1、数 学 基 础 知 识 总 结第一部分 高数第一章 函数与极限1、 函数的有界性在定义域内有 f(x)K1 则函数 f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有 f(x)K2，则有上界，K2 称为上界。函数 f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。2、 函数的单调性、奇偶性、周期性（指最小正周期）3、 数列的极限定理(极限的唯一性) 数列xn 不能同时收敛于两个不同的极限。定理（收敛数列的有界性）如果数列xn收敛，那么数列 xn一定有界。 如果数列 xn无界，那么数列xn一定发散；但如果数列xn有界，却不能断定数列xn 一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1， （-
2、1）n+1该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列xn收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛于 a。 如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的，如数列 1，-1 ，1，-1 ， （-1）n+1 中子数列x2k-1收敛于 1，xnk收敛于-1，xn却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。4、函数的极限函数极限的定义中 00（或 A0（或 f(x) 0） ，反之也成立。 函数 f(x)当 xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即 f(x0-0)= f(x0+0)，若不相
3、等则 lim f(x)不存在。 一般的说，如果 lim（x） f(x)=c，则直线 y=c 是函数 y= f(x)的图形水平渐近线。如果 lim（xx0） f(x)=，则直线 x=x0 是函数 y= f(x)图形的铅直渐近线。5、 极限运算法则定理 有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理 如果 F1（x）F2（x）,而 lim F1 (x)= a，lim F2 (x)= b，那么 ab。6、 极限存在准则 两个重要极限 lim（x0） （sinx/x）=1；lim （x） （1+1/x ）x=1。 夹逼准则 如
4、果数列xn、yn 、zn 满足下列条件： yn xn zn且 lim yn = a，lim zn = a，那么 lim xn = a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。7、 函数的连续性 设函数 y= f(x)在点 x0 的某一邻域内有定义，如果函数 f(x)当 xx0 时的极限存在，且等于它在点 x0 处的函数值 f(x0)，即 lim（xx0） f(x)= f(x0)，那么就称函数 f(x)在点 x0 处连续。 不连续情形： 1、在点 x=x0 没有定义；2、虽在 x=x0 有定义但 lim（xx0） f(x)不存在；3、虽在 x=x0 有定义且 lim（xx0） f(x)存在
5、，但 lim（xx0） f(x) f(x0)时则称函数在 x0 处不连续或间断。 如果 x0 是函数 f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称 x0 为函数 f(x)的第一类间断点（左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点） 。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点（无穷间断点和震荡间断点） 。 定理 有限个在某点连续的函数的和、积、商（分母不为 0）是个在该点连续的函数。 定理 如果函数 f(x)在区间 Ix 上单调增加或减少且连续，那么它的反函数 x= f(y)在对应的区间 Iy= y| y = f(x),xIx上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连
6、续的。 定理（最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。 定理（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m f(x)M。 定理（零点定理）设函数 f(x)在闭区间a,b上连续，且 f(a)与 f(b)异号（即 f(a) f(b)函数在该点处连续；函数 f(x)在点 x0 处连续在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。3、 原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。4、 函数 f(x)在点 x0 处可微=函数在该点处
7、可导；函数 f(x)在点 x0 处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。第三章 中值定理与导数的应用1、 定理（罗尔定理）如果函数 f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即 f(a)= f(b)，那么在开区间（a,b）内至少有一点 （a0，那么函数 f(x)在a,b上单调增加；（2） 如果在（a,b）内 f(x) f(x0)均成立，就称 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值。 在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点（导数为 0的点） ，但函数的驻点却不一定是极值点。 定
8、理（函数取得极值的必要条件）设函数 f(x)在 x0 处可导，且在 x0处取 得极值，那么函数在 x0 的导数为零，即 f(x0)=0。 定理（函数取得极值的第一种充分条件）设函数 f(x)在 x0 一个邻域内可导，且 f(x0)=0，那么：（1） 如果当 x 取 x0 左侧临近的值时，f (x)恒为正；当 x 去 x0 右侧临近的值时，f(x)恒为负，那么函数 f(x)在 x0 处取得极大值；（2） 如果当 x 取 x0 左侧临近的值时，f (x)恒为负；当 x 去 x0 右侧临近的值时，f(x)恒为正，那么函数 f(x)在 x0 处取得极小值；（3） 如果当 x 取 x0 左右两侧临近的值
9、时，f(x) 恒为正或恒为负，那么函数 f(x)在 x0 处没有极值。 定理（函数取得极值的第二种充分条件）设函数 f(x)在 x0 处具有二阶导 数且 f(x0)=0，f (x0)0 那么：（1） 当 f(x0)0 时，函数 f(x)在 x0 处取得极小值； 驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。7、函数的凹凸性及其判定设 f(x)在区间 Ix 上连续，如果对任意两点 x1,x2 恒有 f(x1+x2)/2f(x1)+f(x1)/2,那么称 f(x)在区间 Ix 上图形是凸的。 定理 设函数 f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间（a,b）内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在（a,b
10、 ）内 f(x)0，则 f(x)在闭区间a,b上的图形是凹的；（2）若在（a,b ）内 f(x)可积。 定理 设 f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则 f(x)在区间a,b上可积。3、定积分的若干重要性质 性质 如果在区间a,b上 f(x)0 则abf(x)dx0。 推论 如果在区间a,b上 f(x)g(x)则abf(x)dxabg(x)dx。 推论|abf(x)dx|ab|f(x)|dx。 性质 设 M 及 m 分别是函数 f(x)在区间a,b上的最大值和最小值，则m（b-a）abf(x)dxM（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围
11、。 性质（定积分中值定理）如果函数 f(x)在区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点 ，使下式成立：abf(x)dx= f()（b-a） 。4、关于广义积分设函数 f(x)在区间a,b上除点 c（a可偏导。5、多元函数可微的充分条件定理（充分条件）如果函数 z= f(x,y)的偏导数存在且在点 (x,y)连续，则函数在该点可微分。6 多元函数极值存在的必要、充分条件定理（必要条件）设函数 z= f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点 (x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。定理（充分条件）设函数 z= f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶
12、连续偏导数，又 fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0，令 fxx(x0,y0)=0=A, fxy(x0,y0)=B, fyy(x0,y0)=C，则 f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：（1） AC-B20 时具有极值，且当 A0 时有极小值；（2） AC-B20 时没有极值；（3） AC-B2=0 时可能有也可能没有。7、 多元函数极值存在的解法（1） 解方程组 fx(x,y)=0，fy(x,y)=0 求的一切实数解，即可求得一切驻点。（2） 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值 A、B、C。（3） 定出 AC-B2 的符号，按充分条件进行判定 f(x
13、0,y0)是否是极大值、极小值。注意：在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑在内。第八章 二重积分1、 二重积分的一些应用 曲顶柱体的体积 曲面的面积（A=1+ f2x(x,y)+ f2y(x,y)d） 平面薄片的质量 平面薄片的重心坐标（x=1/A x d ,y=1/Ay d; 其中 A=d 为闭区域 D 的面积。 平面薄片的转动惯量（Ix= y2(x,y) d, Iy=x2(x,y) d;其中 (x,y)为在点 (x,y)处的密度。 平面薄片对质点的引力（Fx Fy Fz）2、 二重积分存在的条件当 f(x,y)在闭区域 D 上连续时，
14、极限存在，故函数 f(x,y)在 D 上的二重积分必定存在。3、 二重积分的一些重要性质 性质 如果在 D 上，f(x,y)(x,y) ，则有不等式f(x,y)dxdy(x,y)dxdy, 特殊地由于-| f(x,y)| f(x,y) | f(x,y)|又有不等式|f(x,y)dxdy|f(x,y)|dxdy。 性质 设 M，m 分别是 f(x,y)在闭区域 D 上的最大值和最小值， 是D 的面积，则有 mf(x,y) dM。 性质（二重积分的中值定理）设函数 f(x,y)在闭区域 D 上连续， 是D 的面积，则在 D 上至少存在一点（，）使得下式成立：f(x,y) d= f(，)* 4、 二重积分中标量在直角与极坐标系中的转换 把二重积分从直角坐标系换为极坐标系，只要把被积函数中的 x,y 分别换成 ycos、rsin,并把直角坐标系中的面积元素 dxdy 换成极坐标系中的面积元素 rdrd 。
