1、2009 级数学与应用数学专业高等代数I (A 卷)第 1 页 共 6 页1在 里一定能整除任意多项式的多项式是 【 B Fx】零多项式 零次多项式 本原多项式 不可约多项式ABCD2设 是 的一个因式，则 【 C ()1gx6242()4fxkxk】4 3 2 1 3 , 是 阶方阵，则下列结论成立的是 【 C n】. 且 . ABOB0AO 或 . C0AOD1|I4设 阶矩阵 满足 ，则下列矩阵哪个不可逆 【 B n20I】. . .AIBCAIA5设 为 3 阶方阵，且 ，则 【 A 1)(Ar】. . . 0)(*r)(*2)(*rD3)(*r6设 为 阶方阵 的伴随矩阵，则 = 【
2、 D AnA】. . . 2|nB|nC2|n21|n7下列对于多项式的结论正确的是 【 D 】.如果 ，那么 A)(,)(xfgxf )(xgf.如果多项式在有理数域上可约,则它一定存在有理根B.每一个多项式都有唯一确定的次数C.奇数次实系数多项式必有实根D8 方程组为 ，且 ，则和原方程组同解的方程组为 【 A bAXrr】. （ 为可逆矩阵） . （ 为初等矩阵）PBbQX2009 级数学与应用数学专业高等代数I (A 卷)第 2 页 共 6 页 . 原方程组前 个方程组成的方程CbXATDr组1把 表成 的多项式是 ；5)(4xf1 4)1()(4)1()(234 xx2设 ， ，若
3、，则42()fab2()gx(),()fg6 ， 8 ；a3当 k = 5 ，l = 4 时，5 阶行列式 的项 取“负”号；D53412alk4. 设 ，则 -20 ；41203A43241AA5设 n 2, 为互不相等的常数，则线性方程组na,.的解是 (1,0,0) ；1.321 123211 nnnxaxax6 = .00.100nn !)(1n三计算题（本大题共 4 个小题，共 34 分.请写出必要的推演步骤和文字说明）.11xDy得分 评卷人 1 （本小题 6 分）2009 级数学与应用数学专业高等代数I (A 卷)第 3 页 共 6 页: 分分分解 第 一 列第 二 列 第 三
4、列第 四 列 第 二 行第 一 行 第 四 行第 三 行 6014012011:22)1()1( yxyxyxyx2 （本小题 8 分） 为何值时，齐次线性若方程组k有非零解，并求出它的一般解.03321xk解: 组有非零解 ，得 -2 分k1k对系数矩阵施行行初变换如下:-6 分02113故一般解为 ( 为自由未知量) -8 分3231,xx3 （本小题 8 分）设 = ， ，求 .A3210BA2得分 评卷人得分 评卷人2009 级数学与应用数学专业高等代数I (A 卷)第 4 页 共 6 页解: 易知 -2 分AIB1)2(而 -6 分2131203)( 11I故 -8 分0133210
5、213B4 （本小题 12 分） 取何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并123123()0()xx在有解时写出解.解: 对增广阵施行行初变换如下 : )3(1)3(01)1()2(031310 A- 4 分易知1) 当 ,即 时, ,组有唯一解0)3(3且 3)(Ar-8 分12,1xx得分 评卷人2009 级数学与应用数学专业高等代数I (A 卷)第 5 页 共 6 页2) 当 时, 未知量个数,组有无穷多解 32)(Ar( 为自由未知量) -10 分,132xx3) 当 时, ,组无解 -12 分0r四证明题：（本大题共 2 个小题，共 18 分.证明须写出必要的推演步骤和文字
6、说明）.1 （本小题 10 分）证明：一个秩为 r 的矩阵总可以表为 r 个秩为 1 的矩阵的和.证: 设 A 为 mn 矩阵且秩 A=r，则存在 m 阶可逆矩阵 p 及 n 阶可逆矩阵 Q，使-2 分IPQr0又 -4 分rEA21 rr BQEpP 21112-8 分由于秩 Bk=秩（P -1ErrQ-1）= 秩 Ekk=1 所以 A 可表成 r 个秩为 1 的矩阵之和. -10 分2 （本小题 8 分）设 是一个整系数多项式，证明：若 与 都是)(xf )0(f1f奇数，则 不能有整数根.)(xf证明: 用反证法假设 有整数根 ,则 ,其中 为整系数多项式,-3)(f)()(xgxf)(分于是-5 分)1()(,0)(fgf即 |1|得分 评卷人得分 评卷人2009 级数学与应用数学专业高等代数I (A 卷)第 6 页 共 6 页但 与 都是奇数,而 不同为奇数,因而矛盾. -7 分)0(f1f1故 不能有整数根 -8 分x
