1、平面几何：有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例 1过等腰ABC 底边 BC 上一点 P 引 PMCA 交 AB 于 M；引 PNBA 交AC 于 N.作点 P 关于 MN 的对称点 P.试证：P 点在ABC 外接圆上.(杭州大学中学数学竞赛习题)分析：由已知可得 MP= MP=MB，NP=NP=NC，故点 M 是PBP 的外心，点N 是 PPC 的外心.有BPP = BMP= BAC，21PPC= PNC= BAC.BPC=BP P+P PC=BAC.从而，P点与
2、A，B，C 共圆、即 P在ABC 外接圆上.由于 PP 平分BPC，显然还有PB :PC =BP:PC.例 2在ABC 的边 AB，BC，CA 上分别取点 P， Q，S.证明以APS，BQP，CSQ 的外心为顶点的三角形与ABC 相似.(B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析：设 O1，O 2，O 3 是APS，BQP ，CSQ 的外心，作出六边形O1PO2QO3S 后再由外心性质可知PO 1S=2A ，QO 2P=2B ，SO 3Q=2C.PO 1S+QO 2P+SO 3Q=360.从而又知O 1PO2+O 2QO3+O 3SO1=360将O 2QO3 绕着 O3 点旋转到KSO 3，易判断 K
3、SO 1O 2PO1，同时ABCPNABCQKO.S123可得O 1O2O3O 1KO3.O 2O1O3=KO 1O3= O 2O1K= (O 2O1S+SO 1K)= (O 2O1S+PO 1O2)= PO 1S=A；同理有O 1O2O3=B .故O 1O2O3ABC.二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比 2:1 及中线长度公式，便于解题.例 3AD ，BE，CF 是 ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在PAD，PBE， PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第 26 届莫斯科数学奥林匹克)分析：设 G 为ABC 重心，直线 PG 与
4、 AB，BC 相交.从 A，C，D，E，F 分别作该直线的垂线，垂足为 A，C，D，E ，F.易证 AA=2DD ，CC=2FF，2EE=AA+CC，EE=DD +FF.有 SPGE =SPGD +SPGF .两边各扩大 3 倍，有 SPBE =SPAD +SPCF .例 4如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将ABC 简记为，由三中线 AD，BE，CF 围成的三角形简记为.G 为重心，连 DE 到 H，使 EH=DE，连 HC，HF，则就是HCF.(1)a2，b 2，c 2 成等差数列 .若ABC 为正三角形，易证.不妨设 abc
5、，有CF= ，221BE= ，AD= .22acb将 a2+c2=2b2，分别代入以上三式，得CF= ，BE= ，AD= .3c23AFGEDCPBCF:BE:AD = : :a23bc23=a:b:c.故有. (2) a2，b 2，c 2 成等差数列.当中 abc 时，中 CFBEAD.， ( )2.SaCF据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的 ”，43有 = .S43 = 3a2=4CF2=2a2+b2-c22CFa2+c2=2b2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例 5设 A1A2A
6、3A4 为O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4 依次为A 2A3A4， A3A4A1，A 4A1A2，A 1A2A3 的垂心 .求证：H1，H 2，H 3，H 4 四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛)分析：连接 A2H1，A 1H2，H 1H2，记圆半径为 R.由A 2A3A4 知=2R A2H1=2RcosA 3A2A4；132sin由A 1A3A4 得A1H2=2RcosA 3A1A4.但A 3A2A4=A 3A1A4，故 A2H1=A1H2.易证 A2H1A 1A2，于是，A 2H1 A1H2，故得 H1H2 A2A1.设 H1A1 与 H2A2 的交点
7、为 M，故 H1H2 与 A1A2 关于 M点成中心对称.=.OA124H1同理，H 2H3 与 A2A3，H 3H4 与 A3A4，H 4H1 与 A4A1 都关于 M 点成中心对称.故四边形 H1H2H3H4 与四边形 A1A2A3A4 关于 M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4 在同一个圆上.后者的圆心设为 Q，Q与 O 也关于 M 成中心对称.由 O，M 两点，Q 点就不难确定了.例 6H 为ABC 的垂心，D，E，F 分别是 BC，CA ，AB 的中心.一个以 H 为圆心的H 交直线 EF，FD ，DE 于 A1，A 2，B 1， B2，C 1，C 2.
8、求证：AA 1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析：只须证明 AA1=BB1=CC1 即可.设BC=a， CA=b，AB=c ， ABC 外接圆半径为 R，H 的半径为 r. 连 HA1，AH 交 EF 于 M.A =AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2)， 又 AM2-HM2=( AH1)2-(AH- AH1)2=AHAH1-AH2=AH2AB-AH2=cosAbc-AH2， 而 =2R AH2=4R2cos2A,ABHsin=2R a2=4R2sin2A.AH 2+a2=4R2，AH 2=4R2-a2. 由、有A =
9、r2+ bc-(4R2-a2)1bc2= (a2+b2+c2)-4R2+r2.同理， = (a2+b2+c2)-4R2+r2，1B= (a2+b2+c2)-4R2+r2.C故有 AA1=BB1=CC1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设 I 为 ABC 的内心，射线 AI 交ABC 外接圆于 A，则有 A HMBACF12122DEABCDO2341I=AB=AC.换言之，点 A必是IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例 7ABCD 为圆内接凸四边形，取DAB，ABC，BCD ，CDA 的内心 O1， O2，O 3
10、，O4.求证：O 1O2O3O4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见中等数学1992；4例 8已知O 内接ABC，Q 切 AB，AC 于 E，F 且与O 内切.试证：EF中点 P 是ABC 之内心.(B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)分析：在第 20 届 IMO 中，美国提供的一道题实际上是例 8 的一种特例，但它增加了条件 AB=AC.当 AB AC，怎样证明呢？ 如图，显然 EF 中点 P、圆心 Q，BC 中点 K 都在BAC 平分线上.易知AQ= .sinrQKAQ=MQQN，QK= AQNM= = .sin/)2(rR)2(irR由 RtEPQ 知 PQ= .sPK=PQ+Q
11、K= + = .i)(inR2sinPK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知 P 是ABC 这内心.五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.例 9在直角三角形中，求证：r+r a+rb+rc=2p.式中 r，r a，r b，r c 分别表示内切圆半径及与 a，b，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学中学数学竞赛习题)分析：设 RtABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).A MBCKNEROQFrPKrrOO213AECBabcp(p-c
12、)= (a+b+c) (a+b-c)2121= (a+b)2-c2 4= ab；(p-a)(p-b)= (-a+b+c) (a-b+c)2121= c2-(a-b)2= ab.4p(p-c)=(p -a)(p-b). 观察图形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而 r= (a+b-c)21=p-c.r+r a+rb+rc=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p=4p-(a+b+c)=2p.由及图形易证.例 10M 是ABC 边 AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是AMC ，BMC，ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在ACB
13、 内部的旁切圆半径.证明： = .12(IMO-12)分析：对任意ABC，由正弦定理可知OD=OA 2sinA=AB siBO2sinAABCOED=AB ，2sinBAOE= AB .sico .2tgD亦即有 =1qr2 2BtgCNtMAt= = .Btgqr六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例 11设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中，AB =BC，CD =DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF .(1991，国家教委数学试验班招
14、生试题)分析：连接 AC，CE，EA，由已知可证 AD，CF， EB 是ACE 的三条内角平分线，I 为ACE 的内心.从而有 ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC.再由BDF ，易证 BP，DQ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：BI+DI+FI2(IP+IQ+IS).不难证明 IE=2IP， IA=2IQ，IC=2IS. BI+ DI+FIIA+IE+IC.AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)(IA +IE+IC)+(BI+DI+FI)Erdos IPABCDEFQS=AD+BE+CF.I 就是一点两心.例 12ABC 的外心为 O，
15、AB=AC，D 是 AB 中点，E 是ACD 的重心.证明OE 丄 CD.(加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设 AM 为高亦为中线，取 AC 中点F，E 必在 DF 上且 DE:EF=2:1.设CD 交 AM 于 G，G 必为ABC 重心.连 GE， MF，MF 交 DC 于 K.易证：DG:GK= DC:( )DC=2:1.312DG:GK=DE:EF GEMF .OD 丄 AB，MF AB，OD 丄 MF OD 丄 GE.但 OG 丄 DE G 又是ODE 之垂心.易证 OE 丄 CD.例 13ABC 中C=30，O 是外心，I 是内心，边 AC 上的 D 点与边 BC 上的 E 点使得
16、AD=BE=AB.求证：OI 丄 DE，OI=DE.(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作DAO 平分线交 BC 于 K.易证AID AIBEIB，AID=AIB=EIB.利用内心张角公式，有AIB=90+ C=105，21DIE =360-1053=45.AKB=30+ DAO=30+ (BAC-BAO)21=30+ (BAC-60)= BAC=BAI=BEI .AKIE.由等腰AOD 可知 DO 丄 AK，DO 丄 IE，即 DF 是DIE 的一条高.ABCDEFOKGOABCDEFI30同理 EO 是DIE 之垂心，OI 丄 DE.由DIE =IDO ，易知 OI=
17、DE.例 14锐角ABC 中，O，G，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为 d 外 ，重心到三边距离和为 d 重 ，垂心到三边距离和为 d 垂 . 求证：1d 垂 +2d 外 =3d 重 .分析：这里用三角法.设ABC 外接圆半径为 1，三个内角记为 A，B，C. 易知 d 外 =OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，2d 外 =2(cosA+cosB+cosC). AH 1=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC，同样可得 BH2CH3.3d 重 =ABC 三条高的和=2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB) =2，HsinHH
18、 1=cosCBH=2cosBcosC.同样可得 HH2，HH 3.d 垂 =HH1+HH2+HH3=2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB) 欲证结论，观察、，须证(cos BcosC+cosCcosA+cosAcosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可.练 习 题1.I 为 ABC 之内心，射线 AI，BI，CI 交ABC 外接圆于 A，B，C .则 AA+BB + CCABC 周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克)2.T的三边分别等于 T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等 .求证这COIAGH12
19、3两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I 为 ABC 的内心.取IBC，ICA，IAB 的外心 O1，O 2，O 3.求证：O1O2O3 与ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD 为 ABC 内角平分线.取ABC，ABD ，ADC 的外心 O，O 1，O 2.则OO 1O2 是等腰三角形.5.ABC 中C90，从 AB 上 M 点作 CA，CB 的垂线 MP，MQ .H 是CPQ 的垂心.当 M 是 AB 上动点时，求 H 的轨迹.( IMO-7)6.ABC 的边 BC= (AB+AC)，取 AB，AC 中点 M，N，G 为重心，I 为内心.21试证：过 A，M ，N 三点的圆与直线 GI 相切.(第 27 届莫斯科数学奥林匹克)7.锐角ABC 的垂心关于三边的对称点分别是 H1，H 2，H 3.已知：H1，H 2，H 3，求作ABC.(第 7 届莫斯科数学奥林匹克)8.已知ABC 的三个旁心为 I1，I 2，I 3.求证：I 1I2I3 是锐角三角形.9.AB，AC 切O 于 B，C，过 OA 与 BC 的交点 M 任作O 的弦 EF.求证：(1)AEF 与 ABC 有公共的内心； (2)AEF 与ABC 有一个旁心重合.
