1、1雅礼中学 2014届高三第三次月考试卷数学（理）一1.已知复数 z满足 z（1+i）=i，则复数 z为（ ）A B C1+i D1-i12i12i2. 幂函数 y f(x)的图像经过点(4， )，则 f( )的值为( )12 14A1 B2 C3 D43. 已知随机变量 服从正态分布 2(,)N，若 (8)0.4P，则 (0)PA 0.3 B .4 C 0.6 D .74. 下列有关命题的说法正确的是 ( )A命题“若 21x，则 ”的否命题为：“若 21x，则 ”B “ ”是“ 5”的必要不充分条件C命题“ ,R使得 210x”的否定是：“对 ,R 均有 210x”D命题“若 y，则 si
2、ny”的逆否命题为真命题5. 已知函数 ，将 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不2()cofx()fx变，再将所得图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则函数 的解析式为（ ）4yg()ygxA B()2singx ()2cosxC D3()x4x6.如右图所示， 是圆 上的三点， 的延长线与线段,BOCAB交于圆内一点 ，若 ，则( ) DCAyA B01xy1xC D07.已知函数 2()|6|f，若 ab,且 ()fab，则 2a的最小值是（ ）（A）-16 (B)-12 (C) -10 (D) -88.设函数 y=f(x)在( , )内有定义，对于给定的正数 k，定义函数
3、：,取函数 f(x)=2-x-e-x，若对任意的 x( , )，恒有 fk(x) f(x)，则()kfkf ( )A. k的最大值为 2 B. k的最小值为 2C. k的最大值为 1 D. k的最小值为 1二（一）选做题（从 911题中任选两道题作答。如果全做，则按前两题记分）29.(几何证明选讲选做题)如图, 是 O上的四个点,过点 B的切线与 的延长线交于点 E.若,ABCDDC,则 10BCDE70EODCBA10.(极坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 1cos2与曲线 cos相交于 ,AB两点, O为极点,则 AB的大小为 311.（不等式选讲选做题）已知 x、 y、 zR,
4、 且 2x3 y3 z1，则 x2 y2 z2的最小值为122（二）必做题12已知集合 _ _2|log(1),|,MNMN则 (,313.正三角形 ABC的边长为 2，将它沿高 AD翻折，使点 B与点 C间的距离为 1，此时二面角 B-AD-C大小为_60 0_14. 高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为 4115.已知函数 )(xfy， R， （1） 与 的图象关于直线 2对称；(2)yfx()yfxx（2）有下列 4个命题：若 21(ff，则 )f的图象关于直线 1对称； 则 5是 的周期；)(5xx(xy若 )f为偶函数，且 ff，则 )
5、(xf的图象关于直线 2x对称；若 (为奇函数，且 )2，则 的图象关于直线 1对称.其中正确的命题为_ _ . 16.如图，将圆分成 n个区域，用 3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为 an.（1） 18 4a（2） an=)1(3)2(2n三317.下图是某市 3月 1日至 14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100表示空气质量优良,空气质量指数大于 200表示空气重度污染,某人随机选择 3月 1日至 3月 13日中的某一天到达该市,并停留 2天.()求此人到达当日空气重度污染的概率;()设 X是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X的分布
6、列与数学期望;解：设 表示事件“此人于 3月 i日到达该市”iA(=1,2,13). 根据题意, ,且1()3iPA. 4分()ijij(I)设 B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则 , 58BA所以 . 58582()()13PAPA(II)由题意可知,X 的所有可能取值为 0,1,2,且 P(X=1)=P(A3A 6A 7A 11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)= , 4P(X=2)=P(A1A 2A 12A 13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)= , 13P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)= , 10分53所以 X的分布列为:
7、11分012543P故 X的期望 . 12分5412133E18如图，正方形 ADEF与梯形 ABCD所在平面互相垂直，ADCD，AB/CD，AB=AD= ，点 M在线21CD段 EC上且不与 E、C 垂合。（1）当点 M是 EC中点时，求证：BM/平面 ADEF；4（2）当平面 BDM与平面 ABF所成锐二面角的余弦值为 时，求三棱锥 MBDE的体积.6（）以 分别为 轴建立空间直角坐标系DACE、 、 ,xyz则 (2,0)(,)(04)(2),(0,1)BM的一个法向量,1MF面 ,4DC， 。即 4分DC/BAEF面（）依题意设 ，设面 的法向量(0,2)(4)t1(,)nxyz则 ，
8、Bnxy (20tMntyz令 ，则 ，面 的法向量1y(,1)4tABF2(,).，解得21212|16|cos, ()nntt为 EC的中点， ， 到面 的距离(0,)MDEMCDESBEM2h12分1433BDEEVh19. 设集合 W是满足下列两个条件的无穷数列 的集合：对任意 ， 恒成立；na*nN21nna对任意 ，存在与 n无关的常数 M，使 恒成立*nN（1）若 是等差数列， 是其前 n项和，且 试探究数列 与集合 W之间的关系；aS34,18,SnS5（2）设数列 的通项公式为 ，且 ，求 M的取值范围nb52nnbnbW解：(1)设等差数列 的公差是 ，则ad解得 1分12
9、4,38d18, (3分)21()9nSn 21121( 0nnnSSad ，适合条件1n又 ，2298()4nS当 或 时， 取得最大值 20，即 ，适合条件45nS20nS综上， （6 分）nW（2） ，11()2(5)nb当 时， ，此时，数列 单调递减；9 分3nbb当 时， ，即 ，10 分,210123因此，数列 中的最大项是 ，11 分37 ，即 M的取值范围是 12 分7,20.如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线 1l排水管，在路南侧沿直线 2l排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线） ，现要在矩形区域 ABCD
10、内沿直线 EF将 1l与 2接通已知 AB = 60m， BC = 60 3m，公路两侧排管费用为每米 1万元，穿过公路的 EF部分的排管费用为每米 2万元，设 EF与 AB所成角为 矩形区域内的排管费用为 W （1）求 W关于 的函数关系式；（2）求 W的最小值及相应的角 FE DCBA l2l1 公公6P解：（1）如图，过 E作 MBC，垂足为 M，由题意得 )30(EF，故有 60tanF， 60cosF， tan630AE，所以 W= cos2i21)3( 。 6 分（2）设 si2)cf， )30(则 2 2osin1in( cs令 )0f得 1i，即 i，得 6列表 (0,)6)3
11、(，()f+ 0 -单调递增 极大值 单调递减所以当 6时有 max()3f，此时有 312minW答：排管的最小费用为 120万元，相应的角 6 13 分21.（1）已知定点 、 ，动点 N满足0,21F, （ O为坐1N标原点） ， ， ，NMRFP2 0PMF，求点 P的轨迹方程。（2）如图，已知椭圆 的上、下顶点14:2yxC分别为 ，BA、点 在椭圆上，且异于点 ，直线 与直线 分别交于点 ，PBA、 P、 2:yl N、（）设直线 的斜率分别为 、 ，求证： 为定值；P、 1k21k（）当点 运动时，以 为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论MNyxF2F1NMPO7解（）连接 O
12、N 点 N是 MF1中点 | MF2|=2|NO|=2MF21 F1M PN | PM|=|PF1|01PNF| PF1|- |PF2|= | PM|- |PF2| |= |MF2|=2| F1F2|由双曲线的定义可知：点 P的轨迹是以 F1，F 2为焦点的双曲线。点 P的轨迹方程是 4分32yx（） ， ，令 ，则由题设可知 ，)1,0(A),(B),(0yx0x直线 的斜率 ， 的斜率 ，又点 在椭圆上，所以01kPB021ykP， （ ） ，从而有 。8 分420yx0x 41200021 xx（）13分22.已知 )0()(axf， bxxgln2(，且直线 2xy与曲线 )(xgy相
13、切 （1）若对,1内的一切实数 ，不等式 )f恒成立，求实数 a的取值范围；（2） （）当 a时，求最大的正整数 k，使得任意 k个实数 kx,21 3,e（ .718是自然对数的底数）都有8)(16)()(21 kkxgxfxff 成立；（）求证： 2ln412in *N解：（1）设点 ),(0yx为直线 x与曲线 )(xgy的切点，则有l20b （*）g)(， 20b （*） 由（*） 、 （*）两式，解得 ， xgln)( 1 分由 )(xf整理，得 xal，1， 要使不等式 )(f恒成立，必须 xaln2恒成立 2 分设 hln2)(， )1ln2 xh ，x， 当 1时， 0)(，则
14、 (h是增函数，0)1(， )(是增函数， 1)， a 因此，实数 a的取值范围是 a 4 分（2）当 时， xf1)(，01)(2xf， f在 3,e上是增函数， )(xf在 3,e上的最大值为 38)(f要对 3,e内的任意 k个实数 k21 都有 16)(21 kkxgxff 成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当 3121kxx 时不等式左边取得最大值， exk时不等式右边取得最小值638)(k，解得 因此， k的最大值为 13 8 分（3）证明：当 a时，根据（1）的推导有， ),(x时， )(xgf，即 )(2lnx 令 12k，得 1212lnkk， 化简得 4)lnk， nii in121 4l(l()l( 13 分
