1、18 证明线段的比例式或等积式的方法证明线段的比例式或等积式成立，往往要添加辅助线，以构造一对或多对相似三角形。1、添加平行线（1） 添加三角形内的平行线段添加的方法是过端点或内分点做平行线，利用“平行于三角形的一边，并且和其他两边或其延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例”的性质证明线段成比例。在几何命题中，如果出现一组（或两组）相比线段重叠在一条直线上时，可考虑添加三角形内的平行线。例 1：如图，已知 AD 是 的外角平分线，AD 与 BC 的延长线交于 D。求ABC证：BD:CD=AB:AC(1)(2)(3)FDCBAFDCBAFDCBA2例 2：如图，点 D
2、在 的 AC 边上，且 AD=BE。求证: .ABCEFACDB例 3：如图，已知 BD:DC=5:3,E 为 AD 的中点，求 BE:EF 的值.(2)添加三角形外的平行线添加的方法是过端点作平行线例 4：如图，已知在 中，AD 平分 ，求证： .ABCBACBDC例 5：已知在 中，AD 是中线，直线 CEF 交 AD 于 E，交 AB 于 F，求证：ABCAE:ED=2AF:BF.(1)FDCBEAFED CBAD CBAEFD CBA3(2)(3)(4)例 6：已知 中，AD 为中线，E、F 分别在 AB、AC 上，且 AE=AF,EF 交ABCAD 于 G，求证： .(1)(2)EF
3、D CBAFED CBAEFD CBAEFD CBAFED CBA4(3)2、利用三角形相似的性质。例 7：如图，已知 中， ，D 是 AB 的中点，过 D 作 AB 的垂ABC09线交 AC 于 E，交 BC 的延长线于 F，求证：.2DCF例 8：如图，在 中，AD、BE 分别是 BC、AC 边上的高，过 D 作 AB 边ABC上的垂线交 AB 于 F，交 BE 于 G，交 AC 的延长线于 H.求证： .2FGHA HGF ED CBAFED CBAFECBDA5练一练：在 中， ， 于 D， 于点 E，求证：ABC09ABCAB.（提示：利用“母子”相似形和平行线分线段成比例定理）2E
4、例 9：如图，已知 P 是平行四边形的对角线 BD 上一点，连接 AP 并延长，交BC 的延长线于 F，交 CD 于 E，求证： .2PAEF例 10：如图，已知 ABCD 是平行四边形，P 为对角线 BD 上一点，过点 P 作一直线分别交 BA、BC 的 延长线于 Q、R ，交 CD、AD 于点 S、T.求证：.PQTRS例 11:已知在 中，AD 是角平分线，AE 是外角平分线，交 BC 的延长线于ABC点 E，T 为 DE 的中点.求证： .2TEBCEDCBAPFEDCBATSPRQDCBAFETD CBA6练一练1、如图，在 中， = ， 于ABC09CDABD，AB=13， AD=4，那么 CD= 2、如图，在 Rt 中，CD 是斜边 AB 上的高，且 BD=2，AC= .求 AD 的ABC3长.3、如图，已知 中， 于 D， 于 E，求证：ABC09,ABCAB.2ABECDCBAEDC BADC BA
