺寸 最大接触应力 maxs 接触物体靠近位移值 球与圆柱时当 3.02121 = mm,EEE 球与平面 球与圆柱凹面 20 21 (续 ) 接触情况 接触面积

25、尺寸 最大接触应力 maxs 接触物体靠近位移值 时当 3.02121 = mm,EEE 球与圆柱凹面 +=2221212121 11128.1EERRRRlPb mm接触带半宽2221212121115642.0EERRRRlPmm + + +407.02ln1407.02ln1222221121bREbRElPmmp时当 3.02121 = mm,EEE 平行圆柱 2121522.1RRRRlEPb+= 2121418.0RRRRlPE + + 814.04ln5796.0221bRRlEP +=2221211221 11128.1EERRRRlPb mm接触带半宽222121211211

26、5642.0EERRRRlPmm +时当 3.02121 = mm,EEE 圆柱与轴线平行的圆柱槽 1221522.1RRRRlEPb= 2112418.0RRRRlPE )ln1(82.1 blEP 21 22 (续 ) 接触情况 接触面积尺寸 最大接触应力 maxs 接触物体靠近位移值 +=222121 11128.1EElPRb mm接触带半宽222121 115642.0EElRPmm +时当 3.02121 = mm,EEE 圆柱与平面 lEPRb 522.1= maxmax 301.0418.0st =lRPE += bRlEPD 4ln41.0159.1的减小在两挤压面间圆柱直径

27、时当 3.02121 = mm,EEE 垂直圆柱 22 23 (续 ) 接触情况 接触面积尺寸 最大接触应力 maxs 接触物体靠近位移值 球与圆弧槽（滚珠轴承） 滚柱轴承 注 : 1. a 接触时接触面的椭圆长半轴； b 点接触时接触面的椭圆短半轴，线接触时接触面的半宽度； max1s 最大拉应力。 2. A、 B 椭圆方程系数； ds nnnn ba ? 接触问题的系数，见表 G1-7。 3. m?E 分别为材料的弹性模量和泊松比。 23 24 表 G1-7 接触问题的系数 na、 nb、 no、 n BA an bn sn dn BA an bn sn dn 1.0000 0.9623

28、0.9240 0.8852 0.8459 0.8059 0.7652 0.7238 0.6816 0.6384 0.5942 0.5489 0.5022 0.4540 0.4040 0.3518 0.3410 0.3301 0.3191 0.3080 0.2967 0.2853 0.2738 0.2620 0.2501 0.2380 0.2257 0.2132 0.2004 0.1873 1.0000 1.013 1.027 1.042 1.058 1.076 1.095 1.117 1.141 1.168 1.198 1.233 1.274 1.322 1.381 1.456 1.473 1

29、.491 1.511 1.532 1.554 1.578 1.603 1.631 1.660 1.693 1.729 1.768 1.812 1.861 1.0000 0.9873 0.9472 0.9606 0.9465 0.9318 0. 9165 0.9005 0.8837 0.8660 0.8472 0.8271 0.8056 0.7822 0.7565 0.7278 0.7216 0.7152 0.7086 0.7019 0.6949 0.6876 0.6801 0.6723 0.6642 0.6557 0.6468 0.6374 0.6276 0.6171 1.0000 0.999

30、9 0.9997 0.9992 0.9985 0.9974 0.9960 0.9942 0.9919 0.9890 0.9853 0.9805 0.9746 0.9669 0.9571 0.9440 0.9409 0.9376 0.9340 0.9302 0.9262 0.9219 0.9172 0.9121 0.9067 0.9008 0.8944 0.8873 0.8766 0.8710 1.0000 0.9999 0.9997 0.9992 0.9985 0.9974 0.9960 0.9942 0.9919 0.9889 0.9852 0.9804 0.9744 0.9667 0.95

31、66 0.9432 0.9400 0.9366 0.9329 0.9290 0.9248 0.9203 0.9155 0.9102 0.9045 0.8983 0.8916 0.8841 0.8759 0.8668 0.1739 0.1603 0.1462 0.1317 0.1166 0.1010 0.09287 0.08456 0.07600 0.06715 0.05797 0.04838 0.04639 0.04439 0.04237 0.04032 0.03823 0.03613 0.03400 0.03183 0.02962 0.02737 0.02508 0.02273 0.0203

32、3 0.01787 0.01533 0.01269 0.009934 0.007018 0.003850 1.916 1.979 2.053 2.141 2.248 2.381 2.463 2.557 2.669 2.805 2.975 3.199 3.253 3.311 3.373 3.441 3.514 3.594 3.683 3.781 3.890 4.014 4.156 4.320 4.515 4.750 5.046 5.432 5.976 6.837 8.609 0.6059 0.5938 0.5808 0.5665 0.5505 0.5325 0.5224 0.5114 0.499

33、3 0.4858 0.4704 0.4524 0.4484 0.4442 0.4398 0.4352 0.4304 0.4253 0.4199 0.4142 0.4080 0.4014 0.3942 0.3864 0.3777 0.3680 0.3568 0.3436 0.3273 0.3058 0.2722 0.8614 0.8504 0.8386 0.8246 0.8082 0.7887 0.7774 0.7647 0.7504 0.7338 0.7144 0.6909 0.6856 0.6799 0.6740 0.6678 0.6612 0.6542 0.6467 0.6387 0.6300 0.6206 0.6104 0.5990 0.5864 0.5721 0.5555 0.5358 0.5112 0.4783 0.4267 0.8566 0.8451 0.8320 0.8168 0.7990 0.7775 0.7650 0.7509 0.7349 0.7163 0.6943 0.6675 0.6613 0.6549 0.6481 0.6409 0.6333 0.6251 0.6164 0.6071 0.5970 0.5860 0.5741 0.5608 0.5460 0.5292 0.5096 0.4864 0.4574 0.4186 0.3579