1、计算方法答案一、判断题(下列各题，你认为正确的，请在括号内打 “”，错的打“”,每题 2 分，共 12 分)1、任何近似值的绝对误差总是大于其相对误差 （）2、3 步 Adams 隐式法比 4 步 Adams 显式法的绝对稳定性要好。 （）3、在任何情况下，求解线性方程组时，Sidel 迭代法总是优于 Jacobi 迭代法。 （）4、设 ，若 ， ，则 ，其中,)(baCxfn0)(xfn,ba0,10nxf， ii,1（ ）5、给定 个数据点，则至多构照 次最小二乘多项式 nn（ ）6、数值求积公式的代数精确度越高，计算结果越可靠。 （）二、填空题(1、2、3 小题每空 1 分，其他题每空
2、2 分,共 20 分)1、设 是一个 的矩阵， 是一个 的矩阵， 是一个 的矩阵，A08B501C150是D一个 的矩阵,根据矩阵乘法结合率， 可按如下公式计算ABDF（1） （2）DCF)()(则公式（1）效率更高，其计算量为 1240flops。2、设数据 的相对误差限分别为 和 ，那么两数之商 的相对误差限为 2,x05 21x0.055。)(21r3、 设 ，则 4， 5， ， 4，123A1AFA15)(A4。)(cond4、计算 的割线法迭代公式为3a 2121311 )()( kkkkk xxxx5、求解初值问题 的改进后的 Euler 公式为 0)(ep2y。)exp()(22
3、121 nnnhy6、将正定矩阵 作 分解，则20134ATL8134207、解线性方程组 的Seidel迭代格式是2433421X。 )(3)(2)1(3 )()()(2)(2)1(16496kkkkkxx8、用HouseHold矩阵H将矩阵 化为上三角阵R,则20AH= , R=6.0814.108532三、(14 分) 设线性方程组 的矩阵 ,证明对此矩阵Jacobi迭bAx2代法发散而Seidel迭代法收敛。解：（1） 02/1/1ADIBJ45/3JI所以 Jacobi 迭代法发散125)(JB（2） 2/10/)(1ULDBS解得 ，2)(SI 213,所以 Seidel 迭代法收
4、敛1)(B四、 （12 分） 为 次多项式，已知 ， ， 且 的所有)(xPn2)0(P1)(4)2(P)(x三阶向前差分均为 1。（1） 以 为节点建立 的 阶 Newton 向前差分插值多项式 ，并,20 )(xn)(Nn求 )(xNn（2） 求 和 的系数。2解：因为 的所有三阶向前差分均为 1，所以其四阶以上向前差分均为 0，可知)(xP3n向前差分表为x 0 1 2 3 y 2 -1 4 ？一阶差分 -3 5 ？二阶差分 8 ？三阶差分 1由于所有三阶向前差分均为 1，所以所有四阶向前差分均为 0，因此3261732)(!3)(!23)( xxxxxNn 由 )(1,2,0) nnP
5、Rn因为 ，所以 ，所以,1x 0)xN，所以 , 的系数为 。326732)(xNPn27五、 （8 分）用复合梯形求积公式计算 的近似值 和 ，并使用外推法外推一12dx2T4次，得到更精确的近似值。解： 31)(02)1(2 ffT203154125412)()()(4 fffffT外推30473421224 TT六、 （6 分）迭代公式 收敛于 ，计算出此公式的阶。)(4621axxkk a解： )(4)(2421 xakkkk axxkkk 81)()(241limli此公式的阶为 4七、 （8 分）已知一组数据表如下： ix-2 -1 0 1 2iy2 1 0 1 2试用最小二乘法
6、求形如 的四次拟合曲线。4cxba解： ， ，102x45),( 10),(),(2010 ix342120i),(),(61ix54),(82ix0iyf 1),(1iyf 6),(2iyf685143cba解得 ， ，0a67b1c四次拟合曲线为 )(2x0)(1)(2)(平方误差为八、 （8 分）求 、 、 和 使得数值积分公式ABCD)1(0()10()(10 fDfCBfAfdxf 的代数精确度尽可能高，并给出其最大代数精确度。 （8 分）解 ： 时)(xf)(f（1）110Bd时xf)()(f（2）10DC时2)(xfxf)(（3）110Bd时3)(xf2)(xf（4）10D由（1
7、） （2） （3） （4）解得A21BC12D即 )()0()(0(1)(10 ffffdxf 当 时43x614212510 x此公式代数精确度为 3九、 （10 分）证明初值问题 0)(,yxf的计算公式 8512111 nnnffhy是三阶方法。证明：将所有公式在 处展开nx)(24625)(31 hyhyhynnnnn )(4)(31f nnnnnnyxf),()(624)4(31 hyhf nnnn 局部截断误差为85111 nnnn ffyTnnnnn yhyhh )(24625)(3nnnnny 128)(7515 5)(3)(2425)4(3hyhhnnnn nnn yy 21)1851()()()7254()246 5)4(3 hyhnn(5)(yhn局部截断误差为 的同阶无穷小，所以此方法是 3 阶的。4误差主项为 2/)(ny
