1、答案：一.选择题1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为，且xCdtfF0)()( ).(xfF当 F(x)为偶函数时，有 ，于是 ，)(F)(1()xFx即 ，也即 ，可见 f(x)为奇函数；)(xff)(xff反过来，若 f(x)为奇函数，则 为偶函数，从而dt0)(为偶函数，可见(A)为正确选项.xCdtfF0)()(方法二：令 f(x)=1, 则取 F(x)=x+1, 排除(B) 、(C);令 f(x)=x, 则取 F(x)= , 排除(D); 故应选(A).21x【评注】 函数 f(x)与其原函数 F(x)的奇
2、偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考 f(x)与其原函数 F(x)的有界性之间有何关系? 2. D【分析】 显然 x=0,x=1 为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】 由于函数 f(x)在 x=0,x=1 点处无定义，因此是间断点.且 ，所以 x=0 为第二类间断点；)(lim0xf， ，所以 x=1 为第一类间断点，故)(li1xf 11x错误！应选(D).【评注】 应特别注意： ， 从而1limx.1lix，1limxe.0li1xe3 C4 A5 C6 7 A8 Cx时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：原式 = . （有理化法） 21l
3、im)1(lim00 xxx9 D10 C解 原式 . 1682lim)2(cos1tanli 3030 xxx注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则原式 .0)2(lim30x二.填空题11. 2 12. 1 13. 0 14 . 5 15 . 2e16. ,1x17 . ),(),018. ,1,19 . 在某一极限过程中，以 0 为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量 20 . 函数 y f (x) 在点 x0 有定义； xx0 时极限 存在； )(lim0xf 极限值与函数值相等，即 )(li00xfx三. 计算题2
4、1 . 【分析】 型未定式，一般先通分，再用罗“必塔法则.【详解】 =)1(lim)1(li 200 xxxx ee201limxexx= =xex21lim0.23li0xxe22. (x)=3lnx+1 x0f23. e324. 225.6126. ;3ln27. 328. 解：由 x2解得 x-2由 x解得 x由 5x解得 x2.5函数的定义域为x2.5x-2 且 x1或表示为（2.5,1）（1,-2）29. 、是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。不是同一函数，因为它们的定义域不相同。不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。30. 解：f(x
5、+1)(x+1) 2-1x 2+2x，f(f(x)f(x 2-1)(x 2-1)2-1x 4-2x2f(f(3)+2)f(3 2-1+2)f(10)9931 . 解：222n2 746153lim746153lim746153lim nnn nn 210631li71li46li532nnn n32. 解： 21lim)(li2lim22 nnnn33 . 解： nnn 1)(li)1(li01limlili1lim1lim nnnn34 . 解： 101lim)32(li1)32(lim32li nnnnnn35 . 解：因为 ，li,2li2yyxx yxx22lili所以 函数在指定点的
6、极限不存在。 因为 ，031lim,0sinlim0 yyxxyxx00limli所以 函数在指定点的极限 0liyx36 . 613lim13li3xxx37 . lili9li 3323xxx38 . 21lim)1(li)1(li1li 0000 xxxxxx39 . 3232lim1limxxxx 0lili132xx40. 3232 1limlimxxx 01li1li32xx41. snlim3sil00xx42. 21sinlm21)(4silcos1li 20020 xxxx43. = enn1)(lim344. 22lili ennn 45. kkxxkxx e11lili
7、46. 11limlim exxxx47. kkxxe10li处 连 续 。在函 数而解 0)()(lim11sinl)(li.48000xff xfx xx49. 间断，函数在 x1 处无定义且左右极限不存在，第二类间断点50. 间断，函数在 x0 处左右极限不存在，第二类间断点51. 间断， 但 f(0)1，两者不相等，第一类)(lim0xf间断点52. 证明： x0(,)因为 ，f(x 0)=x02202)lim(li)(li 000 xf xxx 所以 )()lim00ffx因此，函数 f(x)x 2是连续函数。53. 1ln)1(limn)1ln(i)1ln(i: 000 exxxx
8、x解54. 2llillim: 121 xx解55 . 证明：设 f(x)2x 33x 22x3，则 f(x)在1,2上连续，f(1)20根据零点定理，必存在一点 (1,2)使 f()0，则 x 就是方程的根。56. 原式 1682lim)2(cos1tanli 3030 xxx57. 证 x (-, +)，任给 x 一个增量 x，对应的有函数 y 的增量y = sin( +x)-sin x = .)2cos(in2x ，由夹逼准则知， y 2sin00（x0） ，再由 x 的任意性知正弦函数 y = sin x 在其定义域 (-, +)上处处连续，即它是连续函数。 58. 解 注意 f (x
9、)是分段函数，且点 两侧 f 表达0x式不一致。解法 1 f ( 0 - 0) = ， )(lim0xf (0 + 0) = ， . lix0fx又 f (0 ) = 0， 函数 f (x) = x在点 x = 0 处连续（图 119） 。 解法 2 ， 函数在点)0()(lim)(li00fxfx 左连续；0x又 ， 函数在点 右连续，)0(lim)(li00fxfx 0x所以函数在点 连续。59. 证 虽然 f 是分段函数，但点 x = 0 两侧函数表达式一致。 ，)0(1sinlm)(li00 fxxfM 在点 x = 0 处连续)(f60. 解 令 a x1 = t，则 x = log a (1+t ) ，当 x0 时，t0, 原式 . aettatat lnlog1)(logim)1(logi00 特别地， ，这表明 x0 时，x ex - 1.li0xe
