1、第十二章 数项级数1 级数的收敛性1. 13();2();412;(5)3.56. .a7.(1)收敛;(2)发散;(3)收敛;(4)发散.2 正项级数1.(1)收敛; (2)收敛;(3)发散; (4)收敛;(5)收敛;(6)发散; (7)发散; (8) 收敛 ;(9)收敛.2. (1)发散; (2)发散; (3)收敛; (4)收敛;(5)收敛; (6)发散;(7) ,收敛; ,发散.ab9.(1)收敛; (2)发散; (3)发散;(4) ,收敛; ,收敛; ,发散; 发1p1q1pq p散.3 一般项级数1.(1)绝对收敛;(2)发散;(3) 当 时绝对收敛,当 时条件收敛,当 时发散;1p
2、01p p 0(4)条件收敛;(5)发散;(6)条件收敛;(7)绝对收敛;(8) 时绝对收敛, 时发散.|xe|xe2.(1)收敛;(2)收敛;(3)收敛.总练习题6.提示:用2 习题 14 结论.第十三章 函数列与函数项级数1 一致收敛性1.(1)一致收敛;(2)一致连续;(3)不一致连续;(4)(i)不一致连续;(ii)一致连续;(5)(i) 一致连续;(ii) 不一致连续.3.(1)一致收敛;(2)一致连续;(3) 时一致收敛, 时不一致收敛;(4) 一致连续;r1r(5) 一致连续;(6)不 一致连续.2 一致收敛函数列与函数项级数的性质1.(1) , ,三定理条件皆满足;(2) ()
3、nfx()1f()nfx()0g()nfx, 不一致收敛,定理 13.9 和 13.10 条件满足;(3) 与 都不 nf一致收敛,三定理条件均不满足,但定理 13.9 结论仍成立.4. 31.nx5. 21si.n6. 总练习题1.(1) 时一致收敛;(2) 时一致连续.1k1k第十四章 幂级数1 幂级数1. ;(5) (1),);(2,;(3)4,);(,()RRR4,;6,781,.3R2.(1) (2) ;(3) ln,(1,);2x2,(,)()x32,(1,).()x2 函数的幂级数展开2.(1) (2)20,(,);!nx10,(,);nx(3) ;10),)!2nnx(4) 2
4、11(),(,);!nn(5) 0(),(,);!nnkx(6) 011()2,(,);32nn(7) 10,(,);()!nnx(8) 0,(,);!nn(9) 210(1)!,.2!nnx3.(1) (2) 2385()7()();x0(1).nx总练习题1.(1) (2)x21(),(1,;)nnx212123(),(,4)!nnnx);(3) 410(),(,.!n3.(1) (2) (3) ;(4) 3,(,);(1)x2,(,2);()x21,(0,)()x2arctnarct,1,.xx4.(1)1;(2) 1l2.36. ();.6第十五章 傅里叶级数1 傅里叶级数1.(1)(
5、i) (ii) 1()2sin;nx1sin2;x(2)(i) (ii) 214()co;3n2214cosin();3nx(3) 121 sis()()(.() nnbabxab 3. 1si(2).nx7. (1) (2) 1i,(0);n212cos(),(,);4nx(3)(i) 221442cossin;3naabbxx(ii) 21()(1)i);nnc(4) (5)20shs()cos;nnx12(hsin.nx8. 21co.nx2 以 为周期的函数的展开式2l1.(1) (2) 124()cos;nx1sin2;x(3) (4) 3s4;88x0co()();nn2. 2 2
6、11()co)cos.33nn x3. 214s.()nx4. 218si.n5. 220(1)co.()nnx6. 2214s.3n总练习题4.(1) (2) ,;nnab,.nnab第十六章 多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数6.(1) (2) (3) 9;162;xy22(tan).xtxy8. (1);(2),(0,);3;(4),| 1,|;(5),|yxyxyyxxy (8)全平面;20,6,| 1,0,2;(7),|nn (9)整个三维空间;(10) .22(1),| xyzrxyzR2 二元函数的极限1.(1)0;(2) (3)2;(4) (5) (6)0;(7)1.;
7、2.(1)重极限不存在, (2) ,00lim(,),lim(,)1;xyyxffy(,)0,li()xyf两个累次极限均不存在;(3)重极限不存在, (4), ;重极限不存在 (5) , 00li(,)li(,);xyyxff(,)0,li()xyf0limxyf另一累次极限不存在;(6)与(4)相同;(7) 重极限与累次极限均不存在.(,),xy3 二元函数的连续性1.(1)间断曲线为圆族 (2)间断曲线为直线族2(1),0,2;xyn(3)不连续点集合 (4)在 上连续;(5)仅在直,01,;xyn|xy2R线 上连续;(6) 在 上连续;(7)在定义域上连续;(8) 在定义域上连续 .
8、2R总练习题2.(1)存在;(2)不存在.第十七章 多元函数微分学1 可微性1.(1) (2) (3) 2,;xyzxsin,cos;xyzzx23/2,()xyzz(4) (5) (6) 23/2;()y221,;xy,;xyxye2,x(7) (8)2;yzxsin() sin()(co,(1co;xy xyxzezeAAxu(9) (10) 22211,;yzuzy11(),(),()l;zzzxyuux11,ln,ln.z z zyxyzx2. (,1).xf3. 不存在.0(,0)yf8.(1) (,)(1,) (1,0)(0,1)|4;2|.dzzdxyzdzx9.(1) coss
9、in(cos;yxy2(1)yzyzuedx()zyxe10. 2,(1)2(1).4xyz11. 97039(xyz12. (3,);)3().zxyx13.(1)108.972; (2)0.5023.14. 2576cm2 复合函数微分法1.(1) (2) 2(1);xdze2 22 22(),(1)xy xyxyxyzze (3) (4) 324;dtt 223(ln),2u vuvzv(5) (6) 11(ln);uv1212,;xyffx112,xyxfufz22,.zyff5. (0,)4();0,.xtFF3 方向导数与梯度1.5.2. 98.133.(4,2)6;(,50)34
10、.4. 21(,),1.xaybzcrr5. ).7.(1) (2)(,;xyzr3(,).xyzr4 泰勒公式与极值问题1.(1) (2)2 218,16,8;xxyyzzzx2(cosinxzey(3) 22sin),(cossin)(cosin);yeey220,xyxyz(4) (5) 2;)(;pqr xyzxyzuyqr24311224xfff2323 3211211121,5, ;xy yffffffxyfxf(6) 2 2 2 4,4,4,4,xyyzxzyzuxuuzuu(7)4;xzf 2123121332, ,xxffzfyff1xyf()y12132323() .ffy
11、ffy7.(1) 2 2232322,()sin()()cos(xRxyxyxyx(2)2);y 23(,)(1, fyfhkhkk4(1)hk+ (3) 451);(hk 11)()() .pnnpnxyxy1;()nxy(4) 2 2().x8.(1) 为极大点;(2) 为极小点;(3) 为极小点 .(,)a1,01(,)9.(1)最大值 最小值 (2)最小值2,(,)4,ff0,2(,)4;ff最小值 (3)最大值 最小值 0.(1,0)()ff);3,210.等边三角形.11. 86(,).512. 1,.niixy总练习题2. 不可微.(0,)1(,0),xyff5. 26xaek6
12、.123 . xyzffgh第十八章 隐函数定理及其应用1 隐函数3.(1) .(2) .(3)2391yxdxy)(yxd,;2xyxyxeezz(4) .(5) .2,a2“()ay11,;xyzz(6) .12,xfyzzf12,yfzx12zf4. , .2()d2dx346()xy5. ,2(),xayzu323)0(xzzx2(1).xyzu2 隐函数组2.(1) ;2,2dyxadz(2) ,44xxvuyvy2,44yvuxvux(3) , .21211()xgffg 1221()xfgvfg3.(1) sin,(co)1uvxecos,(in)uuvex,(si)uyv ,(
13、sic)uyevu(2) .zx34. .0d5.(1) ;(2)vu21.zuv6. ,fx(,).,()fhfgztyyt3 几何应用1. 2/31/3/0.yxa2.(1) ;,zbc)(212caczx(2) , .7108yx 0)(708zy3.(1) , ;)()(2z21x(3) , .3czbyax )3()(czbyax5. 4621.6. (-1,1,-1), .)7,93(4 条件极值1.(1)极小值 (2)极小值 (3)极小值1(,),2f(,)4,fcc12(,)6f极大值11(,)(,);6636ff(,)(ff122,)(,).f2.(1)立方体;(2)立方体.
14、3. .0022AxByCzD总练习题3. ,.xyxxzy zgffdd5. 其中(,)/ughJxvw(,)(,)/,/uhfufgJJyvzvw(,).fghuvw6.(1) , ;(2) , uxf22yuf12fxy21.ufy9.(1)极大值 1,极小值-1;(2) 极大值 ,极小值 .18a18a10. 2()/();()()uuvuvvuuvdydydddxx32)()()().uvuvvuvuvdddd13. 3.2abc第十九章 含参量积分1 含参量正常积分1.1,0,()21,.yFy 2.(1)1;(2) .833.2253.xxyxede4.(1) ; (2)2lnb
15、a0,1lna5.(1) (2) arct(1)arct();2l().ba6.(1) (2) ;4.2 含参量反常积分2.ln.ba4.(1) ;(2) (3)()arctn;x).1ln(2arct2yy3 欧拉积分1. , 348,15(21)!,n().21!n2. (2)!,n.!)(总练习题1. 1,4.3ab3. 2()sgn(),1.Fa第二十章 曲线积分1 第一型曲线积分1. (1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) .122R)(322ba432228();bab(6) ;(7)6432.a2. (21).a3. .,3xya2 第二型曲线积分1.(1) ; (2)
16、;(3)0; (4)2;(5)13.2,032a2. , 为比例系数.()kb3.22ln.ac总练习题1. (1). ;(2) (3) ;23)175(1224(1);a320()t(4) （5） (6）4;aln;3.2.(1) (,)(,)0;bbaafxdfx(2) ,2()baydftd, .abbatfxf)(),( abtfy,第二十一章 重积分1 二重积分概念1. .412 直角坐标系下二重积分的计算1.（1） (,)baydxfx(,);bxadyfy（2） ;2210,yf20,xdf1202),(xdyf（3）210(,)xdfd102),(yf（4） 1xy1xd00(
17、,)(,).yyff2.(1) + ;2,dxf42),(ydxf(2) +012),(yf10,;yf(3) + +aydxfd022),(aydxf022),(aydxf202),(4) .130,yf3.(1) ;(2) ;(3) ;(4) .521p8328()a154. .963 格林公式 曲线积分与路的无关性A1.(1) ;(2) .24328ma2.(1) ;(2) 22.4. 为由 所围成的面积.,L5.(1)0; (2) ;(3) ;(4)9;(5) 22cosyxy31221()().xdy6.(1) 3311;c(2) ;()xyxeye(3) .,2fud2()7. (
18、,).yxFy4 二重积分的变量变换1. (1) ;0(cos,in)badrfrd 0(cos,in)barfrd(2) ;sin2,12arcsin,(3) 10sec oi04(os,in)(cs,in)drfrdfrdr 204(,i)f 1arcos1422(,i)f1421arcos2(s,in)dfrd 1arcos214(,sin).frd2. (1) .(2) ;(3) ;(4)26;42()0.fRf3.(1) 41(,;uvdfd(2) 44320cos,in)sico;avuvdu(3) 1().ufv4.(1) ;2,xy(2) 1,.euv5. (1) ;(2)8.
19、6. (1) 21();ba(2)2);(3) 2(3)a5 三重积分1.(1)14;(2) ;(3) (4)125(ln);8.2162.(1) 01,yxIdfyzd1 110010(,)(,)x xzz xfydfyz 1 110010(,)(,);y yzz ydxdfxfyzd (2) 20(,)xIy2 221111000(,)(,)x xzxdzfyzddfyzd2 221(,)zz zzxfyzd2 221111000(,)(,)y yzyfxzfzx2 221(,).zz zzyddddfzx 3.(1) (2) 59;480r(21).4.(1)柱坐标变换, ;3(2) 2
20、21sinco,sin,cos,.3xarybrzrab5. .856 重积分的应用1. 2(1).3a2. .3.(1) , ; (2) ,0x43by0x(2).3bayh4.(1) , (2) , , .1;z4184z5.(1) ;(2) 45R3sin.ab6.(1) 2(0,(1);ck(2) 22,2();haac(3)2)(0, .kmRh7 重积分n1. .2581r2. .(1)43. 2!na4. Rdrf01)()2(8 反常二重积分1.(1) 收敛; (2) , 收敛;1m1pq(3) 收敛.2p2. .3.(1) 收敛;(2) 收敛.11总练习题1. (1) ;(2
21、) 46.52.(1)6;(2) ln(23).3. 4.a4. (0,)f5.(1) (2) (3) ,其中2;Ft24();tf03()()xtyFtzfdxyz 0.t6. 1().4e8. 柱面坐标系: 114cos00(,dzrfsin,)rzdr;24sinf,i,球面坐标系: 1arctoscos00(,)dkfuvdr+ darc ,42ostsin+ drvukf),(4i0cs10+ drvukfdarc ),(24sinotcosi10其中 .cos,in,si2 rurk 10. .11. 121.ab12. 111232238,.abcVh13. , 为引力常数.(,
22、)amkr14. 22.b15. =x4.3ay17. 1.2.c第二十二章 曲面积分1 第一型曲面积分1.(1) (2) (3) (4) 3;a(21);HR3.1202. .),2(3. 43a4. 2sinco.2 第二型曲面积分1. (1) ; (2)24;(3) (4) ;(5) 4a1;843().Rabc2. .323 高斯公式与斯托克斯公式1.(1)0;(2) ;(3) ;(4) ;(5) .43a42h1532a2. 123.(1)0;(2)0;(3) .23a4.(1) ;(2) .xyzc31()2xyzxyc5. ;(2)0.75324 场论初步1. 23111(,)(
23、,)(,)(,)(,).nxyzxyzfrxyzrxyzrr2. 420840530.u4.(1) ;(2) ,(,)yzxy2226,(),(),();xzyxzyx(3)221,(,.x8. .389.(1) ;(2) .2总练习题1.(1) ;(2) (3).8)35(122ca(21),(,1)(53;rotAxyz势函数为,.xyxzC5. 4.3第二十三章 流形上微积分学初阶2 向量函数的微分2.(1) , 211214)(cos0)(sin),(xxf 10()2f，(2) 13133123220(,),xxf ee0),(2ef4.(1) ; (2) ;cosinx2121co
24、s()cosini()(3) ; (4) ;2211xx21x(5) ; (6)22211146483xx222131313xxx5.(),().xuvxuxyvyuyhfgfhgf7.(1) (2)()b;1),(.Tndxdx8.(1)极小值点 (2)稳定点 非极值点.072(,;63Tx0,)3 反函数定理和隐函数定理2. 22 2;.()()()xxyyxzzz3.(3) 1312323123, ,(),uuufgfggffv其中 1123().vff5.(1) 其中,arctnarctnxuvuvy uv 21;uv(2) sicos1.coin(sins)xxxxx yyuy eeyv 4 外积、微分形式与一般斯托克斯公式1. 12121212()()().QRdyzRPdzxPQdxy2. .xCBPA总练习题7. (2) 时, ; 时,0121arctn(0,)212arctn(0,).
