1、1解竞赛题的思想和方法数学竞赛也就是解题的竞赛，只有通过问题才能学会解题。要提高解题能力，必须反复练习，在解各类题中，善于总结，不仅要寻找各种不同的解法，更要找出最佳的方法，应当注意数学的思想与数学的美，不断提高我们的鉴赏能力，注意简捷明快，一针见血。本讲中，我们选编了国内外一些值得欣赏的竞赛题，有些题多给几种解法，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试，以展现思维的过程，并且以资比较，尽力寻求完美的解法。希望参加数学竞赛的学生们多掌握些解题的思考方法，对数学的认识深度就会2有所提高，随之而来，解题能力的增强就会有所突破，也就可能在各类数学竞赛中大显身手。一、典型例题解析例 1 已知 且0,zy
2、x,432222xzy求 的值.分析 常见的思路是求三元二次方程组的正实数解，常规方法是消元、降次，尝试会遇到困难，关键是如何产生一次方程，联想到方程左边式子的特点，可通过因式分解来实现.解法 1 由得，3，yxyxyx)(223由得 .(3zz由得 )4以上三式相加，得 ，代入yx2，得 132yx与联立，解得 .0)(但 ，故得 ，从而可解得0.74,72zyx.解法 2 令 .yxs-并因式分解，得，1)(zz，同理得 .sxsyx3,+，并配方得48)()()(21)( 222xzyxzyx则有 ，849ss即 .07824解得 . ,1又由知 .7,1szyxs.32,7可解得 .7
3、4,zyx上述两种解法是 纯代数的，若用数形结 合的思想，有解法 3 由余弦定 理，得,2222 10cosxyyx5,2222 )3(10cosyzzy.xx使我们想到构造三角形:作 ,使 ,ABCRt2,3,1AC在三角形内取点 ，使P.0由余弦定理知， 是zPyBx,原方程组的一组解.将 绕 点旋转 ，得 ，易APC6CA证 共线，则B,.BPzyx在 中，有Rt.722 CACA说明 数学中的同一个数学形式表示式可以作不同的语义解释，同一种数学语义的6内容可以用不同的数学语言形式来表示.数形结合的思想方法的实质是通过同一数学对象进行代数释义与几何释义的互补，实现“数”解释为“形”的语义
4、转换，将“形”解释为“数” ，利用“数”的知识解决“形”的问题；将“数”解释为“形” ，利用“形”的知识解决“数”的问题.本例的解法 3 中，我们把方程组转化成直角三角形后，原来隐含的条件逐渐显示出来，犹如居高观景，对问题的解决有更多的方法.解法 4 借助于三角形面积关系得：，ABCPBCAPSS.312)(231zxy7.2zxy由已知三式相加，得,8)()(22x.3zy又，723)(2)(2 zxyzxzx.7y解法 5 （构造复数法）在平面上，设 A，B，C 三点对应的复数分别为 ，取点 使3,0,cAZizP.120P记 .iisn12o有 CBAzyx| pcPzz|)(|)(|
5、28(同向|)()()(| 2pCPBpAzzz共线) |)(| 2zz.7|23|(13| iii说明 本题还可以建立直角坐标系，用解析法，又可以利用图形关系，应用向量法等.例 2 求函数1136)( 2424xxxf的最大值.分析和解 函数 的结)(xf 构复杂，无法用常规方法解， 把问题由抽象向具体转化，以 使其中数量关系更容易把握：由根式我们会联想到距离，问题的关键是两个根式内的被开9方式能否化成平方和的形式，通过变形得 222)1()3()() xxxf 问题就转化为：求点 到点 与,P,3(A点 的距离之差的最大值.)1,0(B进一步将其直观具体化（如图） ，由A，B 的位置知直线
6、 AB 必交抛物线 于2xy第二象限的一点 C.由三角形两边之差小于第三边知，P 位于 C 时， 才能取得最大值，)(xf且最大值就是 ，故 .|AB10|maAB说明 上述分析过程的关键是将问题通过几何直观，转化为具体 的形， “形”使我们把握住了 )(xf的变化情况.类似地，可考虑下面 的问题：10若 ，求 的最大值与最小值.cos3in4kk这是一道三角函数求极值的问题，直接用代数法求解比较困难.仔细观察，发现 与直线的斜率cos3in4k公式 结构相似，这样，可以想象 为0xykk过点 与点 的直线的斜率.由)4,3(P)sin,(cQ于 是单位圆上的一个动点，所以sinco直线是经过
7、定点 P（3， 4）的动直线， 的k值是变化的.利用数形结合的方法可知：动直线以单位圆的两条切线为界，所以 的最大值与最k小值就可以确定了.例 3 已知 为正数且zyx, .求1)(zyx表达式 的最小值.)(11解法 1 构造一个 ，使其三边长分ABC别为.xzcybxa,则半周长，)(21pz的面积ABC)()(cpbapS1xyz另一方面，abzyx)( 2sin2CS当且仅当 时取等号，此时90C，222)()()(zxyx化简，得 .y构造一组实数 ， 满足1z2y，即式等号成立，所以 有最)(zx12小值 2.解法 2 应用均值不等式，得 yzxyzyx2)( 2)(不等式中等号成
8、立的条件是.)(zyxz此式为解法 1 中的式，以下同解法 1.例 4 设 有两个属cbxaf4)(,02于区间2，3的实数根.（1）证明存在一个以 为边长的三,角形；（2）证明 .cbac分析与解 充分挖掘条件中的隐含信息，把有利于解题的数量关系和直观表象显示出来，另外，又要把结论关系式分拆，两者结13合起来，打通解决问题的通道.由 是开口向上的抛物线，且)(,0xfa，0482cba，19)3(f.a6,2即给出关于 的不等式组：cbaacbc2,3914,2考虑给出结论中能构成三角形的充分条件，我们充分利用不等式组中的关系.由，可知 ，即bacba2,。cba另一方面，由知 .下面证明a
9、14.事实上，bac222)(45ab由知，22)13()(aab，b04152.caa22,)(故存在以 为边长的三角形.cb（2）由于 ，b所以 .cacab换元法：解数学题时，我们常常对变量作替换，这就是换元，通过换元，把原来的问题转化成另一类问题，以达到化难为易，从而帮助解题.15例 5 设 是正实数，且满足zyx,，0求 的最大值.1321zyxS解 由已知条件得 .yxz)(虽然， ，所以 .0z由此联想到正切和角公式，于是令.)2,0(,arctn,arct,arctn zyx则 .)(t1由于 ，所以 ，于是),0(,1tan3ta2tan22Scos)(coss23)1(2s
10、2sin(16)sin1(3si22.0等号在 ，即3si,2时成立，故欲求的最大值4,2zyx为 .310例 6 设 为大于或等于 3 的整数，证明：n在平面上存在一个由 个点组成的集合，集合中任两点的距离为无理数，任三点组成一个非退化的面积为有理数的三角形.分析 在平面上由 个点组成的集合无n限多，我们可以考虑一类特殊的点集由整数点（纵坐标与横坐标均为整数）构成的集合，只要在其中构成满足题目条件的点集，也就解答了此题，进一步特殊化，考虑无穷17点集 .,210|),(2kS证明 考虑无穷点集.,|),(2中任两点 ， 的距离为：SaA)(2bB2)(),(bBd.2)(1|由于 不是完全平
11、方数，,0a从而 为无理数.即 中任两点的距离为),(AdS无理数.另一方面，由于点集 中的点都在抛物S线 上，又直线与抛物线的交点不多于两2xy个，故 中任意三点不共线，而对于 中任意S三点 （不妨设 ）),(,(),(22cCbBaAcba所形成三角形的面积 )()(2121acbcbaSABC18为非零有理数.所以， 中任意 个点所成集合即为所求Sn点集，问题得证.说明 本问题的解决过程中运用了构造特殊集合转化问题，将“在平面内存在某种点集”的问题特殊化为“在它的某个子集 S中存在这种点集”的问题，后者的解决使原问题获证.这种解决策略常称为特殊化策略.即视原问题为一般问题，构造其特殊问题
12、，通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决.特殊化作为化归策略，基本思想是很简单的：相对于“一般”而言， “特殊”问题往往显得简单、直观和具体，容易解决.并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决思想，因此，当我们在对某个19一般性的数学问题解决有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊情况的方法或结果应用或推广到一般问题中，而获得一般性问题的解决.特殊化策略的关键是能否找到一个最佳的特殊化问题.例 7 求方程 的全部实xpx12数解，其中 为实数参数。p解 若 ，则0，此时原方xpxx2221程无解，故可设 ，并且p,1再将方程形式变为 pxx221平方并整理，得 p2
13、2420再平方并整理，得 22)4()(8px易知 必须满足 ，并且此时只可p0能有解 )2(84px代入原方程并化简，得 34|于是有 p综上所述，当且仅当 时方程有唯30p一解 .)2(84px例 8 解方程 .xa分析和解 若去根号，得四次方程0224xax难于求解，而且难于确定 a 在何范围时21有解。现用代换法，命 yxa则得 2xyaxya两式相减 , )(xy,0)1)(或 .yxx（1）若 ，由于 ，只有0,y，0yx由 知 ，这是一般情形.yxa（2）若 ，则得11xa,0)(2.34欲使方程有实数根，须 ，得 进4a而22.2341,ax因 ，舍去负数 ，且要 ，即 001
14、x， ,341a须 ，从而解为：（ ）211xa此题求解过程告诉我们：为了减一层根号，应不惜以“增一元”为代价。另外，就是不急于消元，而是先消常数 a，否则，就会走回头路。例 9 解方程 .048342xx分析和解 由于系数排列呈对称形式，故若 是根， 亦然，故谓之倒数方程，)0(aa1其解法是倒数化：两边同除以 ：)0(2x232 22214838401()()3xxxx由于 ，令 ，原xt1方程化为， .05842t 2,1t解得实根 .2,1x例 10 设 a,b 是实数，且 034xx至少有一个实根，求 的最小值.2解 易知 不是原方程的根，原方程于是可化为,0)2(1()(2bxax
15、令 ，则易y证 ,|y24解方程 得0)2(2bay)(4两根中至少有一者的绝对值 ，这等价2于，即 .4)2(| ba |4)(2aba1当 时， ，| 162当 时，两边平方并化简，得.ba2|若 ， ，42a否则 ，再两边平方，得，或224b45)(a516)(2即当 时, 有最小值 .,a4经检验，原方程有实根 .1x25例 11 若整数 a，b，c 使得抛物线在区间（0,1）上有两个不同的cbxay2交点，求 a 的最小正整数值.分析 联系图象，找出根与系数的关系，再利用整数性质,找出 a，b，c 取值范围.解 设方程 的两实根分别为02x， 且1o从而有41)(4)2上述两个不等式
16、分别当 时等号21,成立.由韦达定理 acb,)1()(26acb1由于 ，故中两个式子的等号不能同时成立，故,acb)1(162cba因为 ，由知 c 和 a 同号且0,又 ，由知 和 a 同号且0c1ba又因为 a，b，c 是整数，故 是)(cb正整数，由知，即 ,1624|所以 a 的最小正整数值为 5.又 c 和 都是正整数，所以 c=1，)(cb取 ，原方程变形为527,0152x其两根为 .105满足题目条件，所以 是满足条件的a最小正整数值.例 12 设 是正整数，关于 的一元cb, x二次方程 的两实数根的绝对值均02xa小于 ，求 的最小值.31解 设方程的两实数根为 ，由韦
17、达21,x定理知， 均为负数.由21,x，得 ，所以9acca3614422b又 ，)(21xa所以 ，故 .3,b1a28（1）当 时，由7b, 知 或 12 ， .24ac1a1c但方程 有根 ，0x3257不合题意;方程 的两根 ， ，也172x14不合题意；（2）当 时，由 及8b642bac知1a 1,51,32a故由 ，4acbx得 ，易知364（ ）41)(aaf 16,2为增函数，29，而 ，034)(bfa0)15(f故 只能为 16，此时 ，2586cba而方程 的两根为 满足1862x421x题意.（3）当 时， ，所以 ，9b273ba1a于是 .41ca若 ，只能 ，
18、此25,9c时方程 的两根为 ，0914x7121x不合题意，故此时 .5cba综上所述， 的最小值为 25.例 13 已知整数 满足nm,及 ，求198,2,nm1)(22n的最大值.解 若 ，则 ，若 ，由n30,122mn，得 .2mn因为 )(22()n，)nm于是，若 满足条件；则 也),( ),(m满足条件.由于 ，可从 出发，递降n),得到（1，1） ，反之亦成立，即由（1，1）出发，利用 可得到满足),(),(m的全部解.即98,2,nm（1,1）（1，2）（2，3）（3，5）（5，8）（8，13）（13，21）（21，34）（34，55）（55，89）（89，144）（144，233）（233，377）
