1、1高数上册复习考试第一章 函数与极限一、函数1认识一些常用函数和初等函数。2求函数的自然定义域。二、极限1极限的计算（1）善于恒等化简和极限的四则运算法则（2）常用的计算方法（a）常用极限， ， ， ，0limn)1(0liqn 1limn )0(1lian（ ） ， （ ） ， eff)(1li fegnn)(li 0)(ng= 1 （ ） 。)(sinlf0)(nf（b）一些常用的处理方法(i)分子分母都除以 n 的最高次幂。例如： = ， = 356274234167n3562472n342167n= 43252n43215n(ii)根号差的消除。例如： = ， = )(f)(g)(ng
2、f3)(ngfh23 5343345 )()( )()()()( f ngffnnffnh 2(iii)指数函数的极限。= ( 。)(limnvnu)lim(linvu都 存 在 ）)(lim,0)linvu(iv)利用指数函数的极限。当 =1 时，)(lifn= = = )(lingnf)(1)(1li ngfnff)(1)(11li ngfnff)(1limngfne(v)转化为函数的极限可以用洛必达法则。= )(limnf)(lixfx(vi)利用两边夹原理。把 分别缩小、扩大一点点得简单的 、 ，)(nf )(ngh)(ngf，使容易求得 ，则 。h Ahng)(li)(li Afli
3、m（c）当 用递归式给出时nx（i）用数学归纳法证明 是单调有界的，从而 存在；nxxnli（ii）对 的递归式两边取极限得关于 的方程，再解出 。nxAA（d）记得一些等价关系当 = 0 时，)(limfn ， ， ， s)(tanff)(arcsinff)(arctnff1 ， ， ，)(cof2111)(nfeln（3）函数极限的计算（a） （2）中常用的计算方法对函数的六种极限都仍然适用。（b）如果已知 在 x0点连续，则 = 。)(f )(lim0xf)0f（c）记得一些等价关系。 （lim 表示六种极限之一）当 = 0 时，)(limxf ， ， ， sn)(tanxff)(arc
4、sinxff)(arctnxff31 ， ， ，)(cosxf2)(1f1)(axf)(xf1)(xfe)(fln（d） （lim 表示六种极限之一）当 =1 时，)(limxf= = = )(lixgf)(1)(1li xgfxff)(1)(11limxgfxff)(1limxgfe（e）利用两边夹原理。把 分别缩小、扩大一点点得简单的 、 ，)(f )(xgh)(xgf，使容易求得 ，则 。xh Axhg)(lim)(li Afli（f）不定式的极限（lim 表示六种极限之一）(i)当极限是 或 型的不定式时，可用洛必达法则： 0= )(lixgf)(lixf（洛必达法则可以反复应用，但每
5、次应用都要先检查类型。 ）(ii)对于 0型的不定式，先变形，再用洛必达法则。= = = = )(limxgf)(1lif)(1limxf)(1lixgf)(1limxgf(iii)对于 00、 、 0型的不定式。= = = = )(lixgff(x)geln li )(ln limxfgg(x)1ln imfeg(x)1ln ife(iv)对于 型的不定式，先计算成一个式子再计算。（g）如果 ，则 。0)(licxf 0)(li0)(li f(v)分段函数在分断点求极限要分别求左右极限。2极限的证明（1）证明 = A 的格式)(limnf证 ，0（打草稿从不等式 解出 （必要时将 放大一点点
6、f)()(NnAnf)(4得一个简单的 ，再从 解出 ） ） )(ngAf)(ng)(N（*）取 。当 时，)(N（由 正确推出 （一般是（*）的倒推） ）nnf)(故 = A。)(limf证明 = A 的格式0xx证 ，（打草稿从不等式 解出 （必要时将 放大一点f)( )(0xAxf)(点得一个简单的 ，再从 解出 ） ） xgAg0（*）取 。当 时，)(0（由 正确推出 （一般是（*）的倒推） ）0xxf)(故 = A。)(lim0fx（其它类型极限的证明格式完全类似。 ）（2）证明 存在但不管它是什么。)(linf用数学归纳法证明 单调并且有界，再根据单调有界原理得出结论。)(f三、
7、连续性和间断点1 在 点连续)(xf0)(lim00xffx )(lim)(li 000 xffxfxx 要证明 在 点连续就是要证明 ；如果 是分段点，f 00则要证明 。)(li)(li00 ffxx2间断点。（1）找间断点如果 在 的两边都有定义但 没有定义，则 是 的间断点；)(xf0 )(0xf0x)(f分段函数的分段点可能是它的间断点。（2）间断点分类（a）如果 是 的间断点并且 和 都存在，则 是第一类0x)(f )(lim0xfx)(li0xf 0x5间断点。（b）如果 或 至少有一个不存在，则 是第二类间断点。)(lim0xfx)(li0xf 0x（c）如果 存在（即 都存在
8、） ，但 没有定义或0 )(lim00fxx)(0f，则 是可除间断点。重新定义 可使)(li0ffx lim0xxf变成连续点。3闭区间上连续函数的性质（1）零点存在定理。 （2）介值定理。 （3）最值定理。6第二章 导数与微分一、导数的计算1用定义计算导数当要求导的函数不是初等函数时，比如分段函数的分段点或函数没有具体表示式时，直接用定义计算它在 点的导数。0x 0000 )(lim)(limli)( 0xfxffyxf xx 2用求导公式计算导数当要求导的函数是初等函数时，用求导公式和复合函数求导法求导数。要记熟用熟相关公式。3复合函数求导（1）一次复合如果 ，则)(),(),(xfyx
9、ufy)()(xffdd xuy（2）多次复合如果 ，则)(),(),(),( tftxufy )()(ttfdtdt dtxuyx更多层次的复合函数的求导方法类推。4隐函数求导（1）一阶导数的求导步骤：（a）把 看成 的函数时， 是一个恒等式；yx0),(yxF（b）用复合函数求导方法对恒等式 两边对 求导（求导时记得 中,xy有 ）得新的恒等式 ； x),(yxG（c）从 解出 = 。0),(yD7（2）要求二阶导数时，有两种方法：（a）用复合函数求导方法恒等式 两边对 求导（求导时记得 和0),(yxGxy中都有 ）得新的恒等式 ，再从 解出 =yx,H0),(yH，最后代入 = 得 =
10、 。),(Ey)(xDy),(xDE（b）用复合函数求导方法恒等式 = 两边对 求导（求导时记得 中有), y）得 = ，最后代入 = 得 = 。xy),(yxFy(xy),(,xF更高阶导数的求导方法类推。5参数表示的函数求导（1） 表示的函数 在 点的一阶导数)(tyx)(xyt)(tdtx（2）要求二阶导数时，可对 表示的函数 再次求导：)(typ)(xp)(2ttdxpydxy更高阶导数的求导方法类推。6对数求导法）复 合 函 数 求 导 法 ）( )()ln(xuvxveu二、高阶导数1常用函数的高阶导数 nmanxanxmaxp nmmn ,0! ,)1()2)1(!)( 1其中
11、。nn xaa10)(8xmxe)()2sinsi)(co)(xm1)(!1mmxx)(!)ln(2莱布尼茨公式 )(0)( knnkvuCuv与二项式公式完全类似。特别注意：当 是低次多项式时，公式中的项数很少，非常简单。三、微分的计算1函数 在 点的微分)(xfydxfy)(2当 复合函数时，微分公式也是)(),(txfyxfy)(3 在 点的可微 存在。)(xfy0(0xf四、可导、可微、连续的关系可导 可微 连续但连续的函数不一定可导、可微。例如：y=|x|，x=0 点。9第三章 微分中值定理与导数的应用一、导数的意义是曲线 在 点切线的斜率；如果 是路程函数，则 是)(xf)(xfy
12、)(ts)(ts在时间 时的速度；如果 是速度函数，则 是在时间 时的加速度。ttvv二、中值定理1费马定理如果 是 的极值点，并且 存在，则 = 0，即 是驻点。0x)(f )(0xf )(xf0x费马定理是中值定理的基础。2罗尔定理条件：)(b,a)(ffxf内 可 导 ；在 开 区 间 上 连 续 ；在 闭 区 间结论：至少存在一点 使得 =0。,)(f罗尔定理的三个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：； = ； = 。1,0)(xxf )(xf)1,(xf)10,3拉格朗日中值定理条件： 内 可 导在 开 区 间 上 连 续在 闭 区 间 baxf,)(;结论：至少存在一点 使
13、得 = 。)()(fabf)(拉格朗日中值定理的两个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：； = 。1,0)(xxf )(xf)1,如果 在 内可导， ，则存在 使得f,(babax,01,0xffxf )()(00其中 是 的分比。这就是有限增量公式。x0104柯西中值定理条件：0)(,)(xFbaxf中在 开 区 间 内 可 导 ；在 开 区 间和 上 连 续 ；在 闭 区 间和结论：至少存在一点 使得 = 。,)(f)(aFbf5中值定理的证明题。方法是凑一个函数应用相应的中值定理。注意到： )()()()(xgfexgexexff )()()(1xxx中有一项多一部分 。)(f三
14、、泰勒公式1泰勒公式 )()(!)(!2)(!1)( 00)(200)(000 xRxnfxfxfxff n 其中余项 的主要形式有Rn（1） 拉格朗日余项， （ 在 与 之间）10)1()!nnnxfx0x（2） 皮亚若余项。nnR)()0如果 ，则，用 次泰勒多项式Mxfn)(1 nnn xfxfxffp )(!)(!2)(! 00)(200)(000 近似代替 产生的误差估计为)(xf1110)!()nnxMxR2为备用，熟记一些常用函数的麦克劳琳公式（ 的泰勒公式）012)!(!1!1nxnx exe 1132 )()()1ln( nnnxx 121253 )!(si)!(!si mm
15、xxxx 2242 )!(cos)!(!1co 3用间接法写函数的泰勒公式（1） 作变换 ： = ；0xt)(f)0tx（2） 写出 关于 的麦克劳琳公式：)(ft（a） 适当恒等化简，把某组东西看成一个整体，使函数变成麦克劳琳公式已知的函数；（b） 利用已知写出麦克劳琳公式；（c） 整理。（3） 代回变量 。0xt4.用函数的泰勒公式求极限.四、求极值、最值1极值问题（1） 极值点的范围根据费马定理， 极值点的范围：全部导数不存在的点和 = 0 的全)(xf )(xf部解。（2） 求极值的步骤（a） 求出 不存在的全部点： ；)(xf ntt,21求出 = 0 的全部解： 。mx,12（b）
16、 逐点用 或 判断 是否极值点，是极大值点还是极小值点；逐)(xf)(ifix点用 或定义判断 是否极值点，是极大值点还是极小值点。一定要it有明确的结论。用 判断：)(xf )()(i )(00)(i 的 极 值 点 。不 是的 左 右 附 近 同 号 ， 则在若 的 极 小 值 点 。是， 则的 右 边 附 近， 在的 左 边 附 近若 在 的 极 大 值 点 。是， 则的 右 边 附 近， 在的 左 边 附 近若 在 的 某 去 心 领 域 内 可 导 。点 连 续 ， 在在设 xfxf xff fxfii ii iii用 判断：)(if 的 极 小 值 点 。是， 则如 果 的 极 大
17、 值 点 。是， 则如 果 。存 在 且设 )(0)()i( xfxffii ii（c） 必要时求出极值。2求最值（1）一般情况（a）最值点的范围最值点的范围：全部导数不存在的点和 = 0 的全部解以及端点。)(xf )(xf（b）在 上求最值的步骤,（i）求出 不存在的全部点： ；)(xf mx,21求出 = 0 的全部解： 。ntt,（ii） )(,)(,)(,)(ma11x nmtftfxfbff ,ini 相应的点为相应的最值点。 （如果求最值的区间是 、 或 ，则没有),ba,(),ba的端点就不在考虑之内。 ）（2）特殊情况如果（i）根据问题的实际能判断得知 的最大（小）值肯定在
18、内取得；)(xf ),(ba（ii）在 内 不存在或 = 0 只有一个点 。),(ba(xf 0x则 就是 的最大（小）值点。0x13五、单调区间，凸性、拐点，渐近线1单调区间求单调区间的步骤：（1）求出 不存在和 = 0 的全部点： 。以 为)(xf)(xf mx,21 mx、 21分点分成 个小区间；1m（2） 在 的小区间中（严格）单调上升；在 的小区)(f)(f 0)(f间中（严格）单调下降。2凸性、拐点求凸性区间、拐点的步骤：（1）求出 不存在和 = 0 的全部点： 。以 为)(xf)(xf mx,21 mx、 21分点分成 个小区间；1m（2）用 判断每个小区间的凸性：)(f（ 的
19、 图 形 ） 是 上 凸 的 。的 小 区 间 ，在 （ 的 图 形 ） 是 下 凸 的 。的 小 区 间 ，在 )(0)(xfxf（3）如果 左右两边的凸性相反，则 是拐点；如果 左右两边的凸i )(,iixf ix性相同，则 不是拐点。)(,iixf3渐近线（1）垂直渐近线如果 ，则 是 的垂直渐近线。 （可能不只一条。 ）)(lim0xfx 0x)(xfy（2）斜渐近线（包括水平渐近线）如果， xfa)(lim)(liaxfbx则 是 的渐近线。baxy)(xfy4曲率和曲率半径 KRxfK1)(123，14第四章 不定积分1原函数如果 ，则 称为 的一个原函数。)(xfF )(F)(x
20、f2不定积分的概念固定 的随便一个原函数 ， 的全部原函数 称为)(xf )(xf CxF)(的不定积分)(f CxFdf)()(其中 是任意常数，称为积分常数。因此Cdxfffxfd)()()()(，xd3不定积分的计算（1） 概说计算 就是要找到 的随便一个原函数 ，然后就得dxf)()(xf )(xFCd)(（2） 初等函数不定积分的计算（a）首先要记熟用熟基本积分表和常用的积分表。（b）千方百计地把要做的积分化为积分表中的积分。（i）利用线性性计算不定积分 CdxgxfdgxfCdxfkxf )()()( )()(，（ii）第一换元法 uff x)()(快速的第一换元法就是凑微分法：
21、)(dfdxf（iii ）第二换元法找一个适当的变换 ，则)(txCdttfdf x)(1)(15换元法的意义在于右边的积分比左边的积分简单。第二换元法主要用来解决一些积分困难。比如根号等。困难2xa2a2xndcxba3 x， 分母 指数大变换tsintsectt6tt1什么难住你，就用换元法除掉它！（iv）分步积分法 vduu dxvudxv原则： 。 。u 复 杂变 简 单 ， 不 反 、 对 、 幂 、 三 、 指如果经几次分步积分又出现左边的积分，就用代数方法解出。（v）当有 时cbxa2如果 有实根，则拆开成两项 a )(xdxfxfadcbaf )()(12如果 没有实根，则先配
22、方 b cx2 abxdcabxfdcbxaf 242)( 22（vi）有理函数的积分假分式（ ） a nm先用多项式除法 dxQrxhdxQPnunmnm)()()(其中 是多项式， 。)(xhnmu真分式（ ） b分解因式（设 的最高次系数是 1） 1 )(n ts ktkll qxpqxpaxxQ )()()(11 待定系数分解 216 sl sl axlsaxlnm AAxQP )(1)(11 ()1 tkt ttkt qxpktttttqxpktt NMxNNMxN )(1)(1 )()(111 把上式右边形式地加起来，比较两边系数得一个方程组，解此方程组得待定 3系数的值，代回上式
23、即分解成功。变成几个简单积分 4 dxQPnm)( CaxAxdaxAln)(1)(l 1ldax lll 42142242222 pqxdpqxApxdqpxAdqpxNCpqxpqA42arctn42 xdqpxMNqpxdqpxMdxpxNMdpxN 22222 1 qq kkkk 22222 421122 pxdpxdpxkk222122222 11 audaduaduuadu kkkk 17duakaukadua kkk 1221221221 dukk 122122然后递推。有理函数的积分总可以积出来。但比较麻烦，应用作最后一招。（vii）万能变换， ， ，2tanxu21siu21
24、cosuxdux21RdR22,)co,(i 其中 是有理式。由于麻烦，万能变换应用作最后一招。（viii） 的计算xmncsia) 当 是奇数时， ；当 是奇数时，xdxxdmnmn sin)si1(icosi 21；xdmn co)1(cosi 2b) 当 都是偶数时， 。, dxxxdmnmn 22cosscosi不定积分技巧性强，方法灵活。要一切方法综合运用，一切通过试！18第五章 定积分一、定积分的概念1定积分定义的四步（1） 分割： 。 。 。bxxan120 1iiixinix1ma（2） “近似”： ， 。iiiif)(（3） 求和： 。niiixf1)(（4） 取极限： 积
25、分 不 存 在 不 可 积极 限 不 存 在 ， 积 分 存 在 可 积，极 限 存 在 ， )()(lm10 baniii AdxfAf补充定义 baaba xfdxfdxf )(,)(2定积分的几何意义（1） 当 时， = 由“ ”围成axf,0)(baxf)( bxafy,)(,0曲边梯形的面积。（2） 当 时， = 由“ ”围成f,)(badf)( f,)(,曲边梯形的面积的负值。（3） 当 可正可负 时， = 由“ ”)(xf,baxf)( bxafy,)(,0围成曲边梯形面积的代数和。（4） 当 是速度函数时， = 物体从时间 到时间 的运动路程。)(tf badtf)(ab二、定
26、积分的性质1线性性 bababa dxglxfkdxglxkf )()()( 2可加性 bccaba xfxfxf )()()(不管哪个大哪个小，积分能做就行。cba,3单调性19，0)(0)(badxfxf babadxgxfgf )()()(4积分估计)()()()( abMdxfabmaMxf b5积分中值定理 ),( )()( baabfdxfba 其 中其中 在 上连续。)(xf,三、上限的函数上限的函数 是 的一个原函数xadtfF)()()(xfaxfdtfF)()(bxtd)()(xffa)(txb)()( xfxfdtf 四、定积分的计算1牛顿-莱布尼茨公式 )()()( a
27、FbxFdfaba 其中 是 的随便一个原函数。因此，先用不定积分算出 的原函数)(xFf )(xf，再用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分 。badxf)(2换元法 ttfdxfba )()(其中 是适当选好的变换，上下限跟踪 。左右相等，哪)(tx )(,ab20个容易计算就计算哪个。定积分换元法也可解决一些积分困难。3分步积分法， baba dxuvxudxvu)()()( 原则： 。 。vvu 复 杂变 简 单 ， 不 vu反 、 对 、 幂 、 三 、 指如果经几次分步积分又出现左边的积分，就用代数方法解出。4当 是奇函数时)(xf 0)(adxf五、反常积分1无穷限积分 tatadxfd
28、xf)(lim)(bb ctct xfxfxf )(li)(li)(极限（都）存在时积分收敛；否则积分发散。 完全没有关系。 可以是和t c0。2无界函数积分无界函数按通常意义积分都是发散的。如果 在 附近无界，则 称为 的一个瑕玷。)(xf00x)(f，caca dfd)(lim0 acac dxfx)(lim0其中 是 在积分区间上唯一的瑕玷，上限大于下限。)(xf bcctatba xfxfxf )(li)(li)( 00其中 和 是 在积分区间上仅有的瑕玷， 。axf 极限（都）存在时积分收敛；否则积分发散。 完全没有关系。 。和t bca当积分区间中有几个瑕玷时，以这些瑕玷为分点，分
29、成几个小区间的积分。3反常积分也可换元或分部积分。214 ， 。1,1pdxp 1,0pdxp5反常积分审敛。（1）如果 收敛，则 必收敛，称为绝对收敛。adxf)(adxf)(以下设 为非负函数。,gf（2） 收敛的充要条件是 在 有界。ax)( xatfF)()(),（3）如果在 恒有 ，则,)(gxf（i） 收敛则 也收敛；adxg)(ad（ii） 发散则 也发散。f x)(（4）设 ，则kxgx)(lim（i）如果 ，则 和 同敛散；0adxf)(adxg)(（ii）如果 且 收敛，则 也收敛；kf（iii ）如果 且 发散，则 也发散。axg)(ax)(（5）在（3） 、 （4）中使
30、用 并注意到 4.。p1（6）无界函数的审敛与（1）-（5）类似。在（5）中用 代替 。pbx)(1px22第六章 定积分的应用1微元法定积分的应用就是用定积分计算某个量 Ubadxf)(其中 是 的分布区间。微元法的步骤是：,baU（1）找出 的分布区间 。在 上任给 和它的增量 。 在,bx,xdxU分布的部分量是 的函数 。,x)(U（2）计算出 在 上的分布量,dx)()(dxf所以微元 与 相差 。xfdU)(U（3）对 两边积分xbadxf)()(2面积的计算（1）两曲线间曲边梯形的面积如下图， 。面积)(21xffbadAy)(2xfyAOaxb)(1xfydfdA)(2（2）极
31、坐标情形如下图， “ ”围)(,得图形的面积 dA2)(1 )( AOddA2)(123如果图形由“” )()(, 21围成，则 12A其中 是“ ” 2A)(,2的面积； 是“1” 的面积。如)(,右图。 )(1 )(2 O由直角坐标方程写极坐标方程的方法：把 代入曲线的直角坐标方程 得 ，sincoyx 0),(yxF0)sin,co(再从后式解出 即是曲线的极坐标方程。)(3体积的计算（1）旋转体的体积设旋转的曲边梯形为“ ”，如右图。)(,0,xfybxa（a）绕 轴旋转 x所在长方形转出的是一,d个半径为 高为 的圆柱体。所)(fx以 dfdVx2)(bax（b）绕 轴旋转y所在长方
32、形转出的是一,dx )(xfy Oaxbx个内径为 外径为 高为 的空心圆柱壳。所以)(xfdxfdVy)(2ba（2）截面面积可计算的几何体的体积设几何体分布在 轴的 之间， 点处垂直于 轴的截面面积 都可x,xx)(xA24计算，则几何体的体积 badxAV)(其中 要首先计算出来。)(xA4曲线弧长的计算（1）设曲线(右图) 方程为参数方程)()ttyxL：。),(baCDADAC弧)(0dtx弧 yL D AC)(tyB)(txdxy因此，弧长元素或说弧长微分 tytxyAds 222)()(弧长（*）dttx22)()(（2）设曲线方程为 ，则它的参数方程（ 为参数）为fybax)(
33、)xfx因此弧长 badfs2)(1（3）设曲线方程为极坐标方程 ，则它的参数方程为)(sin)(coyx代入（*）得弧长 dx22)()(5定积分的物理应用（1） 设曲线 在 点的线密度为 ，则曲)()ttyxL： )(,tyx)(t25线的质量 。dtytxm22)()(（2） 设物体从 运动到 ，受到外力 ，则外力做的功 。abxFbadxFw)(（3） 当长度为 （液面为 0）的面垂直放在液体中时，液体对面的压,力 ，其中 为面在 点的宽度， 为液体的密度。badxglF)()(lx（4） 质量 的线段 对放在原点质量 的引力为 。M, mbadxGmMF2)(（5） 设曲线 在 点的
34、线密度为 ，则曲)()ttyxL： )(,tyxt线的静力矩 dtytxtJdtytxtJ yx 2222 )()()(,)()()(质心坐标 。mJxy,（6） 设曲线 在 点的线密度为 ，则曲)()ttyxL： )(,tyx)(t线的转动惯量 dtytxtJdtytxtJ yx 222222 )()()(,)()()(（7） 交流电 的有效值 。函数 在 的平均值wtImsin2mI)(xfba,，均方根值 。badxfy)(1badxff2)(126第七章 微分方程一、 微分方程及有关概念1微分方程含有未知函数一阶或高阶导数的等式称为微分方程。其中未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶。
35、 阶微分方程的一般形式为n(*)0,)(nyxF2微分方程的解一个函数 ，如果代入（*）成为恒等式fy0,)(xffxn则 称为（*）的解。如果（*）的解 不含有任意常数，则称它为（*）的xfy y一个特解。如果 阶（*）的解 含有 个不可减少的任意常数，则称nnCxfy,1为（*）的通解。通解一定是微分方程的解，但不一定是全部解。Cxfy,13微分方程的核心问题：（1）求微分方程的通解，称为通解问题；（2）求微分方程满足一定条件（称为初值条件）的解，称为初值问题。单独一个微分方程提出通解问题；初值问题的提法是（*）1)1(0)(0,nxnxnyyyF(后 个等式是初值条件） 。n求微分方程的
36、解（通解或特解）称为解微分方程。1 初值问题的解法（1） 求出微分方程的通解 ；（2）用 个初值条件确定 个任意常nCxfy,1 n数的值，即解关于 的方程组n,1 110)( 010,nnnyCxff把这些 的值代回 即得满足初值条件的解（这步是代数问题） 。nC,1 ny27可见，不管是解通解问题还是解特解问题，都要求微分方程的通解。记住：一般地说，解微分方程是世界难题。只有几种特殊类型的微分方程已有简单可行的解法。并且，不同类型的微分方程有自己独有的解法。我们的任务是：（1）辨认各种方程的类型；（2）熟练各种类型方程独有的解法。二、辨认类型，熟练解法1已分离变量的微分方程 xfyn)(称
37、为已分离变量的微分方程。解法：(注意：不定积分的结果有任意常数 ) dxyxfykkn )()1(2可分离变量的微分方程如果一阶微分方程（*1）0,dxyF能通过恒等变形化为（*2）fyg则称为可分离变量的微分方程。解法：（1）分离变量（从（*1）到（*2）称为分离变量） ；（2）隐式通解Cdxfy其中积分的任意常数已单独写出。记住：分离变量解微分方程的方法是微分方程解法的总根。2 齐次方程如果方程能恒等地变为(*3)xyd则称为齐次方程。解法：作函数变换 ，则xyudxuy代入（*3）得方程 x28分离变量再两边积分得 Cxuln其中 ，常数统一写在右边。代回 得隐式通解udyCxyln3
38、一阶线性微分方程 QyPdx称为一阶线性微分方程。解法：通解公式 CdxeeyPdxP其中的不定积分不再写任意常数。注意：有的方程把 看成 的函数时不是线性方程，但把 看成 的函数时就成了线y性方程。6贝努利方程 1,0,nyxQPdxy称为贝努利方程。解法：（1）变形 xyxynn1（2）作变换 ， ，变为线性方程nyu1ddxQnuPnxu11则 CdeexPndxPn11即 xexQney dPndxPnn 1117不含 的二阶方程 yf,解法：（1）作变换 ， ，变为一阶方程ypdxp29pxfd,（2）用一阶方程的解法解得 0,1CF（3）再用一阶方程的解法解 ,1yx8不含 的二阶
39、方程xf,解法：（1）作变换 ，用 作新的自变量，yp，变为一阶方程dxdxy pyf,（2）用一阶方程的解法解得 0,1CF（3）再用一阶方程的解法解 ,1y10二阶常系数线性方程 0qyp解法：（1）求出特征方程 2r的两个根 ；（2）根据下表确定通解1,r的情况 通解都是实根21r xrxreCy21是实根 r121是复根ir1 xeyxsinco2常系数线性方程有往高阶的推广。3011常系数非齐次方程（*4）xPeqypm其中 是 次多项式。xPm解法：（1）确定解的形式： ，其中 是 次多项式， 是特征多xQymkxm项式 02qpr的 重根， ；（2）待定系数地设k10，不 是 根
40、mmxAxQ10把 代入（*4）并比较两边 同次幂的系数得关于 方程组，解出xQymk mA,10就得（*4）的一个解 ；（3）求出A,10 xymk*qyp的通解 ；（4） （*4）的通解为21,CxYxQCxYymk21,12常系数非齐次方程（*5）Peqpmxcos（*6）xiyin解法：（1）利用欧拉公式， （*5）和（*6）的右边相加得（*4）型的方程（*7）eqpmxi（2）用 11 法解之得（*7）的复通解 2121,CiGCFy其中 和 都是实函数；（3） 是（*5）的通解，21,CxF21,xG21,xFy是 的通解。yxPeqypmsin13欧拉方程 xfypx nnnn 1)1(1)( 解法：作变换 。tl
