1、 鸡兔同笼问题的数学问题分析“鸡兔同笼问题”是我国古代的一道数学名题，在上海教材中被安排在四年级下学期，但在二年级学“列表枚举法”时学生已初步接触过这个问题，有的三年级学生在外面补课时已经会套用“假设法”的解题模式，有的则从家长那里学会了用方程解答.有趣的是，数据较小时，一年级学生用“画图法”也能解决这种问题.这就是四年级学生关于“鸡兔同笼问题”的“数学现实”一锅不折不扣的“夹生饭”.笔者尝试以“课程实施三放三收”的策略引导学生走进他们“生活中的数学” ，一起来烧烧这锅“夹生饭”.一、一放一收：呈现“原生态”1.重心下移：呈现“原生态”上课伊始，老师出示了一只陶瓷储蓄罐，轻轻一摇，里面的硬币哗
2、哗作响.师：储蓄罐里有 2 分硬币和 5 分硬币共 8 枚，每种硬币各几枚？（PPT 呈现）生：这道题有好几种可能，好象缺少条件.师：要补上什么条件？生：要知道储蓄罐里一共有多少钱.师：好的，现在补上“一共有 3 角 4 分钱” ，能做吗？（学生有的沉思，有的动笔写写算算，有的则一脸茫然.）师：这类问题，早在 1500 年前，我们的老祖宗在一本叫孙子算经的书中就有专门的记载.这就是我们今天要研究的古代数学名题：鸡兔同笼问题.PPT 出示：今有鸡兔同笼，上有 8 头，下有 22 足.鸡有几只？兔有几只？（学生似乎被点醒，有的若有所思，有的若有所悟，有的则依然沉默.）【设计意图：储蓄罐里的“硬币问
3、题”学生也许陌生，但这只是一个悬念，一个引子；而似曾相识的古代名题对部分学生则是某种点拨与唤醒，能初步激活部分学生的学习经验，找到思考问题的起点.】2.重心下移：让“差异”成为资源师：脚为什么比头多呀？生：因为一只鸡有 2 只脚，一只兔有 4 只脚.师：鸡和兔的只数都是未知的.想一想，怎么办？有困难的也可以同桌商量商量，再动笔试试看.巡视发现，有以下几种具有代表性的解法.（1）有的学生通过列表枚举，找到了答案.（2）也有学生列出了算式：（22-82）（4-2）=3（只） ，8-3=5（只）师：你是怎样想的？生：假设 8 只全部是鸡，应该是 16 条腿，比题目里告诉我们的少了 6 条，每少 2
4、条腿，说明有一只兔被当成了鸡（能说得清道理的只是数学上的少数尖子，不少学生还是半懂不懂的.）师：其实，这道题一年级的小朋友们也会做，他们用的是“画图的方法”.（PPT 动态演示画图的过程.）谁能说说一年级同学是怎么想的？（原本半懂不懂的学生从直观的画图过程中明白了算理）生：一年级同学也是先假设 8 只全部是鸡，画上 16 条腿，再把多出来的 6 条腿添给三只鸡，就变成了三只兔.师：比较一下，你有什么发现？生：方法不同，但结果都是 5 只鸡和 3 只兔.生：都用到了假设法.师：你更喜欢哪种方法？生：我喜欢“图画法” ，比算式好懂，列表比较麻烦.生：但“图画法”也有麻烦的时候，如果是 800 只脚
5、呢？还是假设法比较好.【设计意图：“声一无听，色一无文，味一无果，物一无讲.”国语郑语.如同植物的多样性能让杂花生树一样，在课堂教学中，让学生原生态地呈现的各种方法成为一种教育资源，这些方法相互验证，相互启迪，往往能进一步激活孩子们的思维.】3.重心下移：聚焦困惑，突破难点师：明明假设的是鸡，怎么求出来的却是兔呢？（学生一时难以回答，片刻沉静后，学生从 PPT 上的画图法中找到了解释）生：因为，假设全是鸡，少算的 6 条腿都是“兔腿”.生：把少算的 6 条兔腿换回去，就变成了兔子.所以，假设全是鸡，求出来的是兔子.生：反过来，如果假设全是兔，求出来的是鸡.【设计意图：为什么明明假设的是鸡，求出
6、来的却是兔子？这历来是不少学生在理解上的一大困惑.所以，贴近学生理解上的这个难点，聚焦并放大这个环节，让学生不仅知其然，也知其所以然，从而切实突破难点.】二、二放二收：激活“创生态”1.关口前移：激活“创生态”师：上面提到的几种方法都是我们现代人的解法，我们的老祖宗又是怎么解决这个问题的呢？PPT 出示古人的解法：脚数2-头数=兔数，头数- 兔数=鸡数.师：古人的方法对不对呢？大家不妨用古人的方法验证一下上面这道题.生（兴奋地）：对的，对的，也是 5 只鸡，3 只兔.比我们的假设法方便多了.师：但古人是怎样想的呢？能不能发个短信或打个电话去问问？（生皆笑）生：老师，我在一本书上看到古人用的是“
7、抬足法”.就是让所有的鸡都抬起一条腿“金鸡独立” ，让所有的兔子都抬起前腿“玉兔拜月”.这样，腿的总数就除以 2.那么，每只鸡都是一条腿，每只兔都有两条腿，这时，脚数比头数多的，就是兔的只数.师：你的知识很渊博，解释得也很清楚，很精彩.（古人的解法，一石激起千层浪）生：老师，如果让鸡的两只翅膀着地，把鸡变成 4 条腿的“怪鸡” ，那么（84-22）（4-2）=5 是兔的只数，8-5=3 是鸡的只数.师：你为“假设全是兔”找到了一个生动形象的解释.生：老师，如果只让所有的兔子前腿抬起来，就可以把所有的兔子都变成 2 条腿的“怪兔”.那么（22-82） （4-2 ）=3 是鸡的只数，8-3=5 是
8、兔的只数.师：这又是一个很妙的解释.【设计意图：古人的“抬足法”犹如催化剂，催生出两翅着地的“怪鸡”和前肢举着的“怪兔”.学生的思维一旦被充分激活，任何奇思妙想都不会是一种意外.】2.关口前移：感受数学文化的魅力师：你们见过把鸡和兔关在同一个笼子里的吗？生：没有.（笑）师：即便是鸡和兔关在同一个笼子里，直接数一下各自的头不就行了嘛，谁还会趴下去数脚呢？（生皆笑着摇头）那为什么从古到今，人们一直在研究这个问题呢？换句话说，“鸡兔同笼问题”到底有什么魅力呢？（学生皆若有所思）师：不仅我们中国人研究“鸡兔同笼”问题，日本人也研究这个问题，在日本叫“龟鹤同游问题”.PPT 出示：龟鹤同游，数头 40，
9、数脚 112.龟鹤各几只？问：“龟鹤同游”与“鸡兔同笼”有关系吗？生：有关系.龟相当于 4 只脚的兔子，鹤相当于 2 只脚的鸡.师：也就是说“鸡兔同笼问题”不一定只指鸡和兔.那你们能不能给它重新取个名字？生：可以叫“鸭兔同笼问题”.生：可以叫“鹅羊同笼问题”.师：可以改成“兔狗同笼问题”问题吗？生：不可以，因为，兔狗都是 4 条腿.生：“鸡兔同笼问题”不一定是指鸡和兔，而是指这一类问题.师：哪一类问题呢？生：指分别有 2 条腿和 4 条腿的动物，知道共有几只头和几条脚，求两种动物各几只.师：你们能解一下日本的“鸡兔同笼问题”吗？一部分学生的列式为：（112-402）（4-2 ）=16（只） （
10、兔） ，40-16=24 （只）（鸡） ；但多数学生用的是古人提出的方法：1122-40=16（只）（兔） ，40-16=24（只）（鸡）.【设计意图：教者适时引入日本的“龟鹤同游”问题，并引导学生给“鸡兔同笼问题”重新取名字，进而追问，可否改成“兔狗同笼问题” ，从而让学生逐步触及“鸡兔同笼问题”的数学实质.】三、三放三收：建构一般性方法模型1.重心上移：学生在哪里师：现在，我们可以来解决前面“储蓄罐”里的硬币问题了储蓄罐中有 2 分和 5分的两种硬币共 8 枚，一共 3 角 4 分.两种硬币各几枚？部分学生用的是假设法，多数学生都直接套用古人的模式：342-8=9；但马上发现：5 分硬币竟
11、然比两种硬币的总数 8 枚还要多，这显然是不可能的.师：古人的方法怎么就不灵了呢？生：因为每只兔与鸡腿数是两倍关系，而 5 分与 2 分却不是两倍关系.师：看来，古人的解法有一定的局限性，不能简单地套用，还是“假设法”更加管用.教师呈现学生所使用的假设法：假设全是 2 分硬币.（34-82）（5-2）=6（枚）5 分8-6=2（枚）2 分【设计意图：学生虽然基本掌握了假设法，但他们似乎更青睐古人的解法.通过“储蓄罐里硬币”问题的变式训练，让学生突破古人解法的局限性，体会到“假设法”才具有更大的普遍适用性，使学生的认识得以进一步提升和完善.】2.重心上移：建构一般性的“数学模型”师：现在我们再来
12、讨论一下， “鸡兔同笼问题”有什么独特的魅力？生：它代表的是一类数学问题.生：这类问题都是有两个未知量.师：从解题方法上来看，有什么相同点？生：它们都用了假设法.师：为什么都用了假设法呢？或者说，用假设法好在哪里？生：原来鸡和兔的只数都不知道，没法求，而假设全是某一种动物以后，问题就变得简单了.师：（作若有所思状）噢，通过假设，两个未知量转化成一个未知量了，化难为易，不错不错！板书：两个未知量一个未知量【设计意图：围绕“鸡兔同笼问题到底有什么魅力”屡屡发问，又屡屡只问不答，可谓是“一咏三叹”.不经意的点拨，适时的追问，让学生一次次跳出那只有形的“笼子” ，超越各种具体的解题方法，上升为一种更具
13、有普适性的思想方法与策略转化，从而建构起解决这类问题的更具有一般性的“数学模型”！因为，数学是一门关于“模式”的科学，探究的是解决某类问题的“通则通法”.】【综述】在当今这个资讯高度发达的时代，以往有些所谓的“知识”正在逐步演变为“信息” ，甚至是“常识” ；因此，老师们觉得现在越来越难以“搭准学生的脉”.这直接导致了当下课堂教学中的“夹生饭”现象，使得课堂上单向度的“师授生受”关系越来越难以为继，也让习惯于围绕教案上课，习惯于课程实施“线性思维”的老师们，感到自己在课堂上的主导地位和话语权受到挑战.这不仅考验着老师们的实践智慧，甚至拷问着我们曾经得心应手的某些教学模式.首先，课堂教学中的“夹
14、生饭”现象是社会进步特别是科技发展的必然产物，这也是新课程所倡导的“学生活中的数学”的题中之意，这种活生生的“大数学课程” ，需要我们具有相应的“大数学教学观”.这就要求我们与时俱进，不断更新自己的“课程观，教学观”，虽然有时候是一种“被更新”.其次，我们要调适某些程式化的课堂教学模式.孩子们都是带着他们已有的、参差不齐的、甚至是片面的知识经验和生活阅历来学习的.对此，无法回避，更不应“提防”.尊重和正视学生已有的生活经验和认知起点，对于学生已经有所了解的东西，不应该“装聋作哑”或“视而不见” ，而是要悉心揣摩并“用活用足”这些资源.在课堂教学具体进程的不同阶段，学生的理解也动态地处于不同层次，因此，我们要适时提醒并追问自己：学生在哪里？在本案例中，教师通过“三放三收” ，即“重心下移” 、 “关口前移”和“重心上移” ，牢牢搭准学生的“脉” ，在不断的“放”与“收”的调适中让课堂教学的重心始终贴近学生的实际.再则，在教学决策上，要从“给予型”走向“生成型”教学，本不是一种单向度的“告诉”或“给予”.因此，在课堂上要少一些“套路” ，多一些“散打” ；师法自然，顺势而为，使知识的生成过程“生命化”.这样的数学教学，虽然是“夹生饭” ，同样能烧得有滋有味儿.
