1、12010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如
2、果赛区设置报名号的话）： 3977 所属学校（请填写完整的全名）： 汕尾职业技术学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 陈云飞 2. 姚晓丹 3. 张美燕 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2010 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：22010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：3输油管布置的优化设计摘要：本文对输油管线布置的设计方案问题进行了三个方面
3、的研究，第一，是在两厂坐标及共用管线与非共用管线费用不确定的情况下，设法研究它们的变化与设计方案的关系；第二，用优化模型解决了城区铺设管道时增加附加费用的设计方案问题；第三，在第二个问题中改变优化模型中的某些系数解决了不同厂管线铺设费用不同的设计方案问题。设计方案的关键是要解决共用管线与非共用管线的交接点和车站位置。在第一个问题中，我们先固定两油厂坐标、共用管线与非共用管线的价格比中的某些量，通过优化模型应用 lingo 运算，观察某一个量的变动与设计方案变动的关系，得出结论：当两厂距离越远时或当炼油厂离铁路线越远时或当共用管线与非共用管线的价格比越大时，共用交接点都越靠近铁路。在第二个问题中
4、，三个咨询公司给出了三个不同的附加费用，根据实际情况，取甲级公司的费用作为附加费，通过建立总费用的优化模型，运用 lingo 软件求出了优化设计方案。在第三个问题中，只改变了第二个问题的优化模型中的某些系数，通过运用 lingo软件也求出了优化设计方案。关键词：共用交接点 lingo 软件 费用 优化模型 4一、 问题重述问题是某油田要计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，求最优设计方案，我们考虑：1、问题是个在某些条件下求最小费用的优化问题，优化条件最关键是要找到铺设共同管线与非共用管线的交接点；2、对于共用管线与非共用管线可以用它们的费用来考虑；3、问题 1 是要讨论
5、两油厂间的距离（即到铁路的距离）与共用管线和非共用管线价格之比的关系，以及在什么情况下不使用共用管；4、问题 2 增加了城区内的附加费用，对三家评估公司的结果进行综合考虑，附加费用只是系数不同5、问题 3 各线路单价不同，求总费用时系数不同，同时也影响交点的位置二、问题分析1、这个优化问题的目标是使管线建设费用最省。2、题目中的问题一并未给出两炼油厂的具体距离和两炼油厂到铁路线的距离。为此要更好地表示车站跟油厂的位置，而涉及到了有无使用共用管线、共用管线与非共用管线之间价格的相同或不同，所以在考虑设计方案时，我们可以建立直角坐标系进行理论分析；其实，这类关于优化设计的问题我们可以运用相关数学软
6、件运算求解，但总费用目标函数都是以未知数进行运算，可是没法找到相关数学软件对这一目标函数求解，所以我们采取了图表法来分析解决问题。 3、问题二涉及到了在城区内铺设管线要附加费用，要求设计管线布置方案及相应的费用，目标还是使费用最少。而从题目给出的数据看，我们应该建立优化模型来寻求最优的管线布置方案。并利用 lingo 软件算出最省的费用。至于城区与郊区的转接点，用优化费用的方法求出转接点位置，并对转接点进行理性分析，设法用已有的理论解释。其次，在聘请公司时，要考虑资质、费用，使得总费用较合理。4、问题三要求进一步节省费用。同样用优化费用的方法先求城区与郊区的转接点位置；同时设想各管线价格对管道
7、布置的影响，建立直角坐标系来解决问题。三、模型假设1、假设管线布置都是以直线铺设，没有拐弯等额外花费；2、假设管线的内部构造以及粗细不考虑；3、假设管线交接处花费的费用不考虑。5四、符号说明a A 厂到铁路线的垂直距离b B 厂到铁路线的垂直距离c A 厂到城郊分界线的水平距离l A 厂到 B 厂的水平距离x 车站所在位置的横坐标x1 共用管与非共用管交接点的横坐标y 共用管与非共用管交接点的纵坐标y2 无共用管线时，非共用管与分界线理想交点的纵坐标y3 有共用管线时，非共用管与分界线理想交点的纵坐标d1 共用管的费用d2 非共用管的费用d3 拆迁和工程补偿等附加费用d 4 A 厂输送管线的铺
8、设费用d5 B 厂输送管线的铺设费用五、模型建立与求解问题一：模型建立假设铁路线上的 E 点为理想的车站点（即为 A、B 两油厂输送成品油的终点）可以建立以点 C 作为坐标原点，以油站 A 向铁路的垂线 AC 作为 y 轴，建立直角坐标系，则可设 A（0，a） B（l，b） C（0,0）D（l，0）E（x，0） 。假设铺设管线使用了共用管，根据实际，则在油厂 A、B 间必有一个共用交接点，F 为理想共用交接点，坐标为 F（x ，y ） 。1如图所示： YCBFXE DA则非共用管的长度为|AF|+|BF| ；共用管的长度是|EF|，设共用管费用为 d 万元/16千米，非共用管费用 d 万元/千
9、米。2对总费用进行优化，则有模型：min = d (|AF|+|BF|) + d |EF|即为：1min= d （ ）+d2 212221 )()()()0( ybxlyax12121)0()(yxS.t d1 0；d 0；a 0；b 0；l0；0 x l；0 y b1模型求解问题一关键要知道 a、b 与 l 及 k 之间的关系，但是我们从上述模型无法知道当总费用最低时，x 、y 如何表达成 a、b、l、k 之间的关系（因为 lingo 只对实际数据的1运算有效，上述优化模型输入时各字母赋值均为 0） 。其中会有 d =kd 。我们设想让 a、b、l、k 之中的三个固定，而另一个变化，看2看交
10、接点会怎样变化。k=1 时，即共用管费用与非共用管费用相同；设定 a=1,b=2 时，根据 l 的不同，使用 lingo 软件运算后可以列表如下：l x x1y11 0.000000 0.000000 1.0000002 0.1339745 0.1339744 0.92264984 1.133975 1.133975 0.34529945 1.633974 1.633974 0.5662449E-015.2 1.733333 1.733333 0.000000(表一)我们看到，当两油厂之间的水平距离越大时，交接点越靠近铁路，当 l=5.2 时，已经在铁路上，即不再需要共用管线。假设当 k1 时
11、，即有共用管费用是非共用管费用的 k 倍；下面我们来看看 k 的变化会使交接点怎样变化。设定 a=1，b=2，l=3 时，根据 k 不同，使用 lingo 软件运算后可以列表如下：k x x1y11.2 0.8333333 0.8333333 0.37500001.3 0.9154352 0.9154352 0.21699421.4 0.9898979 0.9898979 0.2970586E-011.5 1.000000 1.000000 0.000000（表二）我们可以看到，当 k 变大时，交接点逐渐向铁路靠近，即共用管线越来越少；综合上述两表都反映出当总费用最少时 x 与 x 坐标相同，
12、即共用管是向铁路垂直铺设的。1由于 a、b 是对等关系，完全可以设定一个固定，另一个变化所以设 k=1.5 ,l=5 ,b=2，使用 lingo 软件运算可得下表：a x x1y10.5 1.000000 1.000000 0.5077534E-060.6 1.153846 1.153846 0.7640870E-060.7 1.296296 1.296296 0.00000071 1.666667 1.666667 0.0000002 2.500000 2.500000 0.000000（表三）我们可以看到，当 a 变大时，即油厂 A 离铁路越远时，交接点逐渐向铁路靠近，即共用管线越来越少；
13、以致不需要再使用共用管直接以非共用管进行管线铺设。至此我们得到，管线的铺设与上述 a、b、l、k 都有关系，它们的值越大时，共用管线铺设得越少；共用交接点的具体位置与它们的具体取值有关。问题二：模型建立与求解铺设在城区的管线要增加拆迁和工程补偿等附加费用，此费用现有三家公司进行了不同的估算，首先要确定选用哪家公司比较合理，或者综合三家公司考虑。在同时考虑城区管线和郊区管线的费用的情况下，进行优化。 先假设没有共用管线，如图所示。我们可以假设管线从油厂 B 到车站 E（F）的铺设路线中，在优化情况下，城区与郊区分界线处的转接点为 M（c，y ） 。过 B 点作分界线的垂线 BH，垂足为 H，可知
14、 BH2管道是在城区铺设路段中总费用最少，而 BG 管道在城区铺设路段中使用费用较多。按照 BHF 管线铺设，虽然在城区部分节省了，但由于郊区部分管线变化不能确定，即无法准确知道所使用的总费用减少了还是增加；说明在油厂 B 到分界线的管线铺设部分，取最短不一定是合理的；综合上面的情况我们可以假设优化方案下管线从油厂 B 到共用交接点 F 的铺设路线中，在城区与郊区分界线处的转接点为 M（c，y ） ，显然 M 在2O 与 H 之间。设拆迁和工程补偿等附加费用为 d 万元 /千米。3对总费用优化，则有：min =|AE|d +（|EM|+|BM|）d +|BM|d22即 min = +（ ）d
15、+)0()0(ax 2222 )()()0()( ybclyxc322)(ybclS.t a 0 b 0 c 0 l 0 b y 02Y (F) GCBXDEAHMO8在选取公司时，根据甲级资质公司和乙级资质公司不同，但我们可以假设两家乙级资质公司的估算可等同于一家甲级资质公司，对它们取平均值可作为城区的拆迁和工程补偿附加费用。取两家乙级资质公司的平均值（24+20）/2=22用两家乙级资质公司的平均值 22 再与甲级资质公司的估算值平均。得（21+22）/2=21.5由最终平均值的 21.5 可知道公司一的估算较为准确，应该选取公司一使得总费用最省。因此，我们选取公司一，而所有管线铺设费用均
16、为每千米 7.2 万元。算得共用交接点 F（即车站点 E）的坐标为（6.155375，0）；此时，管线从油厂 B 到车站 E（F）的铺设路线中，在城区与郊区分界线处的转接点 M 的坐标为（15.00000，7.184472） ；总费用是 282.0043 ，lingo 编程及运算结果详细见（附录一）再假设有共用管，因为此种铺设显然可以看出铺设在城区的管线 BI 是优化中最长的，附加费用显然最多，不能确立为较优设计；同上述分析可知， N 同样在 O 与 H 之间。如图所示。 ICBFYXE DAHN对总费用进行优化，则有模型：min =|EF|*d +|AF|*d +|FN|*d +|BN|*（
17、d + d ）12223即 min=(d +d )23221111221 )()()(0)( ybclyxcyaxdyx 3S.tb y 00abcl3选取的最合理共用交接点 F 的坐标为（5.459266，1.848091），而车站点 E 的坐标为（5.459266，0） ，从而可以知道共用管线 EF 是与铁路垂直的；管线从油厂 B 到共用交接点 F 的铺设路线中，在分界线处的最优转接点 N 的坐标为（15.00000，7.356437） ；算得总费用是 280.1771 ，lingo 编程及运算结果详细见（附录二）所以，综合考虑并比较所使用的总费用可以知道，选择使用共用管更合理。O9问题三
18、：模型建立与求解在实际问题中，因为不同地区的铺设管线的费用不一定是相同的，题中给出了在A 厂铺设输送管线的费用和 B 厂铺设输送管线的费用，以及铺设共用管线的费用，通过三者价格之间的比较，可以知道在管线的铺设时，应尽可能少的使用共用管线或不使用共用管线，以减少所需的费用，由以上的情况分为两个方案：当无使用共用管线时，则优化模型为:min =|AE|d4+（|EM|+|BM|）d +|BM|d35即 min = +（422)0()0(dax）d +22)()( ybclyxc 5 322)()(dybclS.t 0 x l a 0 b 0 c 0 l 0有使用共用管时，则优化模型为：min =|
19、EF|d +|AF|d +|FN|d5+|BN|（d +d ）即1435min= 232521321421211221 )()()()()()0()0()( ybcldyxcyaxdyx ( d +d )35S.tlx00ab0cl byxlb31)(在选取哪一家公司的问题上，与问题二讨论相同，所以同样选用公司一，但此时管道铺设费用都改变了，我们应用 lingo 软件运行，可以得到：不使用共用管线时总费用是 249.4486 ，详细见（附录三）选取的最合理共用交接点 F（即车站点 E）的坐标为（6.760607，0）。有使用共用管线时总费用是 249.4422 ，详细见（附录四）优化情况下，共
20、用交接点 F 的坐标为（6.742378，0.1326951）, 车站点 E 的坐标为（6.742378，0） ，从而可以知道共用管线 EF 是与铁路垂直的；管线从油厂 B 到共用交接点 F 的铺设路线中，在城区与郊区分界线处的交点 N 的坐标为（15.00000，7.265875） ；所以，比较两种情况下的总费用，选择使用有共用管线铺设方案更合理。六、模型评价与反思101、在这个优化设计问题上，通过建立直角坐标系使问题简单化，并运用数学软件解决数据复杂性问题；2、分情况讨论共用管线的使用与否，再运用软件求解；。3、采用了表格法对数据进行分析和文字叙述，但表格的数据不多，分析不够到位，似乎不足
21、以说明我们所要陈述的事实。4、对所建模型不全面的原因进行分析，是因为在附加费的问题上，我们没有详细没有全面考虑甲，乙等级公司权重问题，而采用平均值的有效性来考虑选取哪家公司，使得计算量减少。针对这个问题，可以进一步对模型进行优化。主要对这两个等级的三家公司进行质量调查，获取数据；假设取 5 年以来的评估数值与实际数值之间的差距，取平均数值最能体现准确性，从而以平均值的大小来确定哪家公司的评估最准确。七、心得体会终于到了写心得的时候了！内心十分激动，光阴似箭，转眼间，数学建模就要结束了。记得刚开始并不知道什么是数学建模，当真正接触到数学建模之后，才明白什么是数学建模，数学建模的应用之广泛，在无形
22、之中使我渐渐喜欢上了数学建模，真正的钟爱于数学建模的学习和模型的建立过程。参加了这次维持三天的全国建模竞赛，我体会很深，从刚开始拿到竞赛题目时觉得不会挺难，到动手建模时发现了越来越多的问题，这些问题是之前没有考虑到的，这样模型就更难建成，数据的运算也遇到一些困难，组员间因为意见的不一致而争吵，遇到这种情况我们会讨论到意见一致，坚持不懈的努力，将发现到的问题解决，建立起我们的模型，慢慢的向答案迈进，从建模的过程中体会到建模就是要将题目读懂并将问题进行透彻的分析，对某些因素要进行适当的考虑，而一些次要的因素则忽略掉它的影响，从而建立理想的模型。同时体会到合作的力量是伟大的。忠心地感谢数学建模，是它
23、磨炼了我们的意志，是它提高了我们的耐力，是它让我们全身全意地投入到真正地学习和工作中。它使我们产生了很多匪夷所思的解题思路，开拓了我们的思维、视野。在此，忠心地感谢我们的辅导老师和学院的领导。八、参考文献1姜启星，谢金星，叶俊，数学模型（第三版）北京：高等教育出版社，2003年 8 月2谢金星，薛毅，优化建模与 LINDO/LINGO 软件，上海：清华大学出版社，2005年3洪文，吴文忠.LINGO4.0 for Windows 最优化软件及其应用.北京：北京大学出版社，200111附录附录一：运算程序：model:min=(sqrt(0-x)2+(a-0)2)*d2+(sqrt(c-x)2+
24、(y2-0)2)+sqrt(l-c)2+(b-y2)2)*d2+(sqrt(l-c)2+(b-y2)2)*d3;a=5;b=8;c=15;l=20;d2=7.2;d3=21;end运算结果：Local optimal solution found.Objective value: 282.0043Extended solver steps: 5Total solver iterations: 4Variable Value Reduced CostX 6.155375 0.1387086E-08A 5.000000 0.000000D2 7.200000 0.000000C 15.00000
25、0.000000Y2 7.184472 0.000000L 20.00000 0.000000B 8.000000 0.000000D3 21.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 282.0043 -1.0000002 0.000000 -4.5396543 0.000000 -4.5402494 0.000000 22.243595 0.000000 -27.832236 0.000000 -24.39122127 0.000000 -5.0660728 6.155375 0.0000009 13.84462 0.00000010 2
26、.073680 0.00000011 0.8155275 0.000000附录二：运算程序：model:min=(sqrt(x-x1)2+(0-y1)2)*d1+(sqrt(0-x1)2+(a-y1)2)*d2+(sqrt(c-x1)2+(y3-y1)2)*d2+(sqrt(l-c)2+(b-y3)2)*(d2+d3);a=5;b=8;c=15;l=20;d1=7.2;d2=7.2;d3=21;end运算结果：Local optimal solution found.Objective value: 280.1771Extended solver steps: 5Total solver it
27、erations: 4Variable Value Reduced CostX 5.459266 0.000000X1 5.459266 0.000000Y1 1.848091 0.000000D1 7.200000 0.000000A 5.000000 0.000000D2 7.200000 0.000000C 15.00000 0.000000Y3 7.356437 0.000000L 20.00000 0.000000B 8.000000 0.000000D3 21.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 280.1771 -1.00
28、00002 0.000000 -3.6001053 0.000000 -3.6006724 0.000000 21.733855 0.000000 -27.969286 0.000000 -1.8480917 0.000000 -22.361768 0.000000 -5.041247139 5.459266 0.00000010 14.54073 0.00000011 3.319933 0.00000012 0.6435635 0.000000附录三：运算程序：model:min=(sqrt(0-x)2+(a-0)2)*d4+(sqrt(c-x)2+(y2-0)2)+sqrt(l-c)2+(
29、b-y2)2)*d5+(sqrt(l-c)2+(b-y2)2)*d3;a=5;b=8;c=15;l=20;d3=21;d4=5.6;d5=6.0;end运算结果：Local optimal solution found.Objective value: 249.4486Extended solver steps: 5Total solver iterations: 4Variable Value Reduced CostX 6.760607 0.000000A 5.000000 0.000000D4 5.600000 0.000000C 15.00000 0.000000Y2 7.257525
30、 0.000000L 20.00000 0.000000B 8.000000 0.000000D5 6.000000 0.000000D3 21.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 249.4486 -1.0000002 0.000000 -3.3299473 0.000000 -3.9665174 0.000000 22.204685 0.000000 -26.707166 0.000000 -5.0548267 0.000000 -8.408675148 0.000000 -16.034779 6.760607 0.00000010
31、 13.23939 0.00000011 2.278811 0.00000012 0.7424752 0.000000附录四：运算程序：model:min=(sqrt(x-x1)2+(0-y1)2)*d1+(sqrt(0-x1)2+(a-y1)2)*d4+(sqrt(c-x1)2+(y3-y1)2)*d5+(sqrt(l-c)2+(b-y3)2)*(d3+d5);a=5;b=8;c=15;l=20;d1=7.2;d3=21;d4=5.6;d5=6.0;end运算结果：Local optimal solution found.Objective value: 249.4422Extended s
32、olver steps: 5Total solver iterations: 4Variable Value Reduced CostX 6.742378 0.000000X1 6.742378 0.000000Y1 0.1326951 0.000000D1 7.200000 0.000000A 5.000000 0.000000D4 5.600000 0.000000C 15.00000 0.000000Y3 7.265875 0.000000D5 6.000000 0.000000L 20.00000 0.000000B 8.000000 0.000000D3 21.00000 0.00000015Row Slack or Surplus Dual Price1 249.4422 -1.0000002 0.000000 -3.2778323 0.000000 -3.9228614 0.000000 22.173055 0.000000 -26.713616 0.000000 -0.13269517 0.000000 -5.0536078 0.000000 -8.3156679 0.000000 -15.9655510 6.742378 0.00000011 13.25762 0.00000012 2.365658 0.00000013 0.7341247 0.000000
